Arbeitsblatt: Grundwissen mit Uebungen

www.strobl-f.de/grund5g.pdf 5. Klasse TOP 10 Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Ubungen Grundwissen Mathematik 5. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Ubungen des Kompakt-Uberblicks verwenden. 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 5/6 5/7 5/8 5/9 5/10 5/K Rechnen mit naturlichen Zahlen Rechenfertigkeiten Naturliche Zahlen und ihre Darstellung Negative Zahlen Zahlprinzip Geometrie 5. Klasse Winkel Einheiten Maßstab Flachen Kompakt-Uberblick zum Grundwissen GGrundwissen, UUbungen, LLosungen G G G G G U U U U U U U U U U U L L L L L 05 Differenz ab Minuend Subtrahend Produkt a·b 1. Faktor 2. Faktor Quotient a:b Dividend Divisor Potenz ab Basis Exponent Reihenfolge Klammern werden zuerst berechnet (bei mehreren Klammern die innere zuerst); dann gilt hoch vor Punkt vor Strich; zuletzt bei reinen Punktrechnungen (· :) und ebenso bei reinen Strichrechnungen () der Reihe nach (sofern man nicht bestimmte Rechenvorteile nutzt, siehe grund52.pdf). Was man noch nicht rechnen kann, schreibt man unverandert an. Beispiele: 91 17 5 74 5 69 (reine Strichrechnung der Reihe nach). 91 (17 5) 91 12 79 (Klammer zuerst). 91 17 · 5 91 85 6 (Punkt vor Strich). 7 · 23 7 · 8 56 (hoch vor Punkt). 2 (100 5 2 · 6 12) · 9 1 in der Klammer zuerst hoch Punkt vor Strich (100 5 2 · 36 12) · 9 1 bei der reinen Punktrechnung der Reihe nach bei der reinen Strichrechnung in der Klammer der Reihe nach (100 5 72 12) · 9 1 (100 5 6) · 9 1 Klammern zuerst Punkt vor Strich (95 6) · 9 1 101 · 9 1 909 1 910 Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck (wie in den vorigen Beispielen). Beim Gliedern von Termen verwendet man die obigen Fachbegriffe und die vorgeschriebene Rechenreihenfolge; die Rechenart, die zuletzt ausgefuhrt wird, bestimmt die Art des Gesamtterms; der Term (100 5 2 · 62 12) · 9 1 aus vorigem Beispiel ist also wegen der zuletzt ausgefuhrten Addition 909 1 eine Summe. Die einzelnen Bestandteile dieser Summe konnen weiter angegeben werden: der 2. Summand ist die Zahl 1, der 1. Summand ist das Produkt aus dem Klammerausdruck mit der Zahl 9 (weitere Gliederung siehe ueb51.pdf). Besondere Zahlen Die Zahl 0 andert bei der Addition den Wert der Summe nicht, z. B. 572 0 572. Die Zahl 1 andert bei der Multiplikation der Wert des Produkts nicht, z. B. 572 · 1 572. Ein Produkt mit der Zahl 0 hat den Wert 0, z. B. 572 · 0 0. pp 0 als Dividend ist erlaubt, z. B. 0 572 0; aber 0 als Divisor ist verboten, z. B. 572 0 pp Fachbegriffe Summe ab 1. Summand 2. Summand Addition/Subtraktion Das Addieren und Subtrahieren sollte man auch nebeneinander in einer Zeile beherrschen; beginne hinten mit der Einerstelle! Beispiele: 572 386 958, 572 386 186. Multiplikation Division Beispiel: 572 · 386 Beginne hier vorne; bei großeren Zahlen ist oft eine Uber 1716 schlagsrechnung sinnvoll. Beispiel: 1984 32. Hier beginnt man 4576 mit 198 32 und kann z. B. als Uberschlagsrechnung 198 30 6 im Kopf uberlegen; dann gehts ruckwarts, also 6 · 32 192. 3432 220792 Somit: 1984 32 62 192 Potenzen 64 Beispiel: 64 73 7 · {z 7 · 7} 343 0 3 Stuck 5 01 www.strobl-f.de/grund51.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Rechnen mit naturlichen Zahlen 2 · 13 26 3 · 13 39 4 · 13 52 5 · 13 65 6 · 13 78 7 · 13 91 8 · 13 104 9 · 13 117 2 · 14 28 3 · 14 42 4 · 14 56 5 · 14 70 6 · 14 84 7 · 14 98 8 · 14 112 9 · 14 126 2 · 15 30 3 · 15 45 4 · 15 60 5 · 15 75 6 · 15 90 7 · 15 105 8 · 15 120 9 · 15 135 2 · 16 32 3 · 16 48 4 · 16 64 5 · 16 80 2 · 17 34 3 · 17 51 4 · 17 68 5 · 17 85 2 · 18 36 3 · 18 54 5 · 18 90 2 · 19 38 3 · 19 57 5 · 19 95 Quadratzahlen und Potenzen 112 121 182 324 122 144 192 361 132 169 202 400 142 196 212 441 152 225 222 484 162 256 232 529 172 289 242 576 23 8 24 16 25 32 210 1024 33 27 34 81 252 625 Wichtig ist auch, diese Produkte ruckwarts zu konnen, also 121 als Quadrat von 11 zu kennen (121 112 11 · 11), zu wissen, dass 39 durch 13 teilbar ist usw.; ferner sollte man 119 7 · 17 wissen. Erganzen zu Stufenzahlen Fur schnelles Rechnen ist es wichtig, zu sehen, welche Zahlen sich zu Stufenzahlen wie 100, 1000 oder 10000 erganzen. Beispiele: 367 633 1000, 76 24 100, 1234 8766 10000. Primzahlen Eine naturliche Zahl 2, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl. Merke die Primzahlen bis 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . Jede Zahl lasst sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (Primfaktorzerlegung): Beispiele: 60 2 · 30 2 · 2 · 15 2 · 2 · 3 · 5 56 2 · 28 2 · 2 · 2 · 7 (Zwischenschritte im Kopf! Beim Zerlegen kann man beliebig vorgehen, z. B. auch 