Arbeitsblatt: Symmetrien

Kopiervorlagen zur Aufgabensammlung GEOMETRIE 1 2009 Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Fachschaft Mathematik Autoren: Michael Graf, Heinz Klemenz Download: www.ksrychenberg.ch/fachschaften/mathematik/externa.php Inhaltsverzeichnis 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen 2.3 Drehsymmetrie und Drehungen 2.4 Vermischte Aufgaben 3 Kongruenz von Figuren 3.1 Kongruenz und Kongruenzsatze 3.3 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen 3.4 Vermischte Aufgaben 2 Geometrische Abbildungen 2 2.1 Geometrische Abbildungen Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 19 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 1. ist die Menge der Grossbuchstaben: ABCDEFGHIJKLM NOPQRSTUVWXYZ a) Zeichne bei jedem Buchstaben alle Symmetrieachsen mit Farbe ein. b) ist die Menge aller Grossbuchstaben mit genau einer Symmetrieachse, ist die Menge aller Grossbuchstaben mit genau zwei Symmetrieachsen, ist die Menge aller Grossbuchstaben mit mehr als zwei Symmetrieachsen, ist die Menge aller Grossbuchstaben ohne Symmetrieachse. Stelle die Mengen A, B, und in einem Mengendiagramm dar. 2. Hier sind alle Pentominos (Figuren aus 5 Hauschen) dargestellt: a) Zeichne bei allen Pentominos die Symmetrieachsen ein: b) Stelle in einem Mengendiagramm folgende Teilmengen dar: ist die Menge aller Pentominos mit genau einer Symmetrieachse, ist die Menge aller Pentominos mit genau zwei Symmetrieachsen, ist die Menge aller Pentominos mit mehr als zwei Symmetrieachsen. KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 19 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 6. Spiegle die Figuren an der Achse s: (M ist jeweils ein Streckenmittelpunkt) a) Quadrat b) Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck s s A c) Regelmassiges Sechseck d) Kreissektor M 7. Zeichne die Figuren, die entsprechenden Spiegelachsen und die Spiegelbilder, wenn a) 0 D b) A0 M B c) M10 M2 d) 0 B und 0 auf AB M2 D M1 KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 20 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 8. a) Konstruiere den an gespiegelten Streckenzug A0 0 0 D0 0 0 G0 0 A0 b) Notiere die Koordinaten der gespiegelten Punkte A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 G0 und 0 y 11 10 9 8 H 7 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 9. a) Spiegle das Dreieck ABC zuerst an s1 und das Bilddreieck A0 0 0 dann an s2 so dass A00 00 00 entsteht. b) Konntest du das Dreieck A00 00 00 mit einer einzigen Geradenspiegelung aus ABC bekommen? s1 s2 KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 21 2 Geometrische Abbildungen 2.1 10. a) 0 ist das Spiegelbild von . Gesucht ist das Urbild von Q0 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen b) R0 ist das Spiegelbild von R. Gesucht ist das Bild 0 von g. Q R P 11. Gesucht: Strecke GH, so dass auf g, auf und die Mittelsenkrechte ist. 12. Gesucht: Spiegelachse(n), so dass das Bild von Q auf zu liegen kommt. g P h KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 21 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 14. Konstruiere den kurzesten Weg von nach Q, a) der uber einen Punkt auf der x-Achse fuhrt. 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 b) der uber einen Punkt auf der y-Achse fuhrt. Q 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 c) der uber einen Punkt auf der x-Achse und einen Punkt auf der y-Achse fuhrt. 