Arbeitsblatt: Geometrie Dossier

Geometrie Dossier 2./3. Werk Name: Inhalt: 1. Konstruktionen mit Zirkel und Geodreieck 2. Winkel 3. Quadrat 4. Rechteck 5. Dreieck 6. Würfel 7. Kreis 8. Symmetrie 1. Konstruktionen mit Zirkel und Geodreieck 1.1 Begriffe Gerade: Eine Gerade ist eine Linie, die nicht abgegrenzt ist. Das heisst, sie hat keinen Anfangs- und Endpunkt. Beispiel: Strecke: Eine Strecke ist eine Linie, die durch einen Anfangs- und einen Endpunkt begrenzt ist. Beispiel: - Senkrechte: Eine Senkrechte ist eine Linie, die in einem 90 Winkel zu einer zweiten Linie steht. Beispiel: Parallele: Eine Parallele ist eine Linie, die über ihre ganze Länge den gleichen Abstand zu einer zweiten Linie hat. Beispiel: Mittelsenkrechte: Eine Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte, die zwischen zwei Punkten gemacht wird. 1.2 Konstruktionen Zeichne mit dem Geodreieck eine Senkrechte auf den folgenden Geraden: Konstruiere mit dem Zirkel eine Senkrechte auf den folgenden Geraden: Konstruiere mit dem Zirkel eine Mittelsenkrechte zwischen den vorgegebenen Punkten und B. A - Zeichne mit Hilfe des Geodreiecks eine Parallele zu der vorgegebenen Geraden. Zeichne mit Hilfe des Geodreiecks eine Parallele zur vorgegebenen Gerade mit dem Abstand 3cm. 2. Winkel 2.1 Winkel messen Ein Winkel wird immer (ausser bei 180 und 360) zwischen zwei Geraden gemessen. Um einen Winkel zu messen benötigst du ein Geodreieck. Um einen Winkel zu messen muss der Nullpunkt auf den Schnittpunkt der zwei Geraden gelegt werden. Dabei liegt die untere Seite des Geodreiecks direkt auf der unteren Geraden. Bsp. Miss die folgenden Winkel mit Hilfe des Geodreiecks. 2.2 Spezielle Winkel Es gibt Winkel, die du auswendig wissen musst. Die folgenden Winkel gehören dazu. Schreibe ihre Grösse auf! 2.3 Winkelarten Übungen: Miss die folgenden Winkel. Es hat immer mehrere Winkel die du messen kannst. Was fällt dir auf? Notiere zwei Dinge, die auffällig sind. 3. Quadrat 3.1 Beschriftung In einem Quadrat sind alle 4 Seiten (s) gleich lang. Die vier Winkel eines Quadrats ergeben zusammen 360. Jeder einzelne Winkel ist 90. Umfang: Der Umfang eines Quadrats entspricht der Summe aller 4 Seiten. Das heisst, wenn du alle 4 Seiten zusammenzählst bekommst du den Umfang. s s oder 4s. Fläche: Die Fläche eines Quadrats ist der Bereich der durch die 4 Seiten eingeschlossen wird. Im Beispiel oben die graue Fläche. Diese wird berechnet, indem du zwei Seiten miteinander multiplizierst. Z.B. (oder s). Das Ergebnis einer Flächenberechnung enthält immer ein (hoch zwei). Z.B. 5 cm oder 2km. 3.2 Übungen Berechne Umfang und Fläche eines Quadrats. 5cm 15mm 4. 3m 7km Rechteck 4.1 Beschriftung l In einem Rechteck sind die parallel liegenden Seiten immer gleich lang. Die Seite entspricht der Länge und die Seite der Breite. Die Eckpunkte und Winkel sind gleich wie beim Quadrat. Umfang: Der Umfang eines Rechtecks entspricht der Summe aller vier Seiten. Das heisst, wenn du alle vier Seiten zusammenzählst bekommst du den Umfang. Fläche: Die Fläche eines Rechtecks ist der Bereich der durch die 4 Seiten eingeschlossen wird. Im Beispiel oben die graue Fläche. Diese wird berechnet, indem du zwei Seiten miteinander multiplizierst. Z.B. (Länge) (Breite). Das Ergebnis einer Flächenberechnung enthält immer ein (hoch zwei). Z.B. 5 cm oder 2km. 4.2 Übungen Berechne Umfang und Fläche eines Rechtecks. 