60 10 · 6 2 · 5 · 2 · 3) Rechenvorteile (Zwischenschritte oft im Kopf!) Beispiele mit Kommutativgesetz: 249 487 51 249 51 487 300 487 787; 81 · 247 247 · 81 20817 (fur handschriftliches Rechnen kurzeren Faktor als zweiten Faktor) Beispiel mit Assoziativgesetz: 249 · 125 · 8 249 · 1000 249000 Beispiel mit Distributivgesetz: 49 · 87 51 · 87 (49 51) · 87 8700 Plus- und Minusglieder zusammenfassen: 1241 272 4661 3125 (1241 4661) (272 3125) 5902 3397 2505 Multiplikation mit Stufenzahlen Nullen anhangen. Beispiel: 743 · 100 74300 Ausgleichen Das Ergebnis einer Multiplikation andert sich nicht, wenn man den einen Faktor verdoppelt und zum Ausgleich den anderen halbiert. Beispiele: 44 · 15 22 · 30 660, 44 · 5 22 · 10 220. 44 · 25 11 · 100 1100 (die 25 vervierfachen, den anderen Faktor vierteln) Uberschlagsrechnen Man rechnet mit bequemen gerundeten Zahlen. Bei einer Multipliktion wird das wahre Ergebnis wenig verfalscht, wenn man den einen Faktor etwas aufrundet und den anderen zum Ausgleich etwas abrundet. Dagegen bei der Division ist es gunstig, wenn man beide aufrunden oder beide abrunden kann. Beispiele: 1013 53 1000 50 20 8713 · 451 9000 · 400 3 600 000 oder 8713 · 451 8000 · 500 4 000 000 1013 · 503 1000 · 500 500 000 (hier beide abrunden, da 1013 nahe bei 1000 und 503 nahe bei 500) 2 · 12 24 3 · 12 36 4 · 12 48 5 · 12 60 6 · 12 72 7 · 12 84 8 · 12 96 9 · 12 108 Großes Einmaleins Dieses sollte man auswendig konnen! 5 02 www.strobl-f.de/grund52.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Rechenfertigkeiten Runden Beim Runden von Zahlen gilt: Ist die vorderste der weggelassenen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, so wird abgerundet, sonst aufgerundet. Also 74 528 auf Zehntausender gerundet: 70 000, auf Tausender gerundet: 75 000. Diagramme Zur Veranschaulichung von Daten verwendet man Diagramme. Beispiel: Regenmenge in mm in Munchen Liniendiagramm: Kreisdiagramm: Tabelle: Balkendiagramm: Jan/Feb mm Nov/Dez $ Jan/Feb 89 mm 6 6 200 Sep/Okt Mrz/Apr Mrz/Apr 127 200 r Mai/Jun 210 Mai/Jun Jul/Aug &% 100 100 Jul/Aug 230 Jan Mrz MaiJul Sep Nov Sep/Okt 146 Feb Apr Jun Aug Okt Dez Nov/Dez 102 Monat Jan Mrz Mai Jul Sep Nov Monat Feb Apr Jun Aug Okt Dez Ein Liniendiagramm eigenet sich, um eine Entwicklung im Laufe der Zeit darzustellen. Ein Kreisdiagramm eignet sich, wenn ein Ganzes in verschiedene Bereiche aufgeteilt wird, d. h. wenn die Summe aller Daten ein sinnvolles Ganzes darstellt (hier ist also ein Kreisdiagramm moglich, da die Summe aller einzelnen Niederschlagsmengen die Jahresmenge darstellt). grund57.pdf Große Zahlen, Zehnerpotenzen In der deutschen Sprache ist 1000 Tausend, 1 000 000 Million (6 Nullen), 1 000 000 000 Milliarde (9 Nullen), 1 000 000 000 000 Billion (12 Nullen). Dabei verwendet man fur große Zahlen oft Zehnerpotenzen, also 102 10 · 10 100, 103 10 · 10 · 10 1000, 106 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 1 000 000 (bei der Basis 10 gibt also die Hochzahl die Zahl der Nullen an). Damit schreibt man bequemer: 1012 1 000 000 000 000 Billion, 1015 Billiarde (15 Nullen), 1018 Trillion (3 mal 6 Nullen), 1024 Quadrillion (4 mal 6 Nullen). Zahlen wie 10, 100, 1000, 10 000 usw. heißen Stufenzahlen. Andere große Zahlen kann man z. B. so schreiben: 8 000 000 8 · 106 (8 Millionen), 970 000 000 000 97 · 1010 970 · 109 (970 Milliarden). Stellenwertsystem In unserem Stellenwertsystem bekommt in einer Zahl jede Ziffer ihren Wert entsprechend der Stelle, an der sie steht; z. B. in der Zahl 2547 ist die Ziffer 4, da sie an der zweitletzten Stelle steht (der Zehnerstelle), eigentlich 40 wert, die Ziffer 2 gilt entsprechend als 2000. 5 03 www.strobl-f.de/grund53.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Naturliche Zahlen und ihre Darstellung Subtraktion Subtraktionsaufgaben konnen durch Vorzeichen-Anderung umgeschrieben werden in Additionsaufgaben. Beispiele: (3) (7) (3) (7) (3) (7) (3) (7) Addition Unter Weglassung des Additions-Plus kann man abkurzend schreiben: (3) (7) 3 7 (3) (7) 3 7 Dabei gibt jeweils das direkt vor der Zahl stehende Vorzeichen an, ob es sich dabei um Pluspunkte oder Minuspunkte handelt. Das Rechnen mit Plus- und Minuspunkten hat man im Gefuhl: 3 7 10 (3 Minuspunkte und 7 Minuspunkte sind 10 Minuspunkte) 3 7 4 (3 Minuspunkte und 7 Pluspunkte sind 4 Pluspunkte) 3 7 10 (dafur schreibt man meist 3 7 10) 3 7 4 (dafur schreibt man meist 3 7 4) Bei gleichem Vorzeichen muss man also die Betrage addieren und dem Ergebnis das entsprechende Vorzeichen geben (bei 36 17 muss man also im Kopf 36 17 53 rechnen und 36 17 53 schreiben). Bei verschiedenem Vorzeichen