Arbeitsblatt: Winkelsummensatz dreieck

1 Inhalt der Unterrichtseinheit vom 5.11.2013 Mathematik 7CD/E1 Beweis des Winkelsummensatz im Dreieck erstellt von Alexander Goehl 28.10.2013 2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Sachanalyse 3 2 Didaktische Analyse 2.1 Rechtfertigung der Unterrichtseinheit . 2.2 Didaktische Anmerkung . . . . 2.3 Einordnung in die Unterrichtsreihe . 2.4 Allgemein mathematische Kompetenzen . . 5 5 5 6 7 3 Lernvoraussetzungen 3.1 Die Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Der Lernstoff . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lernziele 10 4.1 Groblernziel . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Feinlernziele . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Methodische Analyse 11 7 Stundenverlaufsplan 14 6 Aufgabenblatt 15 8 Hausaufgabe 16 9 Tafelbild 17 1 Sachanalyse 3 1 Sachanalyse Schneiden sich zwei Geraden, dann entstehen vier Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Man unterscheidet dabei zwischen den sogenannten Scheitelwinkeln und den Nebenwinkeln. Besitzen zwei Winkel einen gemeinsam Scheitelpunkt und ergänzen sich die beiden Schenkel paarweise zu Geraden, so spricht man von einem Scheitelwinkel. Von Nebenwinkeln spricht man, wenn zwei Winkel einen gemeinsamen Schenkel besitzen und sich die beiden anderen Schenkel zu einer Gerade ergänzen1 Ein Dreieck wird durch die drei Eckpunkte A, und welche nicht in einer Ebene liegen Abbildung 1.1: Schnittwinkel an zwei gebildet. Durch diese drei Punkte werden drei Strecken de- Geraden finiert, die man Seiten des Dreiecks nennt. Man bezeichnet diese Strecken mit a, und c. Dabei liegt rBC dem Eckpunkt A, rAC dem Eckpunkt und rAB dem Eckpunkt gegenüber. Werden nicht nur die Strecken rAB s, rBC und rAC sondern die dadurch gegebenen Geraden betrachtet, so entstehen an jeder Ecke vier Winkel. Von diesen vier Winkeln haben jeweils zwei das gleiche Winkelmaß. Man nennt die1.2: Beweis des Winkelsummensatzes mithilfe von Nese Scheitelwinkel. Lediglich einer der vier Abbildung benlwinkeln Winkel an jeder Ecke des Dreiecks enthält in seinem Winkelfeld das Innere des Dreiecks. Diese Winkel werden Innenwinkel des Dreiecks genannt. In der Abbildung 1.2 sind die Innenwinkel des Dreiecks ?CAB , ?ABC und ?BCA . Die Nebenwinkel zu den jeweiligen Innenwinkeln eines Dreiecks nennt man seine Außenwinkel 2 in Abbildung 1.1 bezeichnet mit 1 1 und 1 Der Beweis des Winkelsummensatzes kann auf verschiedene Arten geführt werden. Der klassische Schulbuchbeweis wird über die Zerreißprobe geführt. Durch Konstruktion einer parallelen Gerade zu einer beliebigen Dreiecksseite durch den entsprechen- Abbildung 1.3: Beweis des Winkelsummensatzes mithilfe Wechselwinkeln den Eckpunkt entstehen zwei Wechselwinkel, welche mit dem verbleibenden Innenwinkel einen gestreckter Winkel ergeben. 1 2 Roth, Stingl: Geometire Buch 1, Bayerischer Schulbuch- Verlag, München 1978, S.65 Ernst:Geometire 1, Ehrenwirth Verlag, 3. Auflage 1975, S.25 von 1 Sachanalyse 4 Unter der Annahme, dass die Summe der Außenwinkel 360 ergibt lässt sich der Beweis jedoch auch wie folgt führen: Voraussetzung: 1 1 1 360 und 1 180 1 180 bzw. 1 180 Behauptung: 180 Beweis: 1 1 1 3 180 Für muss demnach gelten 180 Dieser Beweis wird, mit der oberen Annahme über die Größe der Außenwinkel, lediglich mithilfe der Argumentation über Nebenwinkel geführt. 