Arbeitsblatt: Brüche Klausur

Bruchrechnen: Klausuraufgaben 1 Um das Ziel unseres Bruchrechnens allen möglichst klar zu machen, stelle ich dir hier eine Klausur zur Verfügung, anhand derer du prüfen kannst, ob du die Ziele erreicht hast. Eine Klausur in diesem Stil wird es geben. Anweisung: Alle Resultate sind soweit als nur möglich zu kürzen und in der Form „Ganze Zahl echter Bruch darzustellen Aufgabe 1 1 7 5 1 2 4 6 1. Gleichnennerig machen 6 21 10 1 12 12 12 2. Auf denselben Bruchstrich nehmen und ausführen 62110 17 5 1 1 2 12 12 12 Aufgabe 2 (Kein Zeichen zwischen den Klammern bedeutet multiplizieren! Siehe auch die Theorie zu Aufgabe 6.) 4 5 4 4 25 8 10 1 3 2 5 Klammer gleichnennerig machen: 3 10 10 10 Klammer auf denselben 3 3 2 2 10 10 4 25810 4 27 3 10 3 10 Bruchstrich nehmen: ausführen: Klammer weglassen und Multiplika3 3 2 2 10 10 4 27 tionszeichen setzen; die Bruchrechnung im Nenner ausführen: 3 710 den Nenner in einen 1 10 unechten Bruch verwandeln (dies finde ich am einfachsten, um nachher zu dividieren); den Kehrwert des Bruches im Nenner herstellen und Zähler und Nenner miteinander multiplizie4 27 4 27 17 4 27 10 42710 49 36 2 kürze mit 10; kürze mit 3 2 ren: 3 1710 3 10 10 3 10 17 31017 17 17 17 10 Aufgabe 3 2 5 3 28b 54a 33 16b 20a 9 16b 20 9 20 16b 9 3a 6b 8ab 24ab 24ab 24ab 24ab 24ab 24ab 24ab 24ab 1. kgV bestimmen 2. Gleichnennerig machen 3. Auf denselben Bruchstrich nehmen 4. addieren 5. sortieren, falls verlangt. (Einzelne Schritte können ausgelassen werden.) Brüche Klausur 1 Lösungswege Seite 1 Aufgabe 4 Zwischenbemerkung: yz)2 y 2 z2 1. kgV bestimmen 2 2 2. Gleichnennerig machen. 2x 4 53y 3x 24 3. Überlegen: womit muss man erweitern. 2 3 2 3 2 3 24y 24y 24y Nenner und Zähler erweitern 2 2 8xz 15y 72x 4. neue Brüche notieren. 2 3 2 3 2 3 24y 24y 24 z 5. in neuen Bruch notieren 2 2x 5 3x 2 3 2 6y 8yz yz) 8xz 2 2 15y 72x 24 2 3 Zu Aufgabe 4 2 3 2 Das kgV von den 3 Nennern ist 24y , also muss 6y mit 4z 3 24y 2 3 gibt; 8yz muss mit 2 erweitert werden, damit es 2 3y erweitert werden, damit es 24y 2 3 gibt und yz) y 2 z2 muss mit 24z erweitert werden, damit es 24y 2 3 gibt. Aufgabe 5 (Kein Zeichen zwischen den Klammern bedeutet multiplizieren!) 3 1 4 7 5 6 3 14 7 56 3 4 7 30 9 8 105 30 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 3 5 3 25 4 23 5 325 4 6 5 75 12 12 75 75 1 75 1 75 13 3 13 1 1 2 1 2 3 12 75 12 75 12 1 4 4 1. Regel Punkt vor Strich anwenden, also in den Klammern ausmultiplizieren; 2. innerhalb der Klammer gleichnamig machen und Subtraktion ausführen; 3. vereinfachen und Klammern weglassen und multiplizieren; 4. vereinfachen. Andere Wege sind möglich. Aufgabe 6 1 1 3 7 3 1 1 5 32 1 3 5 : 2 3 2 1 Innerhalb der Klammern in unechte Brüche verwan 5 2 10 10 8 3 2 6 deln; dies ist vorteilhaft, um anschliessend die unechten Brüche miteinander zu multiplizieren. 3 11 3 33 57 19 10 5 11 : Man kann die Brüche auf denselben Bruchstrich schrei 1 5 2 10 10 8 3 2 6 ben, dies ist nicht notwendig, aber sehr, sehr vorteilhaft, um einzusehen, was man macht. 311 333 57 1910 511 33 99 57 190 55 : Man führt die Multiplikation aus. : 15 210 10 83 5 20 10 24 12 26 Man macht die Brüche innerhalb der Klammer gleichnennerig (gleichnamig). 