muss man die Betrage voneinander abziehen und dem Ergebnis das Vorzeichen der Zahl mit dem großerem Betrag geben (bei 36 17 ist das Ergebnis also negativ, da die 36 hier das großere Gewicht hat, und man rechnet im Kopf 36 17 19 und schreibt 36 17 19). Andere Interpretation: 3 7 10 Die Ausgangstemperatur von 3 Grad fallt um 7 Grad auf 10 Grad) 3 7 4 Die Ausgangstemperatur von 3 Grad steigt um 7 Grad auf 4 Grad) Mehrgliedrige Summen bzw. Differenzen Hier kann man die Plus- und die Minusglieder zusammenfassen. Beispiele: 175113147 134717511 (1347)(17511) 6069 9; 19 5 200 5 200 19 205 19 186 Terme mit mehreren Grundrechenarten Es gelten die ublichen Regeln Klammmern zuerst, hoch vor Punkt vor Strich und Was man noch nicht rechnen kann, schreibt man unverandert an. Beispiele (der jeweils zuerst zu rechnende Teil ist unterstrichen): [13 17 · (2)] 7 [13 (34)] 7 [13 34] 7 21 7 3; (8)(2)·(12)2 (8)(2)·(12)·(12) 8(2)·(144) 8(288) 8 288 296 · : · : · : · : Beispiele: (3) · (7) 21 minus mal minus ist plus); (7) · (2) · (1) (14) · (1) 14; 119 (7) 17 (meist lasst man das -Vorzeichen am Anfang weg); (3)4 (3) · (3) · (3) · (3) (9) · (9) 81 Multiplikation/Division Es gelten die Vorzeichenregeln: 5 04 www.strobl-f.de/grund54.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Negative Zahlen Einfacher geht es mit dem folgenden Zahlprinzip: Gibt es n1 Moglichkeiten fur die erste Stelle, n2 fur die zweite, n3 fur die dritte, . , so gibt es insgesamt n1 · n2 · n3 . mogliche Zusammenstellungen. Hier also: 2 fur die erste Stelle (Suppe, Lasagne), 3 fur die zweite (Braten, Schnitzel, Fisch) und 2 fur die dritte (Eis, Pudding), also gibt es 2 · 3 · 2 12 mogliche Zusammenstellungen. Beispiel 2: Wie viele Sitzordnungen sind bei einer Gruppe von 6 Schulern moglich? Der erste Schuler kann unter 6 Stuhlen wahlen; der zweite hat (da ja ein Stuhl schon besetzt ist) nur noch 5 zur Wahl, der dritte noch 4 usw. Es gibt insgesamt also 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 mogliche Sitzordnungen. Man schreibt hierfur auch 6! (sprich 6 Fakultat). Diese Aufgabe kann man auch mit einer anderen Sichtweise losen: Nicht der Schuler wahlt den Stuhl, sondern der Stuhl wahlt den Schuler: Dann gibt es fur den ersten Stuhl 6 Schuler, die dort Platz nehmen konnen, fur den zweiten Stuhl kommen dann noch 5 Schuler in Frage, fur den dritten 4 usw.; also sind wieder 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 Sitzordnungen denkbar. Beispiel 3: Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die nicht die Ziffer 1 und nicht die Ziffer 3 enthalten? Fur die erste Stelle (die Tausenderstelle) kommen die 0, die 1 und die 3 nicht in Frage. Also gibt es hier 7 Moglichkeiten. Fur die Hunderter-, die Zehner- und die Einerstelle gibt es dagegen 8 Moglichkeiten, da hier die 0 erlaubt ist. Also gibt es 7 · 8 · 8 · 8 7 · 83 3584 solche Zahlen. Man sieht: Es gibt 12 Zusammenstellungen, und zwar von (Suppe, Braten, Eis) bis (Lasagne, Fisch, Pudding). Beispiel 1: Wie viele Menus kann man aus 2 Vorspeisen (Suppe, Lasagne), 3 Hauptspeisen (Braten, Schnitzel, Fisch) und 2 Nachspeisen (Eis, Pudding) zusammenstellen? Wir losen das Problem zunachst mit einem Baumdiagramm: Eis (( h( hhh Braten Pudding ( Eis (( h( Suppe Schnitzel hhh h Pudding Q Eis (( Q Fisch h( hhh Pudding Eis (( (( Braten hhh Pudding Eis (( @ Lasagne h( Schnitzel hhh h Pudding Q Eis (( Q Fisch (( hhh Pudding 5 05 www.strobl-f.de/grund55.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Zahlprinzip HH HHg HHp HH Wichtige ebene Grundformen Rechteck Die Seiten stehen jeweils senkrecht aufeinander. Die Diagonalen verbinden gegenuber liegende Eckpunkte. Umfang 2 · 2 · b. Quadrat Kreis Das Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Umfang 4 · Alle Kreispunkte sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt; diese Entfernung heißt Radius r; der Durchmesser ist 2 · r. Wichtige Korper Quader Wurfel Prisma Wurfel sind besondere QuaEin Quader ist von sechs der, bei denen alle Kanrechteckigen Flachen betenlangen gleich lang sind. grenzt. Netz: Es entsteht durch Aufschneiden entlang geeigneter Kanten und Aufklappen Bastelanleitung ohne Klebela schen) Koordinatensystem 6 2 1 1 Achsensymmetrie PS 0 SS P B B B SymmetrieB achse B Verschiebt man eine eckige Grundflache nach oben, so erhalt man ein Prisma. Netz eines Wurfels rP 1 0 aa 6 aa 6 @ 6 6aa 6 aa @ 3 (32) x-Wert 3 (Rechtswert), also 3 nach rechts y-Wert 2 (Hochwert), also 2 nach oben Achsensymmetrische Figuren lassen sich so falten, dass die beiden Teile genau aufeinander passen. Die Faltlinie heißt Symmetrieachse der Figur. Bei einer Achsenspiegelung hat man zu jedem Punkt auf der einen Seite einen Spiegelpunkt 0 auf der anderen Seite. und 0 haben den gleichen Abstand von der Symmetrieachse; ihre Verbindungslinie [P 0 steht senkrecht auf der Symmetrieachse. HH H HH Wichtige Grundbegriffe Winkel siehe grund57.pdf r Strecke [AB]: Kurzeste Verbindung der Punkte. B Streckenlange, z. B. AB 1 cm Gerade AB: (Unendlich weit gedachte) Verlangerung uber beide Punkte hinaus. B r Halbgerade [AB: Verlangerung nur uber einen Endpunkt hinaus. B Senkrechte Geraden: Parallele Geraden: Abstand paralleler Abstand eines Punktes h HH Geraden: p von einer Geraden: H r H gh gkh H H 5 06 www.strobl-f.de/grund56.