Arbeitsblatt: Gebr.rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Erinnerung: Eine Funktion der Art ( ) a x n 1x 1 a 2 n 2 . a1x a 0 heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Der Funktionsterm ist ein Polynom, die ai sind reelle Zahlen! Bsp.: ( ) 3 x4 23 x2 23x 0,7 ( x) gebrochen-rationale g( ) Funktion. Dabei heißt f(x) das Zähler- und g(x) das Nennerpolynom. Der höchste im Zählerpolynom vorkommende Exponent von heißt Grad des Zählerpolynoms oder Zählergrad, geschrieben in unserem Fall: grad(f). Analog für den Nenner Nennergrad: grad(g). 1 3x 4 x3 x 5 x3 2,41 1 x2 f1( ) ; ; f3 x f2 x f4 x 3 2 2 1 x 2x Definition: Bsp.: Sind f(x) und g(x) 0 ganzrationale Funktionen, so heißt ( ) Eigenschaften: 1. Gebrochen-rationale Funktionen sind an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig und differenzierbar. 2. Ist x0 nur eine n-fache Nullstelle des Zählers (also nicht auch eine des Nenners), so hat auch die gesamte ( 0 0 g( 0 0 ( 0 0 Funktion dort eine (n-fache) Nullstelle! Ist ungerade, so schneidet der Graph die x-Achse, ist gerade, so berührt er sie nur (von oben oder unten). 3. Sind x1 bis k die Nullstellen des Nenners, so gilt: ID \ x1 . x }. G Grundmenge, meist IR 4. Ist x0 nur eine (n-fache) Nullstelle des Nenners (also nicht zugleich Nullstelle des Zählers), so liegt dort eine Unendlichkeitsstelle bzw. Pol n-ter Ordnung mit bzw. ohne VZW vor, je nachdem, ob ungerade oder gerade ist. 5. Ist x0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners, so wird unter Beibehaltung der Definitionsmenge solange mit (x–x0) gekürzt, bis entweder 2. oder 4. (für den gekürzten Funktionsterm) zutrifft oder x0 weder Nullstelle des Zählers noch des Nenners ist. In diesem letzteren Fall siehe 6. nachfolgend! 6. Ist x0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners mit jeweils gleicher Vielfachheit m, so kann mit (x–x0)m gekürzt werden. Man spricht in diesem und in dem Fall, daß x0 nach dem Kürzen nur noch Nullstelle des Zählers ist, von einer hebbaren Unstetigkeitstelle (oder Singularität) oder man sagt auch, die Funktion sei dort stetig ergänzbar. Die ursprüngliche Funktion stimmt in diesen Fällen mit der gekürzten in allen Werten außer bei x0 (ist ja nicht im Definitionsbereich!) überein. Dies bedeutet, der Graph „sieht aus wie der mit dem gekürzten Funktionsterm, nur ist er bei x0 (und an den anderen stetig ergänzbaren Stellen) „gelocht. 7. Gilt grad(Zähler) grad (Nenner), so ist die x-Achse (also die Gerade y0) eine horizontale Asymptote oder lim r( ) 0 gleichwertig damit Es gilt x 8. Gilt grad(Zähler) grad (Nenner), so ist am am eine horizontale Asymptote bzw. es gilt lim r( ) , x bm bm wenn am bzw. bm die Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler bzw. Nenner sind. lim r( ) 9. Gilt grad(Zähler) grad (Nenner), so gilt: x 10. Gilt noch grad (Zähler) grad(Nenner) 1, so liegt eine schiefe Asymptote vor (Polynomdivision!).