2 Didaktische Analyse 5 2 Didaktische Analyse 2.1 Rechtfertigung der Unterrichtseinheit Mit dem Erweiterungskurs der Klasse 7 befinden wir uns in Woche 3 nach den Herbstferien im Bereich der Leitidee L3: Raum und Form des Rahmenlehrplans für die Sekundarstufe 1. Das Thema der Unterrichtsreihe gliedert sich dort im Themenkreis Sätze der ebenen Geometrie ein. Die untergeordneten Themen stellen sich dort wie folgt dar: • Winkelsumme bei Dreiecken und Vierecken kennen und anwenden • Winkelsätze an einfachen und doppelten Geradenkreuzungen begründen und anwenden. – Den Satz über die Winkelsumme im Dreieck begründen. – Den Satz des Thales begründen und anwenden. • Zwischen dem Satz des Thales und seiner Umkehrung unterscheiden und die Umkehrung begründen In den Bildungsstandards findet das Thema Beweis des Winkelsummensatzes unter Verwendung der Nebenwinkelbeziehungen seine Legitimation unter dem Punkt Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen. 2.2 Didaktische Anmerkung Beweisführungen haben in der Mathematik einen zentralen Stellenwert. Die Geometrie bietet sich an, um Schülerinnen und Schüler an das formale Beweisen heran zu führen. So ist der Winkelsummensatz im Dreieck oft der erste Beweis, dem die Schülerinnen und Schüler in ihrer Schulzeit begegnen. Dreiecke spielen in der Schulgeometrie eine wichtige Rolle. Der Umgang mit dieser Figur wird sowohl rechnerisch als auch konstruktiv immer wieder thematisiert. Zu nennen wäre hier die Behandlung von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten, der In- bzw. Umkreis, Kongruenzen und Dreieckskonstruktionen, Höhen und Flächeninhalte, Sätze am rechtwinkligen Dreieck und natürlich in der Trigonometrie zur Berechnung von Seitenlängen aus gegebenen Winkeln und umgekehrt. Dem Winkelsummensatzes kommt als Hilfsmittel für zukünftige Beweisführungen in der Geometrie eine große Bedeutung zu. Er wird immer wieder verwendet, um auf die Gleichheit zweier Winkelmaße zu schließen oder aus gegeben Winkelmaßen fehlende zu bestimmen. Der sichere Umgang mit Dreiecken ist 2 Didaktische Analyse 6 darüber hinaus auch fächerübergreifend in der Physik von Bedeutung, beispielsweise bei Berechnungen an der schrägen Ebene. 2.3 Einordnung in die Unterrichtsreihe Nach einer Wiederholung der geometrischen Grundbegriffe wurde zu Beginn der Unterrichtsreihe spielerisch die Dreiecksungleichung erarbeitet und damit die grundsätzliche Frage nach der Konstruierbarkeit von Dreiecken geklärt. Es folgte die Klassifizierung von Winkeln an einfachen Geradenkreuzungen. Der rechnerische Umgang mit Nebenund Scheitelwinkeln wurde gefestigt und es folgte die Behandlung von Stufen- und Wechselwinkeln an doppelten Geradenkreuzungen. Es schließt sich das Thema Winkelsummensatz im Dreieck an. 7 2 Didaktische Analyse 2.4 Allgemein mathematische Kompetenzen allgemein mathematische Kompetenzen. K1 • Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind • mathematische Argumentationen entwickeln • mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten K5 K6 • symbolische und formale Sprache in natürlich Sprache übersetzen und umgekehrt • Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien. • die Fachsprache adressatengerecht verwenden .konkretisiert am didaktischen Ort • Wie verändert sich die Summe der Außenwinkel, wenn ein anderes Dreieck gewählt wird? • Da die Außenwinkel die Nebenwinkel der Innenwinkel sind, kann über die Summe der Außenwinkel ein Rückschluss auf die Summe der Innenwinkel getroffen werden. • Die verschiedenen Voraussetzungen werden zum berechnen der Innenwinkelsumme genutzt. • Die SuS stellen die Beziehung der Außen und Innenwinkeln als Gleichung dar. • Die Ergebnisse der Gruppenarbeit wird von einer Gruppe vorgetragen. • Unterscheidung zwischen Außen- und Innenwinkel, sowie die Nebenwinkelbeziehung. 