Arbeitsblatt: Teorie LU03, mathbu.ch 9+

LU03 Muster, Terme, Gleichungen Lernziele Zahlenfolgen durch algebraische Terme darstellen. Terme interpretieren. Aus Texten Gleichungen und Ungleichungen gewinnen und mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen. Siehe auch: ‚X-beliebig‘ (MB 7, LU10) ‚Verpackte Zahlen‘ (MB8, LU 04) Zahlenfolge Eine Zahlenfolge ist eine geordnete (nummerierte) Abfolge von Zahlen. Mit einem Term kann man eine Vorschrift angeben, wie die einzelnen Glieder der Folge zu bilden sind. Beispiel: Folge der ungeraden natürlichen Zahlen. a1 a2 a3 a4 a5 a6 Term an 1 3 5 7 9 11 2n 1 Von der Zahlenfolge zum Term 1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 2n 1 2 2 2 2 Regelmässig immer 2 mehr à 2n Einsetzen und Differenz addieren oder subtrahieren à 2 ·1 2 à -1 2 ·2 4 à -1 2 ·3 6 à -1 Es muss 1 subtrahiert werden Komplexere Zahlenfolge 1. Die Veränderung nimmt regelmässig zu: Zerlegung in zwei Folgen: n2 und Differenzfolge; untersuchen der Differenzfolge: 1 Rn 5 2 12 7 n2 1 Differenzfolge: 4 3 21 9 2 4 9 8 5 12 4 12 32 ??? 11 2 4 4 Veränderung nimmt regelmässig um 2 zu à 16 n2 16 4n 32 n2 4n 4 21 Die neue Zahlenfolge wird regelmässig 4 grösser à 4n Die beiden Folgen zusammen ergeben den Term für die ursprüngliche Folge. 2. Quotientenbildung Rn 1 5 2 12 3 21 4 32 ??? Rn n 5 6 7 8 n4 Der Quotient wird regelmässig um 1 grösser, Start bei 5 à Rn n n 4 Wir wollen aber Rn kennen, also multiplizieren wir mit à Rn n(n 4) 1     2 Weitere Zahlenfolgen Beispiel 1 Zn 1 1 2 6 5 3 15 9 4 2 2n 2 Zn – 2n 2 -1 4 28 2n2 n 13 Veränderung nimmt regelmässig um 4 zu à2· 4 8 -2 -1 18 -3 -1 32 -4 2 2 Durch die Subtraktion von 2n erhält man eine regelmässige Folge à immer 1 weniger à -n -1 Mit Quotientenbildung: Zn n 1 Zn n(2n – 1) 3 5 7 à Zn n 2n -1 Beispiel 2 Folge der Geraden Zahlen: 2, 4, 6, 8, 10, Term: an 2n Beispiel 3 Folge der Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, 15, Term: an Beispiel 4 Folge der Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, Term: an n2 Beispiel 5 Folge der Fünfeckszahlen: 1, 5, 12, 22, 35, Term: an Beispiel 6 Folge der Fibonnacci-Zahlen:1, 1, 2, 3, 5, 8,  (!!!)  (!!!!) 0.5n2 0.5n 1.5n2 – 0.5n Term: an an-2 an-1 Gausssche Summenformel (z.B.: Folge der Dreieckszahlen) Die Gausssche Summenformel ist die Formel für die Summe der ersten aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, also 1234.n. Sie wird auch arithmetische Reihe genannt: sn ! · (n 1) !(!!!) Man schreibe die Zahlen von 1 bis aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibe man dieselben Zahlen in umgekehrter Reihenfolge (im Beispiel 10). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Es ist gut zu erkennen, dass die Summe der Spalten im Beispiel jeweils den Wert 11 ergibt. Allgemein ergibt sich ein Wert von 1. Da es Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich · (n 1). Um nun die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln wird das Ergebnis halbiert und es ergibt sich die obige Summenformel: ! · ·(n 1) · (n 1) 2     Das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen schrittweise lösen: 1. Ausmultiplizieren 2. Zusammenfassen 3. Unbekannte (Variable) auf eine Seite bringen, so dass ein positives Vorzeichen vor der Variablen steht (durch Addition oder Subtraktion). 4. Zahlen auf die andere Seite bringen (durch Addition oder Subtraktion). 5. Durch den Faktor bei der Variable dividieren. 