5cm 8cm 7m 5. 9m 12m 7m 8cm 5cm Dreieck 5.1 Beschriftung c Winkel im Dreieck: Es gibt in einem Dreieck drei Winkel. Der Winkel beim Eckpunkt heisst Alpha und wird mit abgekürzt. Der Winkel beim Eckpunkt heisst Beta und wird mit abgekürzt. Der Winkel beim Eckpunkt heisst Gamma und wird mit abgekürzt. Die 3 Höhen werden in einem 90 Winkel von der Seite zum Eckpunkt eingezeichnet. Z.B Seite zu Eckpunkt in einem 90 Winkel. Diese Höhe wird hc genannt. Die drei Winkel Alpha (), Beta () und Gamma () ergeben zusammengerechnet immer 180. Beispiel: Wenn 60 ist und 90 so ist 30 Rechnung: 180 60 90 30 Aufgaben: Berechne jeweils den dritten Winkel! Winkel Alpha () Winkel Beta () 70 30 63 50 44 Winkel Gamma () 102 60 33 28 77 102 19 5.2 Dreiecksarten Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken. Unterschieden werden Dreiecke mit verschiedenen Winkel oder Seiten. Spitzwinkliges Dreieck: kein Winkel des Dreiecks ist grösser als 90! Rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel im Dreieck ist genau 90 gross! - Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel im Dreieck ist zwischen 90 und 180 gross! - Gleichseitiges Dreieck: Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel sind 60. / b c Gleichschenkliges Dreieck: Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Dementsprechend sind auch die beiden Winkel dieser Seiten gleich gross. / - Ungleichseitiges Dreieck: Alle Dreieck bei denen die drei Seiten eine unterschiedliche Länge aufweisen. C b c 5.3 Dreiecke konstruieren Um Dreiecke selber zu konstruieren benötigst du ein Geodreieck und einen Zirkel. Ebenfalls musst du Winkel messen und zeichnen können. Mache immer zuerst eine Skizze und zeichne dabei die Seiten oder Winkel ein, welche vorgegeben sind. Beispiel 1: Die Seiten und sind gegeben. Ebenfalls weisst du den Winkel . b 4cm Skizze: a 6cm 60 Zeichne zuerst einen Winkel der 60 gross ist. 60 c Jetzt nimmst du das Geodreieck und misst von aus 4cm auf der Linie ab und machst dort einen Punkt. Nun misst du6cm auf der Linie ab und machst dort auch einen Punkt. Wenn du beide Punkte verbindest bekommst du das gesuchte Dreieck. Beispiel 2: Du hast nun zwei Seiten und einen Winkel vorgegeben. Die zwei Seiten schliessen den vorgegebenen Winkel jedoch nicht ein. a 5cm Skizze: a 7cm 50 Zeichne zuerst die Seite (7cm). Anschliessend misst du vom Punkt einen 50 Winkel ab. Dadurch erhältst du die Seite b. Du weisst aber noch nicht wie lang die Seite ist. Das findest du heraus, indem du den Zirkel nimmst und 5cm (Seite a) abmisst. Jetzt steckst du den Zirkel beim Eckpunkt ein und schneidest die Linie b. Der Schnittpunkt ist gleichzeitig der Eckpunkt C. Beispiel 3: Du hast nun zwei Winkel und eine Seite vorgegeben. c 6cm Skizze: 40 60 c Zeichne zuerst die Seite (6cm) ein. Nun misst du beim Punkt den Winkel 40 und beim Punkt den Winkel 60. Dort wo sich beide Winkel schneiden ist der Eckpunkt C. Aufgaben: Für die anschliessenden Aufgaben benötigst du: Geodreieck Zirkel Bleistift (gespitzt) Blatt (mit Häuschen) Mache immer zuerst eine Skizze und zeichne mit Farbe ein, welche Masse (Seiten, Winkel) bereits vorgegeben sind. a) 4cm b 5cm 65 b) 5cm c 7cm 50 c) d) e) f) 3.5 cm c 4.5cm 45 5cm c 6.5cm 55 4.5cm a 5cm 38 5.5cm a 4.5cm 45 Beschrifte nun deine 6 Dreiecke vollständig und zeichne bei allen die drei Höhen ein! Zusätzlich misst du alle Winkel in den 6 Dreiecken und schreibst diese direkt neben die Winkel. Beispiel: 75 a 45 60 c 5.4 Flächenberechnung im Dreieck Die Formel für die Berechnung der Fläche in einem Dreieck lautet: Grundlinie Höhe 2 h 2.5cm A 4cm Grundlinie (g) Rechnung: 2.5cm 4cm 2 5cm 5.5 Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck Die Formel für die Berechnung der Fläche in einem rechtwinkligen Dreieck lautet: ab 2 b 4cm b 4.5cm B Rechnung: 4cm 4.5cm 2 9 cm Aufgaben: 5cm 6cm 15m 8m 65mm 80mm 5km 8km 2.5cm 15cm 11.3m 7.2m 18.5cm 3.7cm 58mm 135mm 4.5m 3m 65mm 14mm 124m 95mm 6. 6.1 Würfel Beschriftung Formel Rechnung Ergebnis Beschrifte den abgebildeten Würfel mit A,B,C,D,E,F,G,H. Zeichne die fehlenden Linien ein! Ein Würfel besitzt 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Alle Kanten in einem Würfel sind gleich gross! Wir kürzen die Kanten eines Würfels mit ab. Wenn wir den Würfel auseinanderfalten entsteht eine Würfelabwicklung: s s s 6.2 Oberflächenberechnung Um die Oberfläche eines Würfels zu berechnen, musst du zuerst die Fläche eines einzelnen Quadrats berechnen: Rechnung: s Da du in einem Würfel 6 gleich grosse Flächen hast, musst du s mal 6 rechnen. Dadurch erhältst du die Formel für die Oberflächenberechnung eines Würfels: 6 s Aufgaben: Formel Rechnung Ergebnis 5cm 8cm 15mm 19km 23m 44cm 12.5m 6.3 Volumenberechnung Um das Volumen (Inhalt) eines Würfels zu berechnen, musst du zuerst die Fläche vom „Boden des Würfels ausrechnen und diese dann mit der Höhe (s) multiplizieren. Beispiel: s 1.) Du rechnest die Bodenfläche aus: ss 2.) Du multiplizierst die Bodenfläche mit s: sss s Aufgaben: 5mm 8m 12cm 17km 37cm 144m 199mm 7. 7.1 Kreis Beschriftung Formel Rechnung Ergebnis Radius Durchmesser Mittelpunkt Kreissehne Kreislinie Der Durchmesser eines Kreises ist immer doppelt so gross wie der Radius!! d2r Konstruktion: Ein Kreis wird immer mit Hilfe des Zirkels konstruiert. Dabei ist die Grösse des Kreises von der Länge des Radius abhängig! 7.2 Umfang des Kreises Mit dem Umfang eines Kreises ist die Länge der Kreislinie gemeint. Da es sich bei der Kreislinie nicht um eine Strecke handelt, kannst du diese nicht mit einem Massstab oder dem Geodreieck messen. Du benötigst dazu eine mathematische Formel. U2r Beispiel: Der Radius eines Kreises beträgt 5cm. Setze den Radius in die Formel ein. 2 5cm 10 31,4159cm Das Symbol findest du auf deinem Taschenrechner. Es handelt sich dabei um die Zahl 3.1415926535 Sie dient uns zur Berechnung von Umfang und Fläche des Kreises. 7.3 Fläche des Kreises Um die Fläche eines Kreises zu berechnen brauchst du ebenfalls eine Formel. r Beispiel: Der Radius eines Kreises beträgt 5cm. Setze den vorgegebenen Radius in die Formel ein: 5 Wie gross ist nun die Fläche dieses Kreises? Rechne: 7.4 Aufgaben zu Fläche und Umfang Du kannst die Fläche und den Umfang eines Kreises berechnen, wenn du wie oben beschrieben, den Radius des Kreises weisst. Es kann jedoch auch vorkommen, dass du die Fläche oder den Umfang kennst und den Radius herausfinden musst. Beispiel: Der Umfang beträgt 45cm. Wie gross ist der Radius? 