132 99 114 190 110 : Man kann die Brüche auf denselben Bruch mit dem gleichen 20 20 20 24 24 13299114 190 110 Nenner schreiben. : Man führt die Strichrechnungen (;-; Additio 20 24 117 80 117 80 nen und Subtraktionen) aus. : Man lässt die Klammern weg. 20 24 20 24 Mit einem Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dieser Satz lässt sich wie folgt beweisen: siehe folgende Seite Brüche Klausur 1 Lösungswege Seite 2 Allgemeiner Beweis Am Zahlenbeispiel gezeigt c 3 5 ? ? d 4 7 Zwischenbemerkung: Zwischenbemerkung: d 5 7 1 1 c 7 5 Wird ein Bruch mit seinem Kehrwert multipli- Wird ein Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert, so gibt das immer 1. ziert, so gibt das immer 1. c 3 5 1 : 1 d 4 7 Das Resultat verändert sich nicht, wenn ich Das Resultat verändert sich nicht, wenn ich die Aufgabe mit 1 multipliziere. die Aufgabe mit 1 multipliziere. c c d 3 5 35 5 7 1 : 1 b b d 4 7 47 7 5 d 5 7 Für 1 setze ich ein, denn es ist dasselbe. Für 1 setze ich ein, denn es ist dasselbe. c 7 5 b c d hebt.sich.gegenseitig.auf! c d ad b b bc a b 3 4 5 5 7 7 7 3 7 5 4 5 hebt.sich.gegenseitig. auf 3 5 3 7 21 1 1 4 7 4 5 20 20 Hier wird dieser Satz angewendet. (Der Kehrwert von 80 24 ist .) 24 80 117 24 24 3 Man kürzt mit 8, das gibt 20 80 80 10 (Man kürzt bevor man multipliziert, das gibt weniger zu tun.) 117 3 1173 Man kann wieder die Multiplikationen auf denselben Bruchstrich schreiben. 20 10 20 10 351 Man notiert den unechtenBruch. Diesen verwandelt man anschliessend in Ganze und 200 151 Brüche, wie gefordert. 1 200 Aufgabe 7 4 5 7 2b 2 3 6 9 Man nimmt die „a auf den Bruchstrich und schreibt statt . Damit 3 1 23a b 3 4a 5a 7a 2 3 6 9 2b Dann schaffen wir die Voraussetzung, um den Nenner zu verrechnen. b 23a3 1 3 24a 15a 14a 2b2 Machen wir die Brüche im Zähler und im Nenner gleichnennerig. 18 3b18 18 3 23a 3 3 Dann nehmen wir im Zähler und im Nenner die jeweiligen Zähler jener Brüche auf einen einzigen Bruchstrich. Dies ist nicht nötig, aber es dient dazu, die Rechnung klar darzustellen. 24a 15a 14a 23a 2 2 2b 18 18 2b Wir Wir verrechnen die jeweiligen Zähler miteinander. 3b 2b 23a3 23a3 3 3 Brüche Klausur 1 Lösungswege Seite 3 schreiben den Doppelbruch als Division. Dies bedeutet das Gleiche, es ist aber einfacher, um 23a 2b 2b2 weiterzurechnen. Wir stürzen den Bruch, mit dem wir dividieren müssen und 18 3 23a3 23a 3 2b 2 multiplizieren stattdessen. (Stürzen heisst: den Kehrwert herstellen.) Wir 18 2b 23a 3 schreiben alles auf einen einzigen Bruchstrich. (Dies ist nicht nötig, dient aber der Klarheit der 23a 32b2 Darstellung.) Wir kürzen vollständig aus: 2 und markieren dies als Resultat. 3 182b23a 6a Aufgabe 8 2x 4 3y 3 xy 3 2 2 Wir lassen die Klammern weg und potenzieren die einzelnen Glieder in 1 2 2 (5x )2 2 y 2 2 4 4 33 3 xy 16x 4 27y 3 xy 4 23 2 Wir führen die Potenzen aus: 81 8 2 der Klammer: 32 25 4 2 25x 2 Wir 5 2 2 2 52 2 y 2 y 4 2 schreiben die Variablen (das heisst, die Buchstaben) aller Brüche in den Zähler: 16x 4 27y 3 xy 81 8 2 Wir notieren so, dass wenn möglich nur eine einziger Bruchstrich entsteht: 25x 4 y2 52 2 4 xy 16x 4 27y 3 25x 4 2 2 : Wir stürzen die Brüche (das heisst, wir stellen den Kehrwert des 81 8 4 25x 2 Bruches her), mit denen dividiert werden soll und multiplizieren stattdessen mit jenen Brü16x 4 27y 3 4 25x 2 chen: Wir schreiben neu wirklich alles auf eine Linie und