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Geometrie 5. Klasse HH Beispiel: 63 (spitzer Winkel), 117 (stumpfer Winkel), zusammen ein gestreckter Winkel: 180 Zum Zeichnen oder Messen eines uberstumpfen Winkels kann man z. B. den Restwinkel zum Vollwinkel 360 berechnen und zeichnen bzw. messen. Beispiel: 360 53 307 HH HH HH Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn gemessen und angegeben: r r PP ) ASB 37 PP PPr PPP r r P ) BSA 323 PP PPr PPP Kleinere Einheiten: 1 600 (Winkelminuten), 10 6000 (Winkelsekunden) Beispiel: 360 25 216000 25 8640 14 240 Zum Zeichnen eines Kreisdiagramms beachte man, dass der Vollwinkel von 360 entsprechend den vorkommenden Anteilen aufgeteilt werden muss. zweiter Ein Winkel wird gebildet von zwei HalbgeraSchenkel den, den Schenkeln, die am Scheitel zusam\ J Geodreieck mentreffen. \ \ Zum Messen von Winkeln legt man das Geo\140 dreieck mit der langen Seite so an einen Schen\ \ kel, dass die 0-Markierung auf dem Scheitel \ liegt, und liest am anderen Schenkel den Winkel J ab. Dabei muss man die richtige Skala wahlen, Scheitel erster namlich diejenige, die am ersten Schenkel bei Schenkel 0 beginnt. Zum Zeichnen legt man ebenfalls das Geodreieck an einen Schenkel an und macht beim gewunschten Winkel eine kleine Markierung, die man dann mit dem Scheitel verbindet. Als Bezeichnung kann man z. B. griechische Buchstaben verwenden; die wichtigsten sind alpha), beta), gamma), delta), epsilon), eta), theta), lambda), my), pi), rho), tau), phi), omega). Es gibt folgende Winkelarten: spitzer rechter stumpfer gestreckter uberstumpfer Vollwinkel 0 90 90 90 180 180 180 360 360 5 07 www.strobl-f.de/grund57.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Winkel Zeit Jahr, Tag, Stunde, min Minute, Sekunde. 1 365 1 24 1 60 min 1 min 60 s, also 1 3600 Beispiel: Von 8.45 Uhr bis 12.05 Uhr: 12 5 min 8 45 min 11 65 min 8 45 min 3 20 min 200 min 12000 (oder schrittweise: Von 8.45 Uhr bis 9.00 Uhr: 15 min, dann bis 12.00 Uhr 3 h, dann bis 12.05 Uhr 5 min, zusammen 3 20 min) Flachen 1 cm2 100 mm2 Bild links: (aber 1 cm 10 mm). 1 cm2 hat 100 mm2 Umgekehrt: 1 mm2 0,01 cm2 Beim Umwandeln von Flacheneinheiten muss man also daran denken, statt in 10er-Schritten in 100er-Schritten umzuwandeln. Man kann auch die Einheit selbst durch die umgerechnete gewunschte Einheit ersetzen und bei Quadraten Klammern setzen. Beispiel: 1 cm2 1 · (10 mm)2 100 mm2 (also den Einheiten-Umrechnungsfaktor 10 ebenfalls quadrieren!) Ebenso: 1 dm2 100 cm2 1 m2 100 dm2 Ar und Hektar: 1 100 m2 1 ha 100 a, 1 km2 100 ha 10 000 1 000 000 m2 Hilfreich ist oft eine Stellenwerttafel. Man erkennt dann leicht auch die Großen in Kommaschreibweise. Bei Massen: kg mg Beispiel: 0 0 2 0 20 mg 0,02 Bei Langen: km dm cm mm m Beispiel: 7 0 1 7 0 2 7,01702 km 7017 2 cm Bei Flachen muss man wieder an die Umwandlung in 100er-Schritten denken, also je zwei Stellen in der Stellenwerttafel schreiben und das Komma um je zwei Stellen verschieben: km2 ha m2 dm2 cm2 mm2 Beispiele: 2 8 2,8 ha 280 2 ha 80 a, 0 0 0 0 1 1 cm2 0,01 dm2 0,0001 m2 Masse (umgangssprachlich Gewicht) 1 1000 kg 1 kg 1000 1 1000 mg Beispiel: 5 70 kg 5070 kg Allgemeines und Langeneinheiten Vor den Einheiten stehen oft Buchstaben, die folgende Bedeutung haben: Vorsatz sprich Bedeutung Beispiel Mega 1 000 000 1 MW 106 (Watt) kilo 1000 1 km 1000 h hekto 100 1 hl 100 (Liter) dezi Zehntel 1 dm 0,1 m, also 10 dm 1 c centi Hundertstel 1 cm 0,01 m, also 100 cm 1 m milli Tausendstel 1 mm 0,001 m, also 1000 mm 1 mikro Millionstel 1 m 0, 000 001 m, Schreibweise auch 106 5 08 www.strobl-f.de/grund58.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Einheiten 1. Gegeben sind Maßstab und Lange auf der Karte. Zu berechnen ist die wahre Lange. Beispiel: 1:25 000, 7,5 cm auf der Karte. Der Maßstab von 1:25 000 bedeutet: 1 mm Karte 25 000 mm ( 25 m) Natur. Also: 75 mm Karte 75 · 25 000 mm Natur (es muss also multipliziert werden). Die Strecke ist also in Wirklichkeit 75 · 25 000 mm 1 875 000 mm 1875 1,875 km lang. 2. Gegeben sind der Maßstab und die Lange in Natur. Beispiel: Wie lang sind 3,80 auf einem Plan (Maßstab 1:50) zu zeichnen? 