3 Lernvoraussetzungen 8 3 Lernvoraussetzungen 3.1 Die Klasse Der Mathematikkurs der Klasse 7 setzt sich aus Schülerinnen und Schülern der Klassen 7C und 7D zusammen. Nach der Einstufungskonferenz am 23.10.2013 wurden von insgesamt 5 Schülern, welche auf Widerspruch den Erweiterungskurs 1 besuchten, lediglich ein Schüler (Sakis) in den Grundkurs abgestuft. Damit besteht die Klasse nun aus 13 Schülerinnen und 11 Schülern. Die verbleibenden Widerspruchsschüler haben sich ihren Platz im Erweiterungskurs1 überwiegend durch sorgsames Vor- und Nachbereiten der Mathematikstunden erarbeitet. So bringt sich beispielsweise Sven kaum in den Unterricht mit ein, erledigt jedoch gewissenhaft seine Hausaufgaben und gibt, wenn er aufgerufen wird, auf Reproduktionsfragen die richtige Antwort. Besonderes Augenmerk liegt zurzeit auf Katharina. Ihre mathematischen Leistungen sind stark von ihrer Tagesform abhängig. Wenn sie das Gefühl hat etwas nicht zu verstehen, dann resigniert sie schnell. Dies hat dann zur Folge, dass sie nicht mehr mit dem Unterrichtsstoff, sondern anderen Dingen beschäftigt und damit teilweise auch andere Schüler von Unterrichtsgeschehen ablenkt. An anderen Tagen hingegen trägt sie durch ihre Mitarbeit und ihre gut durchdachten Beiträge entscheidend zum Unterricht bei. Erste Erfolge konnte ich bereits dadurch erzielen, dass ich Sie in die erste Reihe gesetzt habe. Dadurch hat sich nicht nur ihre Mitarbeit bedeutend verbessert, sondern auch die ihrer ehemaligen Banknachbarin Melina. Zu den stärkeren Schülern zählt in erster Linie Franziska. Gestellte Aufgaben bewältigt sie immer schneller als andere, weshalb ich nach Möglichkeit immer weiterführende Aufgaben bereithalte, um eine Unterforderung zu vermeiden. Probleme sehe ich für die aktuelle Stunde darin, dass zwei Schülerinnen (Carina und die Jasmin) bereits seit längerer Zeit krank sind und daher einen großen Teil des Lernstoffs noch nachholen müssen. 3.2 Der Lernstoff In der bisherigen Lernsequenz wurden sowohl Neben- und Scheitelwinkel, als auch Stufen- und Wechselwinkel behandelt. Der Umgang mit Neben und Scheitelwinkeln wurde von den Schüler allgemein als einfach empfunden und die entsprechenden Aufgaben auch richtig gelöst. Beim Arbeiten mit Stufen und Wechselwinkeln neigten einige Schüler zur Übergeneralisierung des Winkelsatzes. Dem habe ich mit entsprechenden Aufgaben versucht entgegen zu Abbildung 3.1: Schnittpunkt Mathematik 7, S. 41, Aufgabe 7 3 Lernvoraussetzungen 9 wirken. Hierzu wurde Beispielsweise eine Aufgabe aus dem Schulbuch sowohl durch mündliche als auch durch rechnerischen Argumentation untersucht. Besonders leistungsschwächeren Schülern fiel es schwer, allein durch mündliche Argumentation über Stufenwinkel einzusehen, dass die beiden Geraden nicht parallel sind. Es wurden daher, auch im Hinblick auf die Anwendung auf den Winkelsummensatz, immer wieder Berechnungen der Form 180 angestellt. In der Schulbuchaufgabe wurde damit schließlich rechnerisch begründet, dass es sich