Arbeitsblatt: Potenzen

1.6. Potenzen 1.6.1. Potenzen mit natürlichen Exponenten Definition: Das Produkt aus dem natürlichen Faktor und dem reellen Faktor ist definiert als die Summe, die aus Summanden zusammengesetzt ist. n·a : Produkt aus 2 Faktoren . a, wobei und \{0} Summe aus Summanden Merke: Produkte sind eine Kurzschreibweise für Summen mit gleichen Summanden. Definition: Die Potenz aus der reellen Grundzahl (Basis) und der natürlichen Hochzahl (Exponent) ist definiert als das Produkt, das aus Faktoren zusammengesetzt ist. an : Potenz aus Basis und Exponent · . · a, wobei und \{0} Produkt aus Faktoren Merke: Potenzen sind eine Kurzschreibweise für Produkte mit gleichen Faktoren Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 1 und 2 1.6.2. Potenzen mit negativen Exponenten Potenzen mit negativen Exponenten werden definiert, indem man die Reihe der Potenzen mit natürlichen Exponenten zu einer gegebenen Basis in Richtung negativer Exponenten fortsetzt: Beispiel mit der Basis 2: Veränderung des Exponenten: 2n 1 2 . 2 . . 1 22 1 4 1 21 1 2 :2 Veränderung der Potenz: 1 1 20 21 22 . 2n 1 2 4 . 2·.·2 :2 :2 :2 1 1 Verallgemeinerug auf beliebige reelle Basen a: Veränderung des Exponenten: an 1 . . . Veränderung der Potenz: 1 a2 1 aa 1 a1 1 :a :a a0 a1 a2 . an 1 a·a . a·.·a :a :a 1 Definition: 1 az : a a0 : 1 für \{0} für und \{0}. Merke: Ersetzt man den Exponenten durch seine Gegenzahl, so erhält man den Kehrwert der Potenz. Bemerkung: 1 Beachte, dass a0 durch die erste Definition nicht eindeutig bestimmt werden kann: a0 0 (a0)2 1 a a0 {1, 1). Das 1. Potenzgesetz an·am an m mit 0 bleibt aber nur bei der Wahl a0 : 1 gültig! Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 3 und 4 Definition und Satz: Jede reelle Zahl lässt sich durch ein eindeutig bestimmtes Produkt aus einer Dezimalzahl mit einer von Null verschiedenen Ziffer vor dem Komma und einer Zehnerpotenz darstellen. Diese Darstellung heißt Normdarstellung. Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 5 1.6.3. Potenzgesetze für ganze Exponenten Satz 1: Für und n, gilt an · am an m: Merke: Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Beweis: Für 0 und 0 gilt an · am (a · . · a) · (a · . · a) a · . · an m. Faktoren Faktoren Faktoren Die übrigen Fälle 0 und 0, 0 und 0 sowie 0 und 0 werden analog behandelt. Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 6 und 7 Satz 2: Für a, und gilt an · bn (a·b)n: Merke: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert. Beweis: Für 0 und 0 gilt an · bn (a · . · a) · (b · . · b) (a · b) · . · (a · b) (a·b)n. Faktoren Faktoren Produkte Die übrigen Fälle 0 und 0, 0 und 0 sowie 0 und 0 werden analog behandelt. Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 8 Satz 3: Für und n, gilt an · (an)m: Merke: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Beweis: Für 0 und 0 gilt (an)m (a · . ··a) · . · (a · . · a) a · . · an · Faktoren Faktoren · Faktoren Produkte Die übrigen Fälle 0 und 0, 0 und 0 sowie 0 und 0 werden analog behandelt. Übungen: Aufgaben zur Potenzrechnung Aufgabe 9 a) j) 2 Vereinfachen von Potenzausdrücken 1. nach gleichen Basen ordnen 2. Brüche durch negative Exponenten ausdrücken 3. Potenzgesetze anwenden Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 9 k) o) 1.6.4. Die n-te Wurzel Definition: Für \{0} ist die n-te Wurzel aus definiert als die positive Zahl und wieder ergibt: n )n a mit 0 und , deren n-te Potenz 0. Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 10 1.6.5. Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten werden definiert, indem man die Reihe der Potenzen mit natürlichen Exponenten zu einer gegebenen Basis in Richtung negativer Exponenten fortsetzt: Beispiel mit der Basis 2: :2 Veränderung des Exponenten: 21/2n 2n 2 :2 21/4 4 2 . . :2 21/2 2 2 :2 21 2 22 4 24 16 . . 22n 2·.·2 Veränderung der Potenz: Definition 1: Für \{0} und Merke: sei 1 : Man darf nicht durch 0 teilen, daher Definition 2: Für \{0}, 0; man darf nicht Wurzeln einer negativen Zahl ziehen, daher 0. sei und n : am a) Begründung: Wenn das 3. Potenzgesetz für rationale Exponenten weiterhin gelten soll, erhält man 1 am (am )n a m 1 1 a an m 1 an a) Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 11 und 12 Satz: Die Potenzgesetze Satz 1 3 gelten auch für rationale Exponenten. Beweis: Satz 1: Für n, m, p, Definition m a q a \{0} erhält man unter Anwendung des Satzes über ganzzahlige Exponenten und der nq mq pm qm mq nq ( mq mp mq nq mp a nq pm qm am q Die Beweise für Satz 2 und 3 verlaufen analog. Übungen: Aufgaben zu Potenzen Nr. 13 3 1.6.6. Potenzen mit irrationale Exponenten Potenzen mit irrationalen Exponenten wie z.B. 3 2 werden definiert als die Zahl, die man erhält, wenn man sich dem irrationalen Exponenten mit rationalen Näherungswerten immer mehr nähert: Definition Für und ist die Potenz ax definiert als die Zahl, die man erhält, wenn man den Exponenten mit rationalen Exponenten immer näher kommt: Für gilt auch an ax. 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 3n 4,656 4,707 4,728 4,729 4,729 2 3 2 Merke: Für Potenzen mit irrationalen Exponenten gilt da gleiche wie für die irrationalen Exponenten selber: Sie lassen sich zwar niemals exakt, aber dafür mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Satz: Die Potenzgesetze gelten für alle Näherungswerte mit rationalen Exponenten und daher auch für Potenzen mit irrationalen Exponenten Satz und Definition: Für alle 0 a 1 bzw. 1 a und gibt es genau eine Zahl , so dass für alle n, mit auch am y an bzw. an y am gilt. Diese Zahl wird als Potenz ax bezeichnet: ax : y. Beweis: Man benötigt auf jeden Fall das Vollständigkeits- oder Intervallschachtelungsaxiom und darüber hinaus die Taylorentwicklung mit Restglied 1. Ordnung für die Exponentialfunktion f(x) ax: Für ist für 0 a 1 auch am an und für 1 a gilt an am, da f(n) an für 0 a 1 streng monoton fallend und für 1 a streng monoton steigend ist. Ist so ist an am an· amn 1 an·2·(mn)·ln(a) a ·2··ln(a), d.h. wird beliebig klein, wenn genügend klein gewählt wurde. Insgesamt ist damit gezeigt: Bilden die (m, n) eine Intervallschachtelung mit Zentrum x, so bilden die (an, am) ebenfalls wieder eine Intervallschachtelung. Wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen hat die Intervallschachtelung (an, am) genau ein Zentrum y. Oder kürzer: Die Menge der bildet eine Folge, die gegen konvergiert und insbesondere eine CauchyFolge darstellt. Wegen der Stetigkeit von f(n) an für bilden die an und am ebenfalls eine Cauchy-Folge, die wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen gegen genau ein Definition: Die im obigen Satz erwähnte Zahl wird als Potenz ax bezeichnet konvergiert. Übung: Erkläre die Definition und näherungsweise Berechnung von Potenzen mit reellen Exponenten anhand eines selbst gewählten Beispiels. 1.6.7. Potenz- und Wurzelgleichungen Einführung: Aufgaben zu Potenzen Nr. 14 a) -h) Satz Für die Lösung der Potenzgleichung xn a mit n gerade \{0} gilt ungerade a0 a0 { ; } {0} {n } {0} a