1:50 bedeutet: 1 cm Karte 50 cm Natur Zur Berechnung, wie lang 3,80 auf der Karte darzustellen sind, mussen wir 3,80 (nach Umwandlung in eine passende Einheit) durch 50 dividieren: 3,80 : 50 3800 mm 50 76 mm, also 7,6 cm auf der Karte Oder wir sagen 1 mm Karte 50 mm 5 cm Natur und fragen wie oft gehen 5 cm in 380 cm, um die Zahl der mm auf der Karte zu erhalten: 380 5 76, also 76 mm 7,6 cm auf der Karte. 3. Gegeben sind die Langen auf der Karte und in Natur, gesucht ist der Maßstab. Beispiel: Welchen Maßstab hat eine Karte, auf der die 340 km lange Strecke von Munchen nach Mailand (Luftlinie) 8,5 cm lang erscheint? 8,5 cm Karte 340 km Natur. Wir wandeln zuerst in gleiche Einheiten um: 85 mm Karte 340 000 000 mm Natur. Fur eine Angabe der Sorte 1 mm Karte ? mm Natur mussen wir die 340 000 000 durch 85 dividieren: 340 000 000 85 4 000 000. Der Maßstab betragt somit 1:4 000 000. 4. Der Maßstab gilt fur Langen, nicht fur Flachen. Beispiel: Ein 1 cm 1 cm großes Quadrat, das auf der Karte eine Flache von 1 cm2 hat, hat bei einem Maßstab von 1 50 in Wirklichkeit eine Große von 50 cm 50 cm, der Flacheninhalt 2500 cm2 ist also 2500-mal so groß. Typische Aufgaben: Karten geben die Wirklichkeit in verkleinerter Große wieder. Dabei bedeutet z. B. ein Maßstab von 1:50 000, dass 1 cm auf der Karte 50 000 cm in Natur entsprechen: 1 cm Karte 50 000 cm Natur. Zum Umrechnen der Langen muss also nur mit 50 000 multipliziert bzw. umgekehrt durch 50 000 dividiert werden. Wichtig ist dabei, jeweils zunachst die gleiche Einheit fur Karte und Natur zu verwenden; ebenso konnte man den Maßstab 1:50 000 z. B. auch so umsetzen: 1 mm Karte 50 000 mm Natur. Anschließend rechnet man die Großen in praktikablere Einheiten um, also z. B. 1 cm Karte 50 000 cm 500 0,5 km Natur. 5 09 www.strobl-f.de/grund59.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Maßstab 8 mm 2 cm Quadrat Flache Lange mal Breite, als Formel: · b, hier 20 mm·8 mm 160 mm2 1,6 cm2 Dabei mussen Lange und Breite in der gleichen Einheit gegeben sein bzw. zunachst in gleiche Einheit umgewandelt werden. · a2 a Einheiten (siehe grund58.pdf) Man beachte den im Vergleich zu Langen anderen Umrechnungsfaktor: 1 cm2 100 mm2 1 m2 100 dm2 10000 cm2 1 km2 100 ha 10000 1 000 000 m2 Zerlegungstrick Man zerlegt das gegebene Flachenstuck in Teile, deren Flache berechnet werden kann oder die zu einer geeigneten Figur zusammengepuzzelt werden konnen. Beispiel: Das L-formige Flachenstuck wird zerlegt in die RechtA1 ecksflachen A1 und A2 die man entweder direkt berech1,5 cm 2 cm net (A1 1 cm · 1 cm 1 cm2 und A2 1 cm · 2,5 cm A2 1 cm 2,5 cm2 also A1 A2 3,5 cm2 oder die man wie 2,5 cm im zweiten Bild zusammensetzt zu einem neuen Rechteck mit 1 cm · 3,5 cm 3,5 cm2 A1 A2 Erganzungstrick Die Figur wird erganzt zu einer großeren, so dass man die gesamte Flache minus die erganzten Teile berechnet kann. Beispiel: Aerg Ages Aerg 2 cm 2,5 cm · 2 cm 1,5 cm · 1 cm 3,5 cm2 1,5 cm 1 cm 2,5 cm Verdoppelungs- bzw. Halbierungstrick Denkt man sich ein zweites Doppel der gegebenen Figur, so kann diese doppelte Figur manchmal zu einer berechenbaren Figur zusammengesetzt werden, oder anders ausgedruckt, die gegebene Figur kann als Halfte einer anderen Figur gesehen werden. So ist z. B. ein rechtwinkliges Dreieck ein halbes Rechteck: HH HH 2 cm · 1 cm 2 1 cm2 HH 1 cm AHH HH HH 2 cm Oberflache Alle Außenflachen (Seitenflachen, Deckel, Boden) des Korpers, also beim Quader mit Lange a, Breite und Hohe h: Oben: · b, ebenso unten, also zusammen 2 · · Vorne: · h, ebenso hinten, also zusammen 2 · · h Rechts: · h, ebenso links, also zusammen 2 · · b Oberflache insgesamt: 2 · (a · · · h) Oberflache beim Wurfel (Kantenlange a): 6 · a2 Rechteck Flachenmessung Im Prinzip zahlt man, wie oft sich ein gegebenes Flachenstuck mit der gewahlten Flacheneinheit auslegen lasst, also wie oft z. B. ein Quadrat mit 1 cm Seitenlange, der Quadratzentimeter (cm2 in das Flachenstuck passt. 5 10 www.strobl-f.de/grund510.pdf 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Flachen 1 0 1 Die umseitige Figur ist kein Wurfelnetz, da die Strecken nicht aufeinander senkrecht stehen. Pr ) ABC 360 110 250 57 Winkel messen muss man einfach konnen! Beispiel: AJ J r JJrC ABC ? L57 Winkel werden gegen der Uhrzeigersinn angegeben: rA Cr JB r 56 Wo liegt (20) im Koordinatensystem? Wie sieht ein Wurfelnetz aus? X Warum ist dies XXXX XX kein Wurfelnetz: XXX XXX X L56 Winkel Geometrie 5. Klasse Richtiges Wurfelnetz: 122 144, 142 196, 121 112 225 152 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . Primfaktorzerlegung: 24 4 · 6 2 · 2 · 2 · 3 23 · 3. 