Arbeitsblatt: Einführung Bernoulli

Bernoulli–Kette Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment (kurz: B.-Exp.), wenn es nur zwei Versuchsausgänge hat bzw. wenn man sich nur dafür interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht. Bezeichnungen: P(A)p; P( )1–p q Wird ein B.–Exp. n–mal unabhängig hintereinander (mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit p) ausgeführt, so spricht man von einer Bernoulli–Kette der Länge n. Typische Aufgabenstellungen: n P( ) k n k B n, p, ) k a) W., genau Xk Treffer zu erzielen: P( B) p n k b) W., genau Treffer zu Beginn oder an anderer genau festgelegter Stelle zu erzielen: P( ) c) W., höchstens (oder: weniger als k1) Treffer zu erzielen: 0 n n i i B n, p, ) 0 d) W., mindestens k1 (oder: mehr als k) Treffer zu erzielen: B n, p, ) ( k 1) 1 P X k 1 0 e) W., mehr als (oder: .) und weniger als (oder.) T. zu erzielen: P( m) P( 1 1) . m 1 P( m 1) P X k Wartezeitaufgaben: B n, p, ) ( , p, ) 0 f) W., dass erster T. im k–ten Versuch eintritt: P(F) 0 k 1 1 f 1 1 g) W., dass erster T. frühestens im f–ten Versuch eintritt: P(G) h) W., dass erster T. spätestens im s–ten Versuch eintritt: P(H) 1– P(„in Versuchen kein Treffer) 1– s 1 r k 1 i) W., den k–ten T. im r–ten V. zu erzielen (restl. k–1 Tr. auf r–1 Plätze verteilt): (I) 1 j) W., den k–ten T. frühestens im f–ten V. zu erzielen: P( ) 0 k) W., den k–ten T. spätestens im s–ten V. zu erzielen: f 1 ( 1) i 1 P( ) 1 ( 1) 1 i k s s 1 i m) W., den ersten T. im f–ten V. und den k–ten T. im s–ten V. zu erzielen: s 1 0 l) W., den k–ten T. frühestens im f–ten und spätestens im s–ten V. zu erzielen: P(J s 1 f 1 ( 1) i k 1 s k P( ) 2 Binomial–Verteilung Erinnerung: n S ( ) 1 N s Zieht man aus einer Urne mit Kugeln, von denen schwarz sind, Kugeln mit Zurücklegen, so gilt für die Anzahl der s gezogenen schwarzen Kugeln: n n s ( s) s (1 ) mit p, so erhält man: Bezeichnet man den Anteil der schwarzen Kugeln Die Zufallsgröße heißt binomialverteilt mit den Parametern und p, wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt: n P( ) B np X k k (1 ) k k Für die Maßzahlen der Binomialverteilung gilt: E(X) n für 0, . n Var(X) n (1–p) Anwendung: Gesetz der großen Zahlen Bei einer B.–Kette der Länge ist X1X2 . Xn Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer in der Kette, falls die Xi die Treffer der einzelnen B.–V. zählt, ist also Z.–Variable für die absolute Häufigkeit der Gesamttreffer. 1 Die Z.–V. beschreibt somit die relative Häufigkeit für die Treffer der Kette. 1 1 Es gilt daher: E( ) p Var( ) 2 n Das heißt: Die relativen Häufigkeiten für die Anzahl der Treffer in Serien von unabhängigen Z.–Exp. haben den q Erwartungswert und streuen um diesen mit der Standardabweichung . Tschebyscheff–Ungleichung angewandt auf : X p 0 abweicht, strebt gegen 1 für gegen unendlich.