Arbeitsblatt: Skisprung-Schanze

Ski-Sprung-Schanze Für den Wettkampf muss noch die Großschanze nach den Richtlinien der FIS (Internationaler SkiVerband) fertig gestellt werden. Das Geländeprofil des Vorbaus und des Aufsprungbereichs wird bei der Planung mit der Polynomfunktion ( x) a 3 bg 2 57,5 mit g 2,0 10 5 und bg 6,481 10 3 angenähert. (a) Berechne den im Intervall [0; 220] auftretenden Hoch- bzw. Tiefpunkt. Zeige insbesondere, dass der Fußpunkt H(057.5) des Schanzentisches (vorderster Teil der Schanze) ein Hochpunkt ist (Kontrolle: T(216,03-43,32)). (b) Berechne den K-Punkt (Wendepunkt von g(x)) samt Steigung kw der Wendetangente und zeige dadurch, dass der Neigungswinkel des Geländes im Aufsprungbereich der Richtlinien der FIS von etwa 35 entspricht (Kontrolle K(108,027,09); kw -0,7). (c) Zeichne den Graphen der Funktion mit Hilfe der speziellen Punkte und Tangenten im Intervall [0; 220] in das beiliegende Blatt „Geländeprofil und Flugbahn einer Skisprungschanze samt ausreichender Beschriftung ein. (d) Begründe, dass die Schanze zu recht als 120m–Schanze gilt (d.h.: die Länge des Geländepolynoms vom Fußpunkt der Schanze bis zum K-Punkt muss ungefähr 120 Meter betragen)! Verwende für das auftretende Integral die Regel von SIMPSON mit 2 und runde die Wendestelle auf Meter (xw 108). (e) Die auf einen Skispringer einwirkenden Zentrifugalkräfte beim Aufsprung und Auslauf sollen 1g nicht übersteigen. Laut Richtlinien muss die Krümmung des Geländes in diesem Bereich daher im Intervall [0,0025; 0.0086] liegen. Begründe, dass das angenommene Geländepolynom vom K-Punkt bis zum lokalen Minimum ungeeignet bzw. für die Sportler gefährlich ist (bei Normal- und Großschanzen wird dieses Stück oft durch eine Klothoide angenähert). Von der durchschnittlichen Flugparabel ( x) a 2 b p der Skispringer (im Blatt „Geländeprofil und Flugbahn einer Skisprungschanze eingezeichnet) ist der Absprungwinkel 5 bezüglich der Horizontalen (Winkel zwischen der Horizontalen und der Tangente an die Flugparabel) im Punkt V(062) (vorderster Punkt des Schanzentisches) und der Aufsprungpunkt K(108,027,09) (kritischer Punkt) bekannt. (f) Gib die Funktionsgleichung der Flugparabel an (Kontrolle: 5,516 10 3 2 8,749 10 2 62 ). (g) Berechne den höchsten Punkt (Scheitel) der Flugbahn (Kontrolle: S(7,9362,35)). (h) Berechne den Aufsprungwinkel im K-Punkt (Winkel zwischen Flugparabel und Geländeprofil). (i) Berechne den maximalen Luftstand der Springer (maximaler Abstand zum Geländeprofil). Gib seinen x-Abstand vom Koordinatenursprung an und zeichne ihn samt Beschriftung im Blatt „Geländeprofil und Flugbahn einer Skisprungschanze ein. (Der maximale Luftstand soll laut FIS etwa bei der Hälfte des horizontalen Abstands zwischen Schanzentisch und K-Punkt liegen.) Gelndeprofil und Flugbahn einer Skisprungschanze 5%%d p(x) 10m 10m