1000 911 89 2016 · 0 0, 83 8 · 8 · 8 512 2016 12 168 2016 0 geht nicht 0 12 0 Punkt vor Strich: 1016 16 · 16 1016 256 760 6 L52 L51 52 Quadratzahlen muss man einfach konnen, z. B. 122 142 auch ruckwarts 121 ?2 225 ?2 Wie lauten die Primzahlen bis 20? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von 24? Rechenfertigkeiten Rechnen mit naturlichen Zahlen 51 Rechnen muss man einfach konnen! Beispiele: Differenz 1000? 89 Produkt 2016 · 0, Potenz 83 Quotienten 2016 12, 2016 0, 0 12 Achtung bei 1016 16 · 16 L58 1000, tausendstel. 32 kg 32 000 3 20 min 180 min 20 min 200 min 12000 32 dm 3,2 32 ha 32 000 000 dm2 (ha a m2 dm2 Je 2 Nullen) 58 Was bedeuten Einheitenvorsatze wie z. B. (kilo), (milli)? Masse: 32 kg . . Zeit: 3 20 min . . Lange: 32 dm . . Flachen: 32 ha . . dm2 Einheiten L53 Zugspitze Nebel- Arber 2962 horn 1452m 3 000 000 3 · 106 Nebelhorn: Laut Balken6 diagramm 2000 Hohe etwa 1000 2200–2250 m. 2962 horn 1452m Darstellung naturlicher Zahlen 53 Wie schreibt man 3 Millionen mit einer Zehnerpotenz? Diagramme lesen 6 und zeichnen 2000 muss man 1000 ? einfach konnen!Zugspitze Nebel- Arber Blatt auf DIN 3 vergroßern, Karteikarten ausschneiden und Ruckseite an Ruckseite zusammenkleben! www.strobl-f.de/grund5k.pdf L59 Maßstab 1 200 000. Karte Natur: Multiplikation mit 200 000. Natur Karte: Division durch 200 000, also 25 km 200 000 25 000 000 mm 200 000 125 mm 12,5 cm. 14 (8) 14 8 6, Sortieren: 14 3 21 46 3461421 4935 14. Maßstab 59 Wie rechnet man beim Maßstab 1 200 000 Langen auf der Karte in Natur um? Wie erscheinen umgekehrt 25 km in der Karte? Von 14 nochmals 8 kalter), 814 6 (8 Plus-, 14 Minuspunkte), L54 ()·() (), ()·() (), usw.; ebenso bei Division. 14 8 22 54 Wie mult./div. man neg. Zahlen? Wie rechnet man 14 8, 8 14, 14 (8), 14 3 21 46? Negative Zahlen 5. Klasse TOP 10 Grundwissen Kernsatze L510 AR a · (Lange mal Breite). Ansonsten: Flachen zerlegen; zu großeren Flachen erganzen; sehen, dass es die Halfte einer anderen Flache ist; oder mit Einheitsquadraten auslegen und zahlen. O: Alle Außenflachen des Quaders. 510 Wie lautet die Flachenformel fur das Rechteck? Welche Tricks gibt es zur Berechnung anders geformter Flachen? Was versteht man unter der Oberflache eines Quaders? Flachen L55 Hat man fur die erste Stelle n1 Moglichkeiten, fur die zweite n2 usw., dann hat man insgesamt n1 · n2 . Moglichkeiten. 4 Bucher fur den ersten Platz, dann noch 3 fur den zweiten usw., also 4·3·2·1 24 Moglichkeiten. 55 Wie lautet das Zahlprinzip? Wie viele Moglichkeiten gibt es, 4 verschiedene Bucher im Regal anzuordnen? Zahlprinzip 05 www.strobl-f.de/ueb51.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Rechnen mit naturlichen Zahlen 5 01 1. Berechne: (b) 147 · 258 (a) 9876 876 76 6 (c) 38133 19 (d) 35 2. Berechne: (a) 9876 [876 (76 6)] (b) 3 7 · (26 16 12 2) (c) [400 (7 3 · 27 )] 3 (d) [99 · (3 · 9 7) 0 · 3 51] (99 9 · 11) 3. Was kann im freien Platz eingetragen werden? (a) (13 4. )·70 (b) 119 7 (c) 119 119 (d) 119 (a) Von welcher Zahl muss man 2468 subtrahieren, um 642 zu erhalten? (b) Welche Zahl muss man von 97531 subtrahieren, um 1357 zu erhalten? (c) Welche Zahl muss man durch 223 dividieren, um 9 zu erhalten? (d) Mit welcher Zahl muss man mit 287 multiplizieren, um 2009 zu erhalten? 5. Welcher Fehler wurde bei folgender Rechnung gemacht? 123 (321 · 213 132) 321 · 213 68373 132 68241 123 68364 6. So kann z. B. eine vollstandige Gliederung eines Terms aussehen: (100 5 · 2 62 12) · 9 1 Basis Exponent Potenz 1. Faktor 2. Faktor Produkt Minuend Subtrahend Differenz Dividend Divisor Quotient 1. Summand 2. Summand Summe 1. Faktor 2. Faktor Produkt 1. Summand 2. Summand Summe Gliedere nach vorigem Muster: 3 7 · (26 16 12 2) 1 www.strobl-f.de/ueb52.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Rechenfertigkeiten 5 02 1. Erganze in der Tabelle stichwortartig die Rechentricks zur Multiplikation/Division und die Beispiele: Aufgabe Mult. mit 4 Mult. mit 1000 Mult. mit 5 Mult. mit 11 Mult. mit 9 Mult. mit 15 Mult. mit 15 Mult. mit 25 Div. durch 100 Div. durch 5 Div. durch 25 Trick Verdoppeln und nochmals verdoppeln Beispiel 18 · 4 27 · 1000 Mal 10 und halbieren 456 · 5 Mal 10 und einmal dazuzahlen 456 · 11 456 · 9 4560 456 Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach 44 · 15 22 · 30 Mal 10 und die Halfte davon dazuzahlen 44 · 15 440 220 Einen Faktor vierteln, anderen 4-fach 44 · 25 11 · 100 17000 100 325 5 325 · 2 10 In 100 geht 25 4-mal! 325 25 3 · 4 1 2. Berechne: (a) 432 · 588 588 · 32 (e) [12625 (2977 8133)] 5 (b) 152 19 · 4 13 · 7 33 (f) 17000 125 (c) (162 25) · 4 4 · 162 (g) (168 · 87 13 87 · 832) · 1 (d) 2977 (h) 1234 987 766 113 10000 3. Berechne die Primfaktorzerlegungen folgender Zahlen: (a) 24 (b) 238 (c) 456 4. Mache Uberschlagsrechnungen und vergleiche mit dem exakten Ergebnis: (a) 876 54321 1234 56789 (b) 10133 · 12345 (c) 12345 823 5. (a) Uberprufe durch Berechnen von 144 4 und 100 4 44 4, ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten gilt. (b) Uberprufe durch Berechnen von 1440 10 und 1440 18 1440 8, ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten gilt. 6. Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß musste, als er Schuler war, die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er schrieb 123. .9899100 (1100)(299). .(5051) 101·50 5050 Addiere mit einem ahnlichen Trick die ungeraden Zahlen von 1 bis 999. www.strobl-f.de/ueb53.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Naturliche Zahlen und ihre Darstellung 5 03 1. Schreibe in Worten, runde auf Milliarden und schreibe die gerundete Zahl mit Zehnerpotenzen: 1 000 702 003 010 2. Eine Zeitung berichtet, Lego habe bisher weltweit zweihundert Billionen Steine verkauft. Schreibe diese Zahl. Wie viele Nullen hat sie? 3. Schreibe mit Ziffern und vergleiche (verwende bzw. ): funfundzwanzig Milliarden zweitausendeins, zwei Billionen eine Milliarde neun 4. Welche Art Diagramm ist am besten geeignet ist zur Darstellung folgender Daten (Kreisdiagramm, Balkendiagramm oder Liniendiagramm): (a) Lebenserwartung in verschiedenen Landern (b) Entwicklung der Einwohnerzahl Dillingens seit 1870 bis 2003 (c) Hohe verschiedener Turme Munchens (d) Zusammensetzung des bayerischen Landtags aus Abgeordneten verschiedener Parteien 5. Das folgende Diagramm zeigt den Heizolverbrauch in einem großen Wohnblock: Liter Ol 4200 6 4000 3800 3600 3400 3200 3000 Dez Jan Feb Mar Monat (a) In welchem Monat war es wohl am kaltesten? (b) Lies moglichst genau ab: Wie viele Liter Ol wurden im Februar verbraucht? (c) Claudia sagt: Im Marz wurde im Vergleich zum Februar nur ganz wenig Ol verbraucht. Was meinst du dazu? 6. Erstelle ein Liniendiagramm zu folgenden Daten (Einsatz von Kohle im Weltenergieverbrauch in Millionen Tonnen): 1970 1980 1990 2000 2184 2623 3239 3220 www.strobl-f.de/ueb54.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Negative Zahlen 1. 5 04 (a) (17) · (3) (b) (17) · (17) (c) (18) (6) (d) (1001) (11) (e) (11)2 · (1) 2. (a) (643) (43) (b) (1001) (2002) (c) 456 (789) (d) 2 3 (e) 119 19 (f) 17 28 39 44 3. (a) (45 66) · (35 5) (b) (45 64) · (35 5) (c) (45 66) · (35 56) (d) (45 66) (35 56) (e) 5 (7) · (2)5 4. Erganze die Lucke: 2005 . 2006 5. Subtrahiere die Summe von 16 und 4 vom 8-fachen Quotienten dieser Zahlen. 6. Am Montag stand das Bankkonto von Herrn Rot mit 707 Euro im Minus; Frau Reich besaß an diesem Tag 411 Euro mehr. Zwei Tage spater gingen auf das Konto von Herrn Rot 458 Euro ein, auf das von Frau Reich 584 Euro. Wie groß ist der Unterschied jetzt? www.strobl-f.de/ueb55.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Zahlprinzip 5 05 1. 8 Personen stellen sich in einer langen Reihe fur ein Foto auf. Jeder kann wahlen, ob er dabei steht oder sitzt. Wie viele verschiedene Fotos sind denkbar? 2. Fur ihre Puppe hat Claudia 4 verschiedene Hemdchen, 6 Schurzen und 3 Paar Schuhe zur Auswahl. Wie viele Moglichkeiten hat sie, die Puppe anzuziehen? 3. Wie viele Flaggen mit drei waagrechten Streifen kann man bilden, wenn man dafur aus 7 Farben wahlen kann und benachbarte Streifen nicht dieselbe Farbe haben durfen? 4. 6 Politiker treffen sich zu einer Konferenz. Jeder begrußt jeden, und von jedem Handeschutteln wird ein Foto gemacht. Wie viele Fotos entstehen? (a) Lose diese Aufgabe durch die Zeichnung von 6 Punkten, bei denen du jeden mit jedem verbindest. (b) Lose diese Aufgabe durch eine Tabelle, in der du fur jedes Handeschutteln ein Kreuzchen machst: B D F B D F Warum stehen in einigen Kastchen keine Kreuze? Warum muss man die Zahl der ubrigen Kastchen durch 2 dividieren? (c) Lose nun diese Aufgabe auf folgende Weise: Fur jedes Handeschutteln schreibst du ein Buchstabenpaar (also AB fur schuttelt die Hande usw.). Wie viele Buchstaben konnen dabei auf der ersten Stelle stehen, wie viele auf der zweiten? Warum muss man das so erhaltene Ergebnis wieder durch 2 dividieren? (d) Welche der obigen Losungsmoglichkeiten wurdest du bei 25 Politikern wahlen? 5. Wie viele Worter kann man aus den Buchstaben EIS bilden? (Die Worter mussen keinen Sinn ergeben; alle Buchstaben mussen vorkommen.) Wie viele aus den Buchstaben SCHNEE? 