Arbeitsblatt: Winkel im Dreieck Grundwissen 7 Klasse

TRI02 Kreis und Winkel Aufgaben Die folgenden Aufgaben prüfen, ob ihr das Wissen aus den Videos anwenden könnt. Schreibt den Lösungsweg vollständig auf, um eure Fehlerquellen nachher schneller zu entdecken. A: Allgemeine Fragen 1. Definiere die Begriffe Punkt und Strecke. 2. Worin unterscheiden sich Strahl und Gerade voneinander? 3. Was ist ein Geradenabschnitt? 4. Wie notiert man eine Strecke von Punkt nach (Schreibweise)? 5. Die drei Punkte A, B, liegen auf einer Geraden. Welche möglichen Strecken kannst du aus ihnen bilden? 6. Die Punkte A, B, C, liegen hintereinander auf einer Geraden. Strecke AB ist 15 cm lang, Strecke BC ist doppelt so lang wie AB, Strecke CD ist 1,5 mal so lang wie Strecke BC. Wie lang ist die Strecke AD? B: Aufgaben zum Kreis 1. Wie ist der Kreis definiert? 2. Nenne alle dir bekannten Bestandteile des Kreises inkl. Strecken am Kreis. 3. Wie groß ist die Kreiszahl Pi (auf zwei Nachkommastellen genau)? 4. Wie ergibt sich Pi? 5. Pi ist eine irrationale Zahl, was bedeutet das? 6. Wie lautet die Formel für den Kreisumfang? 7. Wie lautet die Formel für die Kreisfläche? 8. Wie nennt man eine Gerade oder Strecke, die die Kreislinie nur in 1 Punkt berührt? Seite 1 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV C: Aufgaben zu Winkeln 1. Wie entsteht ein Winkel? 2. Wie kann man Winkel notieren? Gib 2 mögliche Schreibweisen an. 3. Ergänze die fehlenden griechischen Buchstaben: Alpha Beta Gamma Delta 4. Wie nennt man diese griechischen Buchstaben? 5. Welche Winkelmaße bzw. Einheiten für Winkel kennst du? 6. Nenne alle dir bekannten Winkelarten. 7. Misst man Winkel im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn? 8. Wie viel sind 27 in Prozent ausgedrückt? 9. Wie viel sind 25 des Kreises in Grad ausgedrückt? 10. Wie viel sind 200 gon in Prozent ausgedrückt? 11. Wie viel sind 270 in gon? 12. Wandle 315 in Prozent und Gon um. D: Allgemeine Fragen zu Winkeln an Geraden 1. Erkläre die Begriffe Scheitelwinkel (Gegenwinkel) und Nebenwinkel. 2. Was ist ein Supplementwinkel? 3. Wenn der Nebenwinkel 80 groß ist, wie groß ist dann der anliegende Winkel? 4. Zwei Gegenwinkel sind zusammen 100 groß. Wie groß ist ein Nebenwinkel? 5. Bei einer Geraden, die zwei Parallelen schneidet, entsteht ein Stufenwinkel. Was ist das? 6. Was ist ein Wechselwinkel bei einer Geraden, die zwei Parallelen schneidet? Seite 2 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV E: Rechenaufgaben zum Kreis 1. Der Durchmesser eines kreisrunden Baumstamms beträgt 1,5 m. Wie groß ist der Umfang des Baumstamms? 2. Die Erde hat entlang des Äquators einen Umfang von 40.075 km. Der Äquator sei kreisförmig und die Erde eine Kugel. Wie weit ist es von der Erdoberfläche bis zum Erdmittelpunkt? 3. Aus einer rechteckigen Holzplatte mit den Maßen 1,20 * 0,70 soll ein größtmöglicher Kreis herausgeschnitten werden. Welche Fläche und welchen Radius hat dieser Kreis? 4. Die Turmuhr des Big Ben hat einen Durchmesser von 7,0 m. Der Stundenzeiger wandert von 12 Uhr auf 5 Uhr, wie viel Fläche wird dabei überstrichen? 