Arbeitsblatt: Binärzahlen

Binär-Zahlen Zahlen im Binär-System (Zweier-System) sind vor allem im Zusammenhang mit Computern wichtig, weil man mit nur zwei Ziffern resp. Zuständen (z.B. Strom ein Strom aus) jede beliebige Information darstellen kann. Es gibt nur zwei binäre Ziffern, die 1 und die 0. Eine binäre Zahl ist eine Anordnung von binären Ziffern, zum Beispiel 1101. Umrechnen von Binärzahlen in Dezimalzahlen Im Alltag rechnen wir mit dem Dezimal- oder Zehnersystem. Wie der Name sagt, haben wir in diesem System zehn Ziffern zur Verfügung (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Jede Ziffer, die eine Stelle weiter links steht, ist 10x grösser als die Ziffer rechts von ihr. Die erste Stelle ist die Ziffer ganz rechts. Beispiel: Tausender Hunderter • 1000 • 100 An An An An der der der der 1. 2. 3. 4. Stelle Stelle Stelle Stelle steht steht steht steht Zehner • 10 Einer (4. Stelle) (3. Stelle) (2. Stelle) (1. Stelle) 2 6 3 4 eine eine eine eine 4 3, wir rechnen also 3 • 10 6, wir rechnen also 6 • 100 2, wir rechnen also 2 • 1000 Nun addieren wir alle Zahlen und erhalten 4 30 600 2000 2634 Im Binärsystem stehen pro Stelle aber nur zwei Ziffern zur Verfügung. Jede Ziffer, die eine Stelle weiter links steht, ist somit 2x grösser als die Ziffer rechts von ihr (also doppelt so gross). Die erste Stelle ist wieder die Ziffer ganz rechts. Beispiel: An An An An der der der der 1. 2. 3. 4. Stelle Stelle Stelle Stelle steht steht steht steht Achter •8 Vierer •4 Zweier •2 Einer (4. Stelle) (3. Stelle) (2. Stelle) (1. Stelle) 1 1 0 1 eine eine eine eine 1 0, wir rechnen also 0 • 1, wir rechnen also 1 • 1, wir rechnen also 1 • Nun addieren wir alle Zahlen und erhalten 2 4 8 1 0 4 8 13 Man erkennt sofort, dass lange Binärzahlen ins Dezimalsystem umgerechnet nur kleine Zahlen ergeben. Grosse Dezimalzahlen ins Binärsystem übertragen ergeben eine sehr unübersichtliche Abfolge von 1 und 0, weshalb sich das System für das normale Rechnen nicht eignet. Die im oberen Beispiel gewählte Zahl 2634 sieht als Binär-Zahl so aus:101001001010 mfrei19012009 Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen ist ein bisschen mühsamer, funktioniert aber einfach als Umkehrung der Multiplikation mit 2 (zur Erinnerung: eine Stelle weiter nach links im Binärsystem bedeutet eine Verdoppelung (also 2x mehr) des Stellenwertes). Deshalb müssen wir für eine Umrechnung ins Binärsystem die Ausgangszahl einfach immer durch 2 dividieren, bis es nicht mehr geht. Die Restzahlen ergeben den Binärwert der Zahl. Beispiel 1: Die Dezimalzahl 100 wird ins Binärsystem umgewandelt Gehe nach folgendem Verfahren vor: 1) Teile die Zahl mit Rest durch 2. 2) Der Teilungsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links!). 3) Falls das Resultat 0 ist, bist du fertig, wenn nicht, nimmst du das Resultat als neue Zahl und rechnest wieder wie bei Punkt 1). 100 50 25 12 6 3 1 : : : 2 2 2 2 2 2 2 50 25 12 6 3 1 0 Rest: Rest: Rest: Rest: Rest: Rest: Rest: 0 0 1 0 0 1 1 Ziffern der Reihe nach von unten nach oben aufschreiben! Ergebnis: 1100100 Beispiel 2: Die Dezimalzahl 45 wird ins Binärsystem umgewandelt 45 22 11 5 2 1 : : : 2 2 2 2 2 2 22 11 5 2 1 0 Rest: Rest: Rest: Rest: Rest: Rest: 1 0 1 1 0 1 Ergebnis: 101101 Binärzahlen werden manchmal für Spielereien wie zum Beispiel Uhren mit Binäranzeige der Uhrzeit verwendet: – 4. Stelle: Achter – 3. Stelle: Vierer – 2. Stelle: Zweier – 1. Stelle Binär-Uhr mfrei19012009 min 1 2 :0 5 :4 9 Uhrzeit: 12 Uhr 5 min 49