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 21 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 15. a) Konstruiere die vier Wege der Kugel zur Kugel nach einmaliger Reflexion an den Banden AB, BC, CD und DA in der gleichen Figur. b) Konstruiere den Weg von zu nach Reflexion an den Banden AB und CD. A A c) Konstruiere den Weg von zu nach Reflexion an den Banden AB und BC. d) Konstruiere den Weg von zu nach Reflexion an den Banden AB, BC und CD. D Q e) Konstruiere den Weg von zu (P trifft also wieder am Ausgangsort ein) nach Reflexion an allen vier Banden in der Reihenfolge AB, BC, CD und DA. A KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 22 2 Geometrische Abbildungen 2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen 16. Denke dir ABCD als Billardtisch mit Kugeln in und Q. Konstruiere den Weg von nach nach Reflexion an AB, BC und CD. C KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 22 2 Geometrische Abbildungen 2.2 2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 23 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen 2 Geometrische Abbildungen 2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen 1. Welche Grossbuchstaben haben zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen, welche sind punktsymmetrisch? ABCDEFGHIJKLM NB OC PD QE RF SG TH UI VJ WK XL YM NOPQRSTUVWXYZ 2. Welche Pentonimos sind punktsymmetrisch? Markiere das Symmetriezentrum. KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 23 2 Geometrische Abbildungen 2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen 7. Spiegle die Figur am Punkt a) b) Z 8. Konstruiere das Bild des Sechsecks ABCDEF nach einer Spiegelung an Z. Gib die Koordinaten der Bildpunkte an. 9 D 8 7 6 C 5 4 3 2 1 1 KRW 2009 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GEOMETRIE 1, Seite 24 11 2 Geometrische Abbildungen 2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen 9. Konstruiere sowie das Bild A0 0 0 D0 nach einer Punktspiegelung an (alle Losungen), wenn a) A0 B b) D0 D c) 0 M d) eine Ecke auf zu liegen kommt 10. a) Konstruiere das Bild A0 0 0 D0 0 bei einer Spiegelung von ABCDE am Zentrum Z1 b) Konstruiere das Bild A00 00 00 D00 00 bei einer Spiegelung von A0 0 0 D0 0 am Zentrum Z2 Z2 c) Vergleiche die Funfecke ABCDE und A00 00 00 D00 00 Was fallt auf? Wie hatte man A00 00 00 D00 00 einfacher konstruieren konnen? C Z1 KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 24 2 Geometrische Abbildungen 2.3 2.3 Drehsymmetrie und Drehungen KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 26 Drehsymmetrie und Drehungen 2 Geometrische Abbildungen 2.3 Drehsymmetrie und Drehungen 1. Welche der folgenden Figuren sind achsensymmetrisch, welche punktsymmetrisch, welche drehsymmetrisch? Zeichne die Symmetrieachsen ein und gib die Drehpunkte und Drehwinkel an. 2. Drehe das Strichmannchen mit Hilfe der Hauschen im Uhrzeigersinn um 90 um den Punkt Z. 7. Drehe die Figur um mit Drehwinkel im Uhrzeigersinn a) Rechteck QRS, MQR 90 b) Dreieck ABC A B KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 26 2 Geometrische Abbildungen 2.3 Drehsymmetrie und Drehungen 8. Konstruiere das Drehzentrum Z, das AB auf A0 0 abbildet a) b) B A A B B 10. Drehe die Strecke AB um Z, so dass sie senkrecht zur Geraden zu liegen kommt a) b) 11. Konstruiere jeweils alle Drehzentren Z, so dass das eine Rechteck durch eine Drehung um auf das andere Rechteck abgebildet werden kann. KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 27 2 Geometrische Abbildungen 2.4 2.4 Vermischte Aufgaben KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 29 Vermischte Aufgaben 2 Geometrische Abbildungen 2.4 Vermischte Aufgaben 1. a) Konstruiere alle Spiegelachsen durch S, so dass der Bildpunkt R0 von auf zu liegen kommt. b) Konstruiere die Spiegelachse s, so dass der Bildpunkt 0 auf und die Gerade auf sich selber zu liegen kommt. S h R 4. a) Konstruiere einen