5. Drei gleich große Kreise mit einem Radius von 3 cm werden nebeneinander gelegt. Um diese drei Kreise wird ein großer Kreis gezeichnet. Vergleiche Skizze: 5.A. Wie groß ist die Fläche des großen Kreises? 5.B. Wie groß ist die nicht überdeckte, gelbe Fläche des großen Kreises? 6. Ein Flugzeug fliegt eine kreisförmige Route, die einen Durchmesser von 400 km hat. Die Strecke Reisezeit beträgt 4 Stunden. Wie schnell fliegt das Flugzeug? Tipp: Geschwindigkeit Zeit 7. Eine runde Helikopterlandefläche von 50 m wird um 40 vergrößert. Um wie viel Prozent verändert sich der Radius? 8. Ein Kreissektor hat eine Fläche von 25 cm. Der Kreisradius ist 4 cm. 8.A. Wie groß ist der Kreis? 8.B. Wie groß ist der vom Kreissektor aufgespannte Winkel? ENDE Seite 3 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV Lösungen A. Lösungen zu Allgemeinen Fragen 1. Definition Punkt und Strecke Ein Punkt ist ein Objekt ohne Ausdehnung (es hat keine Fläche und keine Länge). Eine Strecke ist eine gerade Linie, die durch zwei Punkte begrenzt wird. Sie ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Wir können ihre Länge messen. 2. Unterschied zwischen Strahl und Gerade Ein Strahl ist eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, auf der anderen Seite geht sie ins Unendliche. Der Strahl hat einen Anfangspunkt und ein weiterer Punkt bestimmt seine Richtung. Im Gegensatz hierzu ist die Gerade eine gerade Linie, die auf beiden Seiten unbegrenzt ist. 3. Geradenabschnitt Ein Geradenabschnitt ist eine Strecke auf einer Geraden. 4. Schreibweise Strecke von Punkt nach Die geläufigste Schreibweise ist, beide Punkte nebeneinander zu schreiben und einen Strich darüber zu setzen, also die Strecke von nach schreibt man: AB oder man verwendet einen Kleinbuchstaben, um sie zu kennzeichnen: AB a (oder ein anderer Buchstabe) 5. Mögliche Strecken aus Punkten A, B, Es ergeben sich die Strecken: AB und BC und AC 6. Länge der Strecke AD Strecke AB 15 cm Strecke BC 2 AB 2 15 cm 30 cm Strecke CD 1,5 BC 1,5 30 cm 45 cm Strecke AD AB BC CD Strecke AD 15 cm 30 cm 45 cm 90 cm B: Lösung der Aufgaben zum Kreis 1. Definition Kreis Ein Kreis ergibt sich aus unendlich vielen Punkten im gleichen Abstand zu einem Punkt (sogenannter Mittelpunkt). Alternativ können wir sagen: Ein Kreis ist ein regelmäßiges Polygon mit unendlich vielen Seiten. 2. Bestandteile des Kreises inkl. Strecken Radius, Durchmesser, Kreisfläche, Kreissektor, Kreisbogen, Sehne Seite 4 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 3. Wert der Kreiszahl Pi Pi 3,14 4. Pi Pi ergibt sich aus dem Verhältnis von Kreisumfang zu Radius, also: r 5. Pi ist eine irrationale Zahl Das bedeutet, dass diese Zahl: unendliche viele Nachkommastellen hat (also Zahlen hinter dem Komma), Nachkommastellen hat, die nicht periodisch sind, nicht als Bruch darstellbar ist. 6. Formel für den Kreisumfang Der Kreisumfang ergibt sich aus Pi und 2*Radius, also: 2* r 7. Formel für die Kreisfläche Der Kreisfläche ergibt sich aus Pi und Radius ins Quadrat, also: r2 8. Gerade, die Kreislinie in 1 Punkt berührt Diese Gerade nennen wir Tangente. Das kommt vom Lateinischen tangere