45cm 2 Ich nehme das mit „geteilt durch auf die andere Seite des Gleichzeichens. 45cm 2r Jetzt nehme ich auch die Zahl 2 mit „geteilt durch auf die andere Seite des Gleichzeichens. 45cm 2r 14.323cm 2 r 7.162cm r Der Radius dieses Kreises beträgt somit: 7.162cm Genau gleich kannst du vorgehen, wenn die Fläche vorgegeben ist und du den Radius daraus berechnen musst. Beispiel: Die Fläche des Kreises beträgt 50cm. Wie gross ist der Radius? 50cm r Ich nehme wie oben das Gleichzeichens. mit „geteilt durch auf die andere Seite des 50cm r Jetzt musst du das auf die andere Seite bringen, damit nur noch auf der linken Seite des Gleichzeichens steht. Das kannst du machen, indem du die rechte Seite des Gleichzeichens geteilt durch die Wurzel () rechnest. (50cm )r (15.91) r 3.989cm r Der Radius dieses Kreises beträgt somit 3.989cm. 7.5 Aufgaben Radius (r) Durchmesser (d) Radius (r) Umfang (U) Fläche (F) 5cm 12m 16cm 18km 11mm 90m 49km 64m 146mm 81km 20mm 120cm 64m 8. Symmetrie 8.1 Symmetrische Figuren Als symmetrisch bezeichnet man alle Figuren, die eine Symmetrieachse besitzen. Das heisst, alle Figuren, die auf der linken Seite der Symmetrieachse genau gleich aussehen wie auf der rechten. Beispiele: Die rote Linie wird als Symmetrieachse bezeichnet! Aufgabe: Überlege dir welche Buchstaben (Grossbuchstaben) des Alphabets symmetrisch sind. Zeichne bei den jeweiligen Buchstaben die Symmetrieachse rot ein! Löse die Aufgabe in dein Geometrieheft! Welche der folgenden Figuren besitzen eine Symmetrieachse? Zeichne sie ein! 8.2 Achsensymmetrie Bei der Achsensymmetrie spiegelt man eine Figur an einer Symmetrieachse. Dabei verwendet man das Geodreieck! Beispiel: Symmetrieachse D Du kannst dein Geodreieck wie oben abgebildet auf die Symmetrieachse legen. Anschliessend misst du den Abstand von der Symmetrieachse zum Punkt A. Du überträgst nun den Punkt auf die rechte Seite. Dieser hat den gleichen Abstand zur Symmetrieachse und heisst A‘. Versuche nun die Figur ABCD an der Symmetrieachse zu spiegeln. D Symmetrieachse Es ist auch möglich, dass du zwei Figuren vorgegeben hast und die Symmetrieachse selber einzeichnen musst. A‘ E‘ B‘ C‘ D‘ Verbinde die zwei Punkte und A‘. Miss den Abstand zwischen den Punkten und A‘. Markiere die Mitte. Lege das Geodreieck wie auf der Abbildung unten hin und zeichne die Symmetrieachse ein. A‘ B‘ E‘ C‘ D‘ Symmetrieachse 8.3 Übungen Beschrifte zuerst die Eckpunkte und spiegle anschliessend die folgenden Figuren an der Symmetrieachse! 8.4 Punktsymmetrie Bei der Punktspiegelung wird ein Objekt nicht an einer Symmetrielinie wie bei der Achsensymmetrie gespiegelt, sondern nur an einem einzelnen Punkt. Bei der Punktspiegelung werden die Eckpunkte (A,B,C,D,) wie bei der Achsenspiegelung zu A‘, B‘, C‘, D‘, Von jedem Eckpunkt wird eine Linie durch den Spiegelpunkt gezogen. Du kannst den Spiegelpunkt entweder mit dem Zirkel oder dem Geodreieck abtmessen. D‘ C‘ B‘ A‘