Lichtstrahl, der von nach Reflexion an und nach gelangt. b) Konstruiere das Bild des Winkels sowie die Spiegelachse, wenn 0 das Bild von ist. Q P 8. Gesucht ist eine Strecke AB mit auf und auf derart, dass sie durch halbiert wird. a) b) M P g KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 29 2 Geometrische Abbildungen 2.4 Vermischte Aufgaben 12. Zeichne alle Spiegelachsen ein, gib alle Drehwinkel an und entscheide, ob die Figur punktsymmetrisch ist. 16. Untersuche, ob man die beiden Figuren durch eine einzige dir bekannte Abbildung zur Deckung bringen kann. Falls es dir nicht gelingt, versuche es mit zwei bekannten Abbildungen. KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 31 KRW 2009 b) a) Beta Beta Beta t BetaB ateB Bet 22. Auf einem durchsichtigen Wurfel steht auf der Vorderseite Beta. Er wird nacheinander um eine Achse so gedreht, dass er jeweils auf sich selber abgebildet wird. Schreibe das Wort entsprechend gedreht und verzerrt auf die jeweiligen Seiten. 2 Geometrische Abbildungen 2.4 GEOMETRIE 1, Seite 32 Vermischte Aufgaben t B ateB t B KRW 2009 b) a) 23. Auf der Vorderseite eines durchsichtigen Wurfels ist eine Figur eingraviert. Der Wurfel wird nacheinander um eine Achse so gedreht, dass er jeweils auf sich selber abgebildet wird. Konstruiere die Figur entsprechend gedreht und verzerrt auf die jeweiligen Seiten. 2 Geometrische Abbildungen 2.4 GEOMETRIE 1, Seite 32 Vermischte Aufgaben 3 Kongruenz von Figuren 3 3.1 Kongruenz von Figuren Kongruenz und Kongruenzsatze KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 34 3 Kongruenz von Figuren 3.1 Kongruenz und Kongruenzsatze 2. Zerlege jede Figur in drei kongruente Teilfiguren. 3. Zerlege jede Figur in zwei kongruente Teilfiguren. 4. Auf wie viele Arten kannst du ein 3 4 – Rechteck in zwei kongruente Teile zerlegen, wenn du a) nur den Hauschen entlang zeichnen darfst? b) zusatzlich einzelne Hauschen diagonal halbieren darfst? KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 34 3 Kongruenz von Figuren 3.3 3.3 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 39 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen 3 Kongruenz von Figuren 14. Skizze: 3.3 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen Parallelogramm ABCD, Mittelpunkt , auf AC, auf AB. Konstruktionsbericht: 15. Skizze: Gleichschenkliges Trapez ABCD (a c), Symmetrieachse s, auf BD, auf AB. Konstruktionsbericht: 16. Skizze: Rhombus ABCD, Mittelpunkt , und auf g, und auf benachbarten Seiten oder Verlangerung. Konstruktionsbericht: KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 41 3 Kongruenz von Figuren 17. Skizze: 3.3 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen Parallelogramm ABCD, Mittelpunkt , auf a, auf b, auf c, auf d. Konstruktionsbericht: M d 18. Skizze: Rechteck ABCD, AB 3 cm, Diagonalenschnittpunkt S, auf g, auf k. k Konstruktionsbericht: 19. Skizze: Gleichschenkliges Trapez ABCD (a c), Mittellinie 6 cm, auf g, Mitte von d, Mitte von c. Konstruktionsbericht: KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 41 3 Kongruenz von Figuren 3.4 3.4 Vermischte Aufgaben KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 42 Vermischte Aufgaben 3 Kongruenz von Figuren 3.4 Vermischte Aufgaben 14. a) Zerlege das Quadrat in vier kongruente Teile, so dass jede Teilfigur genau einen Punkt enthalt. Suche moglichst viele Losungen. KRW 2009 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • GEOMETRIE 1, Seite 43 3 Kongruenz von Figuren 3.4 Vermischte Aufgaben 14. b) Zerlege das Quadrat in vier kongruente Teile, so dass jede Teilfigur genau einen Punkt enthalt. Suche moglichst viele Losungen. KRW 2009 GEOMETRIE 1, Seite 43