berühren. C: Lösung der Aufgaben zu Winkeln 1. Entstehung eines Winkels Ein Winkel entsteht aus 3 gegebenen Punkten. Einer der Punkte ist der Scheitelpunkt des Winkels (Anfangspunkt), die anderen beiden Punkte lassen zwei Strahlen entstehen. Definiert wird der Winkel als Teil der Ebene, der von zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird 2. Winkel notieren Schreibweise 1: mit Hilfe eines griechischen Buchstabens, Beispiel: Schreibweise 2: mit Hilfe der 3 Punkte und des Winkelsymbols, Beispiel: BAC, wobei der Scheitelpunkt ist, also dort, wo der Winkel liegt 3. Griechischen Buchstaben ergänzen Alpha Beta Gamma Delta Seite 5 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 4. Namen dieser griechischen Buchstaben Epsilon Lambda My (gesprochen mü) Pi Omega 5. Winkelmaße (Einheiten für Winkel) Gradmaß Gon Prozent Zeitmaß geodätisches Maß u.a. 6. Winkelarten Winkelgröße Winkelname 0 Nullwinkel zwischen 0 und 90 Spitzer Winkel 90 Rechter Winkel zwischen 90 und 180 Stumpfer Winkel 180 Gestreckter Winkel zwischen 180 und 360 Überstumpfer Winkel zwischen 270 und 360 Überspitzer Winkel (früher) 360 Vollwinkel 7. Winkelmessung Die Winkelmessung erfolgt in den meisten Fällen gegen der Uhrzeigersinn. Nur beim Zeitmaß und beim geodätischen Maß misst man im Uhrzeigersinn. 8. 27 in Prozent Um das zu lösen, stellen wir eine Verhältnisgleichung auf: 100% 27 360 Und stellen die Gleichung um: 100% *27 27 360 100% 360 *27 100%*27 360 2.700% 360 direkt im Taschenrechner rechnen oder teilweise Primfaktorzerlegung 3*3*3*10*10% Zähler und Nenner kürzen 4*3*3*10 Seite 6 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 3*10% 4 7,5 Antwort: 27 sind 7,5 des Kreises. 9. 25 des Kreises in Grad Zuerst wieder eine Verhältnisgleichung aufstellen und diese dann nach auflösen: 360 *25% 25% 100% 360 100% *25% 360*25% 100% :25 kürzen 360*1 4 90 Antwort: 25 des Kreises entsprechen 90. 10. 200 gon in Prozent Zuerst die Verhältnisgleichung: 100% 200 gon 400 gon *200 gon 100% 400 gon *200 gon 100%*200 gon 400 gon 20000% 400 50 Antwort: 200 gon entsprechen 50 des Kreises. 11. 270 in gon Verhältnisgleichung: 100% 270 gon 400 gon *270 gon 100% 400 gon *270 gon 100%*270 gon 400 gon 67,5 Antwort: 270 gon entsprechen 67,5 des Kreises. Seite 7 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 12. 315 in Prozent und gon Berechnung für Prozent: 100% *315 360 315 100% 360 *315 100%*315 360 87,5 Berechnung für Gon: 400 gon *315 315 360 400 gon 360 *315 400 gon*315 360 350 gon Mögliche Proben: 87,5 * 400 gon 350 gon 87,5 * 360 315 350 gon bzw. 400 gon 0,875 87,5 Antwort: 315 entsprechen 87,5 bzw. 350 gon. D: Lösung der Aufgaben zu Winkeln an Geraden 1. Scheitelwinkel und Nebenwinkel Der Scheitelwinkel (Gegenwinkel) meint den Winkel, der einem Winkel an sich zwei schneidenden Geraden gegenüberliegt. Der Nebenwinkel hingegen ist der Winkel, der neben einem Winkel an der Geraden liegt. Zusammen müssen Scheitel- und Nebenwinkel 180 ergeben. 2. Supplementwinkel Ein Supplementwinkel ist ein Winkel, der mit einem anliegenden zweiten Winkel zusammen 180 ergibt. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man auf einer Gerade einen Punkt setzt und dort einen gestreckten Winkel einzeichnet (180) und diesen dann in 2 Winkel unterteilt (z. B. 50 und 130). Beide Winkel sind zueinander Supplementwinkel (Ergänzungswinkel). 3. Größe des anliegenden Winkels (Nebenwinkel 80) Wenn der Nebenwinkel 80 groß ist, so hat der Winkel eine Größe von 180 80 100. 4. Größes des Nebenwinkels (zwei Gegenwinkel 100) 2 Gegenwinkel 100 1 Gegenwinkel 100 2 50 Seite 8 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV Der anliegende Winkel ist also 180 50 130 groß. 5. Stufenwinkel bei Gerade, die Parallelen schneidet Ein Stufenwinkel ist ein Winkel, der bei den zwei geschnittenen Parallelen auf der gleichen Seite liegt und gleich groß ist. 6. Wechselwinkel bei Gerade, die Parallelen schneidet Ein Wechselwinkel ist der Scheitelwinkel (Gegenwinkel) des Stufenwinkels. E: Lösung der Rechenaufgaben zum Kreis 1. Kreisrunder Baumstamm gegeben: Durchmesser 1,5 gesucht: Umfang Lösung: Formel für Kreisumfang: 2* r Radius : 2 1,5 : 2 0,75 Radius einsetzen in Formel für Kreisumfang: 2* r 2* 0,75 u 4,712 Antwort: Der Baumstamm hat einen Durchmesser von ca. 4,712 m. 2. Entfernung Erdoberfläche bis Erdmittelpunkt gegeben: Umfang der Erde 40.075 km gesucht: Radius (Der Durchmesser ist die Strecke von der einen Seite des Kreises zu anderen Seite des Kreises durch den Mittelpunkt. Wir wollen jedoch nur die Hälfte der Strecke, also den Radius.) Lösung: Formel für Kreisumfang: 2* r Formel zunächst nach umstellen: 2* r :2* u:(2*) r Bruchschreibweise 2* r r 2* u40.075 km einsetzen 40.075 km r 2* 6.378,13 km Antwort: Der Radius der Erde, also die Entfernung von Erdoberfläche zum Erdmittelpunkt beträgt ca. 6.378,13 km. Seite 9 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 3. Kreis aus rechteckiger Holzplatte Maße der rechteckigen Holzplatte: 1,20 * 0,70 - damit ist der größtmögliche Durchmesser für den Kreis 0,70 Radius: rd:2 0,70 : 2 0,35 Kreisfläche: r2 (0,35 m)2 0,35 m2 0,1225 m2 0,385 m2 Antwort: Der größtmögliche auszuschneidende Kreis hat einen Radius von 0,35 und eine Kreisfläche von ca. 0,385 m. 4. Turmuhr des Big Ben gegeben: Durchmesser 7,0 Stundenzeiger wandert von 12 Uhr auf 5 Uhr, gesucht: überstrichene Fläche Lösung: • Kreisfläche gesamt ausrechnen über die Formel r2 • dazu Radius bestimmen rd:2 r7m:2 3,5 • Radius in Flächenformel einsetzen und Kreisfläche bestimmen: r2 (3,5m)2 12,25 m2 38,485 m2 • Prozentualen Anteil der überstrichenen Fläche ermitteln: 12 Uhr bis 5 Uhr 5 Stunden Kreis der Uhr 12 Stunden 5 Anteil bilden: 12 0,416667 41,67 • Anteil auf Kreisfläche anwenden und überstrichene Kreisfläche berechnen: 41,67 von 38,485 m A2 41,67 * 38,485 m A2 16,037 m Seite 10 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV Antwort: Die von 12 Uhr bis 5 Uhr überstrichene Kreisfläche beträgt ca. 16,037 m. 5. Drei gleich große Kreise gegeben: Radius jeden kleinen Kreis mit 3 cm Lösung 5.A. Fläche des großen Kreises Wir sehen, dass sich der Durchmesser des großen Kreises ergibt, indem wir die Durchmesser der 3 kleinen Kreise addieren. Der Durchmesser ist 2 Mal der Radius, also: 2 r 2 3 cm 6 cm 3 6 cm 18 cm Nun können wir die Kreisflächenformel zur Hilfe nehmen und den Radius einsetzen. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also : 2 18 cm 2 9 cm AKreis r2 AKreis (9 cm)2 AKreis 81 cm AKreis 254,469 cm Antwort: Die Fläche des großen Kreises beträg rund 254,469 cm. 5.B. Größe der nicht überdeckten, gelbe Fläche des Kreises Diese Fläche erhalten wir, wenn wir vom Gesamtkreis die Fläche der drei kleinen Kreise abziehen. Hierzu müssen wir zuerst die Fläche der kleinen Kreise ermitteln. Bekannt ist der Radius mit 3 cm. AKleiner Kreis r2 AKleiner Kreis (3 cm)2 AKleiner Kreis 9 cm AKleiner Kreis 28,274 cm Agelb AKreis 3*AKleiner Kreis Agelb 254,469 cm 3*28,274 cm Agelb 169,647 cm Antwort: Die gelbe, nicht überdeckte Fläche hat eine Größe von rund 169,647 cm. Seite 11 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 6. Flugzeug mir kreisförmiger Route gegeben: kreisförmige Route mit Durchmesser 400 km, Reisezeit 4 Std. gesucht: Geschwindigkeit des Flugzeugs Lösung: Zuerst den Umfang des Kreises, also die Länge der Route berechnen: 2* r Radius ergibt sich aus halbem Durchmesser, also : 2 400 km 2 200 km 2* 200 km 1.256,64 km Dann wissen wir, dass sich die Geschwindigkeit ergibt aus: Strecke Geschwindigkeit Zeit bzw. abgekürzt: s 1.256,64 km und 4 1.256,64 km v 4h km 314,16 7. Vergrößerung der Helikopterlandefläche gegeben: Fläche 50 m, Vergrößerung um 40 gesucht: Veränderung Radius in Prozent Lösung: Zuerst ermitteln wir die neue, vergrößerte Fläche: Anachher Avorher 140 Anachher 50 m 140 Anachher 70 m Dann nutzen wir die Flächenformel für den Kreis, um die Kreisflächen zu bestimmen: r2 Einmal für Avorher 50 m und einmal für Anachher 70 m: Avorher r2 50 m r2 : 2 50 m r r2 50 m r2 15,92 m r1,2 15,92 m das negative Ergebnis kann vernachlässigt werden, da es keine negativen Strecken gibt 15,92 m rvorher 4 Anachher r2 70 m r2 : 2 70 m r r2 70 m r2 22,28 m r1,2 22,28 m das negative Ergebnis kann vernachlässigt werden, da es keine negativen Strecken gibt Seite 12 von 13 TRI02 Kreis und Winkel Echt Einfach TV 22,28 m rnachher 4,72 Um die prozentuale Veränderung zu ermitteln, setzen wir rvorher und rnachher ins Verhältnis: rnachher p vorher 4,72 p 4m 1,18 118 pÄnderung 118 - 100 18 Antwort: Wenn sich der Flächeninhalt um 40 vergrößert, dann vergrößert sich der Radius um etwa 18 %. 8. Kreis anhand Kreissektor bestimmen gegeben: Kreissektor-Fläche 25 cm, Kreisradius 4 cm gesucht: 8.A. Kreisfläche, 8.B. Kreissektor-Winkel Lösung: 8.A. Kreisfläche Die Kreisfläche kann, da der Radius mit 4 cm gegeben ist, direkt bestimmt werden: r2 (4 cm)2 4 cm2 16 cm2 50,27 cm2 8.B. Kreissektor-Winkel Wir können eine Verhältnisgleichung aufstellen, indem wir die gesamte Kreisfläche der 360 (Vollwinkel des Kreises) gegenüberstellen sowie die Kreisfläche des Kreissektors dem unbekannten Winkel gegenüberstellen: AKreis AKreissektor 360 50,27 cm 25 cm 360 360 50,27 cm 25 cm 360 50,27 cm *25 cm Kehrwert *25 cm 179 Antwort: Der Kreis hat eine Fläche von ca. 50,27 cm und der Kreissektor spannt einen Winkel von ca. 179 auf. ENDE Seite 13 von 13