6. Lösung überprüfen (in Ausgangsgleichung einsetzen). 7. Lösungsmenge angeben. Lösungsvarianten für Sonderfälle: Fall 1: Bsp.: Gleichung ergibt wahre Aussage à LQ 2x 3 2(x – 1) 5 2x 3 2x – 2 5 2x 3 2x 3 -2x – 3 00 wahre Aussage à Alle Zahlen der Grundmenge (oft ist (rationale Zahlen)) sind Lösung der Gleichung. Man sagt: Die Gleichung ist allgemeingültig. Fall 2: Gleichung ergibt falsche Aussage à L{} Bsp.: 2x 2(x – 1) 5 2x 2x – 2 5 2x 2x 3 -2x 03 falsche Aussage à } Es gibt keine Zahl, die Lösung der Gleichung ist. Man sagt: die Gleichung ist unlösbar. Fall 3: Gleichung ergibt die Lösung 0 à 3x 0 2x 0 x die Gleichung hat die Lösung à {0} {0} Gleichungen höheren Grades (d.h. Variablen in höherer Potenz in Gleichung enthalten) Diese Art von Gleichung lösen wir, indem wir sie so umformen, dass die rechte Seite gleich 0 ist. Anschliessend faktorisieren wir die linke Seite und können die Lösung der Gleichung ablesen. Bsp.: 4x2 6x 3x2 – 3x 10 -3x2 3x -10 2 9x -10 0 (x 10) (x – 1) 0 à x1 -10 x2 1 Gleichungen mit Formvariablen 5x 8 71 b · x Variable Formvariable (oder Parameter) Soll in einer Gleichung die Variable einen bestimmten Wert haben, so setzt man diesen Wert in der Gleichung ein und löst sie nach der Formvariablen auf. Aufgabe: Wähle in der obigen Gleichung so, dass die Gleichung die Lösung 9 hat. Lösung: 5 · 9 8 71 b · 9 ausmultiplizieren 45 8 71 9b zusammenfassen 53 71 9b -71 -18 9b :9 -2 b Für -2 ist die Lösung 9 3     Ungleichungen Ungleichungen werden auf dieselbe Art und Weise wie Gleichungen gelöst. Achtung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert das Relationszeichen: von zu oder von zu Bsp.: 6x – 3 8x 9 3 – 8x -2x 12 : (-2) -6 Textgleichungen und verkleidete Aufgaben Mathematische Probleme können auch mit Gleichungen gelöst werden. Dabei gilt folgende Vorgehensweise: 1. Übersicht erreichen durch Textverständnis, Erstellen von Skizzen, Tabellen oder Diagrammen. 2. Die Variable bestimmen Für die gesuchte Zahl oder Grösse eine Variable einsetzen. 3. Vom Text zum Term Mit Hilfe der definierten Variablen den Text in zwei gleichwertige (äquivalente) Terme umsetzen. 4. Aus beiden Termen eine Gleichung bilden. 5. Die Gleichung auflösen. 6. Durch Einsetzen in den Text die erhaltene Lösung überprüfen. 7. Die gestellte Frage beantworten. Fragestellungen: 1. Habe ich die Aufgabe verstanden? Mehrmals durchlesen bis man die Aufgabe in eigener Sprache nacherzählen oder jemandem stellen könnte! 2. Was ist gesucht? Welches ist die Frage? 3. Benötige ich für mein Verständnis eine Skizze oder hilft eine Tabelle? 4. Was bezeichne ich als (Unbekannte)? 5. Wie kann ich die Aufgabenstellung in eine Gleichung verwandeln? Linke und rechte Seite des Gleichheitszeichens müssen gleichwertig sein! Waageprinzip! 6. Habe ich die Gleichung richtig aufgestellt? 7. Gleichung auflösen! 8. Lösung kontrollieren! Ist die erhaltene Lösung möglich? Stimmt sie mit der Aufgabenstellung überein? (Nachrechnen!) 9. Frage beantworten! Beispiel: In einem Gehege tummeln sich Kaninchen und Gänse. Sie zählen zusammen 35 Köpfe und 94 Füsse. Wie viele Tiere von jeder Sorte? Tierart Anzahl Tier (Anzahl Köpfe) Anzahl Füsse Gänse 2x Kaninchen 35 – Total Gleichung: 35 23 35 – 23 12 4(35 – x) (jedes K. hat 4 Füsse) 94 2x 4(35 – x) 94 2x 140 – 4x 94 -2x 140 94 46 2x 23 x Im Gehege befinden sich 23 Gänse und 12 Kaninchen. 4     (jede Gans hat 2 Füsse