hier nicht um Stufenwinkel handeln kann. Der rechnerische Nachweis der Form: 114 180 ñ 180 114 66 war auch für leistungsschwache Schüler einsichtig. Die einzige Schwierigkeit welche auftreten kann, ist das Schreiben der einzelnen Nebenwinkelpaare als Summe. Um diesen gedanklichen Schritt vorzubereiten, wurde in der vorangegangenen Stunde folgende Aufgabenstellungen thematisiert: Die Winkel und ergeben zusammen 140 Bestimme die Größe von . Den Schülern war an dieser Aufgabe unmittelbar klar, dass eine Argumentation über Nebenwinkel Abbildung 3.2: Vorbereitung der Beweisschritte erforderlich ist. Auch die praktische Berechnung von gelang den meisten Schülern ohne große Probleme. Daher bin ich der Meinung, dass auf Grundlage dieser Vorbereitung die nötigen lernbiologischen Voraussetzungen geschaffen sind, um den Beweis des Winkelsummensatzes mithilfe der Nebenwinkelbeziehungen zu führen. 4 Lernziele 10 4 Lernziele 4.1 Groblernziel Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe der Nebenwinkelbeziehung unter Verwendung der Außenwinkel auf die Innenwinkelsumme eines allgemeinen Dreiecks schließen. 4.2 Feinlernziele 1. Die SuS sollen mithilfe der Zerreißprobe eine erste Vermutung über die Winkelsumme im Dreieck formulieren. 2. Die SuS sollen die Nebenwinkelbeziehung zwischen Außen und Innenwinkel des Dreiecks Erkennen und diese mathematisch darstellen. 3. Die SuS sollen mithilfe der ermittelten Zusammenhänge die Winkelsumme im Dreieck rechnerisch ermitteln. 4. Die SuS sollen das durchgeführte Beweisverfahren auf seine allgemeine Gültigkeit überprüfen. 5. Die SuS sollen die gewonnene Erkenntnis auf konkrete Beispiele anwenden. 11 5 Methodische Analyse 5 Methodische Analyse Für die Erarbeitung des Winkelsummensatzes habe ich mich für das ArtikulationsmodellEntdeckendes Lernen entschieden Begrüßung und Einstieg Zu Beginn der Stunde werden die Schülerinnen und Schüler begrüßt. Auf den Sitzplätzen der Schüler liegen vorbereitete Dreiecke aus Papier. Den Schülern wird also schon bewusst sein, dass es sich in dieser Stunde um Dreiecke dreht.Der Begriff des Innenwinkels wird geklärt und anschließend das Thema der Stunde Winkelsummen im Dreieck bekannt gegeben. Um eine möglichst reichhaltige Problemsituation zu schaffen habe ich mich zum Einstieg für die Zerreißprobe entschieden. Hierdurch entstehen einen Vielzahl von recht ungenauen Lösungen. Um eine enaktive Auseinandersetzung aller Schüler mit dem Stundenthema zu gewährleisten wird nun die Zerreißprobe mit den Schüler durchgeführt. Dadurch wird bereits an dieser Stelle eine erste Vermutung über die Summe der Innenwinkel mit den Schülern formuliert. Durch die Ungenauigkeit der Zerreißprobe soll nun das Problem erfasst werden die Winkelsumme genau zu bestimmen. Hinführung Zur Motivierung der Beweisnotwenigkeit werden die Schülerinnen und Schüler nun darauf hingewiesen, dass alle bisher untersuchten Dreieck nur einen sehr kleiner Teil aller denkbaren Dreieck ausmachen und die Winkelsumme, die durch das Zusammenlegen der Ecken entsteht, auch nur näherungsweise 180 beträgt, je nach der Genauigkeit beim Zusammenlegen. Darüber hinaus wurden alle Dreieck von mir angefertigt ues könnte möglich sein, dass ich genau die Dreiecke gewählt habe, deren Winkelsumme eben genau 180 beträgt. Ich habe mich für die Beweisführung mittels „Umrundeneines Dreieckskurses entschieden, da dies eine alltägliche