dividie81 8 25x 4 2 xy 2 16x 4 27y 3 4 25x 2 xy ren wieder mit dem Bruch, der im Nenner verblieben ist: Wir 81 8 25x 4 2 1 2 stürzen den verbliebenen Bruch und multiplizieren statt zu dividieren: 16x 4 27y 3 4 25x 2 2 Wir schreiben das Ganze neu auf eine einzige Linie; dies ist 81 8 25x 4 2 1 xy 16x 4 27y 3 425x 2 2 nicht nötig, dient aber der Klarheit: Wir kürzen vollständig aus, bevor 81825x 4 y2 1xy 24x 2 wir multiplizieren; dies gibt weniger zu tun: Wir multiplizieren aus und stellen das 3 16x 1 Resultat dar, wie es gefordert wird. 5 Fertig. 3 3 Aufgabe 9 Bestimme die Lösung und kontrolliere das Resultat. 3 2 7 2 3 Wir rechnen auf beiden Seiten 5 6 15 6 3 7 2 3 Wir verrechnen die Brüche auf der rechten Seite. 5 15 6 3 7 2 14 10 24 3 3 3 3 Wir dividieren beiden Seiten mit Damit stellen wir frei. 5 15 6 30 30 30 5 3 24 3 24 5 114 5 3 30 5 30 3 30 3 Brüche Klausur 1 Lösungswege Wir kürzen vollständig aus und notieren das Resultat Seite 4 38 1 38 2 1 6 6 in der geforderten Form. 6 1 6 6 3 Aufgabe 10 5x 7y 3z 5 1 : beide Klammern auf das kgV erweitern: 3 8 4 12x 6y 5x 8 7y 3 3z 6 5 12x ausführen: : 24 24 24 12xy 12xy 40x 21y 18z 5y 40x 21y 18z 5y 2x 2x addieren: : : 24 12xy 24 24 12xy 12xy 24 40x 21y 18z 12xy Beachte die Regel „Punkt vor Strich. Oder: kürze die Summen nicht 24 5y 2x und nimmer! Kürze (mit 12) und führe aus: 40x 21y 18z xy Vergiss nicht: Bruchstriche haben Klammerwirkung! Klammer! 2 5y 2x (40x 21y 18z) xy 40x 2 21xy 2 18xyz 2(5y 2x 10y 4x Kürzere Wege sind möglich. Aufgabe 11 3 1 1 Subtrahiert man einer natürlichen Zahl von 17 so erhält man 12 Stelle eine Gleichung 4 2 4 auf und bestimme die Lösung. 1. Ansatz: (das Wichtigste) Eine natürliche Zahl: 3 3 einer natürlichen Zahl: x. 4 4 3 1 1 3 einer natürlichen Zahl von 17 subtrahieren: 17 x 4 2 2 4 3 1 einer natürlichen Zahl von 17 subtrahieren und mit der genannten Zahl gleichsetzen: 4 2 1 3 1 17 x 12 2 4 4 2. Auflösen 1 3 1 3 17 x 12 Auf beiden Seiten addieren. 2 4 4 4 1 1 3 1 17 12 x Auf beiden Seiten 12 subtrahieren. 2 4 4 4 1 1 3 17 -12 Subtrakion auf der linken Seite ausführen. 2 4 4 1 3 3 5 Auf beiden Seiten mit dividieren. 4 4 4 1 3 1 5 x 5 in unechten Bruch verwandeln. 4 4 4 21 4 · x Mit reziprokem Bruch multiplizieren. 4 3 7 Kürzen; verwandeln; fertig. 3. Probe durch Einsetzen druchführen 1 3 1 17 ·7 12 Ausrechnen; es stimmt; 7 ist auch eine natürliche Zahl. 2 4 4 Bei solchen Aufgaben kann man immer überprüfen, ob man das richtige Resultat gefunden hat. Das ist in der Klausur sehr beruhigend, auch sonst sehr empfehlenswert. x Brüche Klausur 1 Lösungswege Seite 5 Aufgabe 12 1 Fr. Einer hatte einein2 halbmal so viel wie der andere. Wie viel Sackgeld hatte jeder der beiden Ansatz 1. Freund: 1 2. Freund: 1 2 1 1 Zusammen: 1 22 2 2 2. Lösung 1 1 1 22 addieren 2 2 1 1 1 2 22 Auf beiden Seiten mit 2 dividieren. 2 2 2 Zwei Freunde legen ihr Sackgeld zusammen und haben danach 22 1 1 45 5 45 2 22 2 : 9 2 2 2 2 2 5 3. Einsetzprobe 9 13,5 22,5 Bruch stürzen; statt dessen multiplizieren; kürzen; fertig. Es stimmt, es muss richtig sein. 29 5 36 2 20a 16b 9 72x 2 8xz 2 15y 13 1 351 151 2 2 / 3 1 / 2 3 12 12 17 17 24ab 4 4 200 200 6a 2 24y 16 1 19 1 40x 2 21xy 2 18xyz 1 3 1 5 / 6 / 17 12 7 3 3 3 3 10y 4x 2 4 4 9.- Fr.; 13.50 Fr. Lösungen: Brüche Klausur 1 Lösungswege Seite 6