Situation darstellt, in der die Winkelsumme indirekt verborgen liegt. Ein weiterer Vorteil dieser Herangehensweise liegt darin, dass durch sukzessives Anwenden dieser Beweisführung auf 4, 5, , n-Ecke man schließlich zu der allgemeinen For- Abbildung 5.1: Auf dem Boden befestigtes Dreieck mit gekennzeichneten Außenwinkeln 5 Methodische Analyse 12 mel pn 2q 180 für die Winkelsumme im n-Eck gelangt. Die einzige Unterstellung, die dieser Beweis macht, ist die Drehung um 360 beim Umrunden des Kurses. Dies soll sich den Schülern dadurch erschließen, dass sie den Kurs selbst umlaufen, an jeder Ecke um einen unbekannten Winkel drehen und letztendlich wieder in der Ausgangsposition ankommen. Die Gesamtdrehung muss also 360 betragen. Mit farbigen Karton werden dann die entsprechenden Außenwinkel um die man sich beim Umrunden dreht gekennzeichnet. Die Auswahl einer geeigneten Methode zur Lösung der Problemstellung bzw. die Planung hinsichtlich einer möglichen Problemlösung, soll nun an dieser Stelle im Unterrichtsgespräch erarbeitet werden. Aufgrund der vorangegangen Stunden, sollte es den Schülerinnen und Schülern schnell klar werden, dass es sich bei den Innenwinkeln um die entsprechenden Nebenwinkel handelt. Sollte dies nicht der Fall sein kann durch entsprechende Impulse das Unterrichtsgespräch in Richtung Nebenwinkel gelenkt werden. Die wesentlichen Voraussetzungen werden an der Tafel festgehalten. Da der Umgang mit Nebenwinkeln in der Gruppe allgemein gut gelingt, sehe ich hier eine Möglichkeit eine vertraute Beziehung zu nutzen, um auf neue Eigenschaften zu schließen. Auf der Innenseite der Tafel wurde bereits vor der Stunde ein entsprechendes Dreieck vorbereitet. Dieses wird nun der Klasse gezeigt und es werden die nötigen Voraussetzungen für die Beweisführung notiert. Erarbeitung Da die letzte Mathematikstunde für einen großen Teil der Klasse bereits eine Woche zurückliegt, habe ich mich für die Gruppenarbeit entschieden. So können die einzelnen Gruppenteilnehmer gemeinsam nach einer geeigneten Lösung suchen. Wie bei den Lernvoraussetzungen bereits erwähnt, fehlen zwei Schülerinnen bereits über einen längeren Zeitraum hinweg und es wäre diesen nicht ohne weiteres möglich, den Arbeitsauftrag allein auszuführen. So beabsichtige ich auch in den Einzelarbeitsphasen für diese beiden Schülerinnen Partnerarbeit zuzulassen, um Sie mit dem geforderten Lernstoff nicht zu überfordern. Die Erarbeitung des Aufgabenteil 1 soll zuerst auf Schmierzettel erfolgen, da beabsichtigt ist, einen Teil der Sicherung durch ergänzen des Arbeitsblattes, erfolgen zu lassen. Dafür habe ich mich entschieden, weil das Abzeichnen der Dreiecke zu viel Zeit in Anspruch nehmen würde und kein unmittelbarer Gewinn für die Stunde dabei entstehen würde. Die Einteilung der Gruppen wurde aus Zeitgründen bereits in der voran gegangenen Stunde vorgenommen. Die Schülerinnen und Schüler sollen nun in der Gruppe, unter Verwendung der erarbeiteten Voraussetzungen, die fehlenden Beweisschritte finden. Anschließend sollen die Voraussetzungen an einem weiteren selbst gewählten Beispiel überprüft werden. Im Anschluss soll die 5 Methodische Analyse 13 allgemeine Gültigkeit überprüft werden. Die Gruppenarbeit bietet sich hier an, damit die Schüler bereits jetzt die mathematischen Zusammenhänge formulieren und konkretisieren können. Während der Erarbeitungsphase steht die Lehrkraft den Schülern beratend zur Seite. Hierzu wurden Hilfekärtchen angefertigt, die an den verschiedenen Gelenkstellen eingesetzt werden können. Sicherung Nachdem die Gruppenarbeitsphase abgeschlossen ist folgt die Sicherungsphase. Hier habe ich mich dafür entschieden die Ergebnisse einer Gruppe vorstellen zu lassen. Hier wird noch einmal der Umgang mit der mathematischen Fachsprache eingeübt. Darüber hinaus erhöht dies die Schüleraktivität, sodass ich mich aus dem Lernprozess möglich weit heraus halten kann. Es ist hier möglich, dass die formalen Rechenschritte nur unvollständig von der Gruppe präsentiert werden. Beispielsweise könnte es sein, dass das Kommutativgesetz nicht angewendet wird. Sollten hier jedoch keine groben Fehler vorliegen, werde ich auch derartige Lösungsvorschläge zulassen. Wichtig ist, dass in der Sicherungsphase dargestellt wird, dass die Form des Dreiecks keine Rolle bei der Umrundung spielt. Am Ende hat man sich immer um 360 gedreht. Dies zeigt die allgemeine Gültigkeit der Argumentationsschritte auf. Der Lückentext dient der Rekapitulation des Stundeninhaltes und zur Sicherung des Winkelsummensatzes. Hier werden die nötigen Beweisschritte noch einmal auf ikonischer Ebene versprachlicht. Vertiefung Zur Anwendung des erlernten Wissens dient nun das Aufgabenblatt 2. Auf diesem finden sich in Aufgabe 1 Berechnungen mit verschiedenem Schwierigkeitsgrad, welche zur inneren Differenzierung nicht alle gelöst werden müssen. Die Bearbeitung erfolgt hier in Einzelarbeit, damit sich jeder einzelne Schüler eingehend mit dem Lernstoff auseinandersetzen kann. Die Aufgabe 2 soll als Hausaufgabe auf die nachfolgende Stunde vorbereiten, in der dann eine allgemeine Formel für die Winkelsumme in n-Ecken erarbeitet werden soll. 7 Stundenverlaufsplan 7 Stundenverlaufsplan 14 15 7 Stundenverlaufsplan 6 Aufgabenblatt WinkelsummemimmDreieck Aufagbem2 WirmwissenN aZ mümm2HG mümm2HG mümmm2HG ümümmmMEG Berechnemmmümmümvm DiemSummemdermInnenwinkelmimmoberenmDreieckmbeträgtm_mvm bZmZeichnetmselbstmeinmDreieckmumlaufemesmwieminmTeilmaZmwasmkannstmdumübermdiemSummemderm Außenwinkelmsagen?vmm cZmIstmdieminmaZmgetroffenemAussagemvonmdermFormmdesmDreiecksmabhängig? GiltmsiemfürmallemDreiecke?mBegründev Aufgabemz ImmunterenmBildmsindmdiemInnenwinkelmbereitsmeingezeichnetvmMarkieremsieminmunterschiedlichenmFarbenvm MarkieremdannmdiemWinkelmummdiemsichmdermLäuferminmjedermEckemdrehtv SchneidemdenmKastenmausmundmklebemihnminmdeinmHeftvmErgänzemdiemLückenv EinmLäufermumrundetmeinenmDreieckskurs DiemmarkiertenmWinkelmsindmzusammenmm großm_jemeinmNebenwinkelpaarminmjedermEckeZv DiemAußenwinkelmsindmzusammenm_mgroßv DiemSummemdermInnenwinkelmistmalsom2HGßmdennm 2HGmv DasmgiltmfürmjedesmDreieckßmdennm 16 7 Stundenverlaufsplan 8 Hausaufgabe AufgabeM1pMLöseMmindestensMzweiMderMfolgendenMAufgabenVM cp ap bp AufgabeM2p dp DiesesMmalMumrundetMderMLäuferMeinenMviereckigenMKursV MarkiereMdieMWinkelMumMdieMsichMderMLäuferMinMjederMEckeMdrehtVMWieMgroßMsindMdieseM zusammen? WiederMbefindetMsichMinMjederMEckeMeinMNebenwinkelpaarMwelchesM180MgroßMistVM BerechneMdieMWinkelsummeMimMViereckV 17 7 Stundenverlaufsplan 9 Tafelbild InnenwinkeleimeDreieck Vermutung:eDieeSummeedere Innenwinkelebeträgteca.e180 UmrundungeeineseDreieckskurses eeeee360 eee180 eee180 eeee180 äee.eeäee.eeäee.ee3e*e180 äeeee.eeäee.ee3e*e130 Daeeeeeeeeeeeeeee360eeeeeeist, folgt:eeeeeeeeeeeeeee3e*e180e-e360ee180