6. Aus einem Geldbeutel (1, 2, 5, 10, 20, 50 Cent, 1, 2 Euro) durfen 3 Kinder je 1 Munze nehmen. Wie viele Kombinationsmoglichkeiten gibt es dafur, wenn jede Munze nur einmal vorhanden ist? www.strobl-f.de/ueb56.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Geometrie 5. Klasse 1. 5 06 (a) Zeichne die Punkte A(15), B(45), C(411), D(110), E(026), (019), G(320), H(194), I(181), J(214), K(207), L(218), (237), (248), (16 2), Q(172), S(923), (1324), (1327) und (101) in ein Koordinatensystem (Einheit 5 mm). Zeichne das Viereck ABCD und das Dreieck QV ein. Verbinde die Punkte EF GHIJKLM ST E. Du erhaltst eine stark vereinfachte Karte eines bekannten Landes. (b) Die Strecke [GT ist in Wirklichkeit 405 km lang. Zeige, dass der Maßstab der Karte dann 1:7 500 000 ist! (c) Welchen Abstand hat der Punkt von der Geraden SN (auf der Karte bzw. in Wirklichkeit)? (d) liegt auf [GH im Abstand 450 km von . Ermittle die Koordinaten von R. (e) Ein Unternehmen mochte sich hochstens 300 km (entspricht 4 cm) von der Hafenstadt ansiedeln, zur Vermeidung von Konkurrenz mit anderen Unternehmen jedoch mindestens 450 km von entfernt. Kennzeichne auf der Karte mogliche Standorte. (f) Welche besondere Lage haben die Geraden AB und BC zueinander, welche GH und SN (g) Liegt auf HI? (h) Der Punkt entsteht durch Achsenspiegelung von an der Geraden SN Lies die Koordinaten von aus der Zeichnung ab! 2. Beschreibe Quader und Wurfel als spezielle Prismen! Beschreibe in Worten das Aussehen von Kegel, Zylinder, Pyramide und Kugel! 3. Wie viel kostet der Zaun eines rechteckigen Grundstucks mit Lange 32 und Breite 20 m, wenn 5 fur die Einfahrt frei bleiben und 1 Zaun 23 Euro kostet? 4. Wie viele Symmetrieachsen hat das folgende Verkehrsschild? @@ @@ @@ @@ @ 5. Vervollstandige das Netz eines Quaders: Mit welchem anderen Punkt des Netzes kommt beim Zusammenkleben der Punkt zusammen? www.strobl-f.de/ueb57.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Winkel 5 07 1. Zeichne Winkel von (a) 22 (b) 104 (c) 315 2. Miss folgende Winkel und bezeichne sie mit den Punkten: (a) rR r (b) rU Z Lr ZZr (c) r rM 3. Berechne, welchen stumpfen Winkel die Zeiger einer Uhr um 14.32 Uhr einschließen! 4. Zeichne ein Kreisdiagramm zu folgenden Angaben: In einer Schulklasse stammen 13 Schuler aus Dillingen, je 1 aus Lauingen und Syrgenstein, je 3 aus Gundelfingen und Wittislingen, 7 aus Hochstadt und 2 aus Holzheim. 5. Berechne durch Umwandlung in Winkelminuten und Winkelsekunden: 11 8 6. Ein Schiff fahrt zunachst 10 km nach Nordwesten, dreht dann um 45 Richtung N, dann nach 50 km um 110 im Uhrzeigersinn und schließlich nach weiteren 10 km um 20 gegen den Uhrzeigersinn. Um wie viel hat sich das Schiff insgesamt gedreht? In welche Richtung? In welche Richtung (gemessen in Grad gegenuber der Nordrichtung) fahrt es jetzt? www.strobl-f.de/ueb58.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Einheiten 5 08 1. Wandle um ein gemischte Einheiten: (a) 3507 dm2 (b) 3507 (c) 35070 (d) 3507 2. Wandle um in die angegebene Einheit: (a) 1,9 ha . . m2 (b) 19 . s (c) 0,19 . mm (d) 1,9 . mg 3. Wandle um in die Kommaschreibweise: (a) 3 m2 3 cm2 (b) 3 3 cm (c) 3 3 (d) 3 30 min 4. Berechne: (a) 4,8 kg 4,8 (b) 1,2 m2 · 120 (c) 250 hl 250 (d) 3,6 MJ 105 (Energie-Einheit Joule) 5. Unterscheide Messung Wie oft geht . (Große mit Einheit) in . (Große mit Ein heit)?) und Teilung . . (Große mit Einheit) ist in . (Anzahl) gleiche Teile aufzutei len): (a) Eine 12 lange Strecke wird mit einem 15 cm langen Lineal ausgemessen: 12 : 15 cm (b) Ein 1 ha großes Feld wird in 16 Grundstucke aufgeteilt: 1 ha 16 (c) 1 : 45 min (d) 300 : 24 6. (a) Wie viele Portionen zu 17 g konnen aus 170 eines Arzneimittels hergestellt werden? (b) Welche Einheit? 0,33 km2 330 000 . (c) Wie lange benotigt man, um bei einem von 000 bis 999 einstellbaren Zahlenschloss alle Kombinationen durchzuprobieren, wenn man je Kombination 1 braucht? (d) Eine von 7.50 Uhr bis 17.30 Uhr dauernde Veranstaltung soll durch drei Pausen von je 45 min in gleiche Teile geteilt werden. Wann sind jeweils die Pausen? www.strobl-f.de/ueb59.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Maßstab 5 09 Hinweis: Dieses Blatt sollte nach Moglichkeit so ausgedruckt oder mittels Kopierer so vergroßert werden, dass diese Lange als 1 cm erscheint: Dazu muss eventuell beim Ausdrucken mit dem adobe acrobat reader keine Seitenanpassung eingestellt wer den, damit der Ausdruck in einer Große von 100 erscheint. 1. Berechne die fehlenden Daten: Maßstab Lange auf der Karte Lange in Wirklichkeit (a) 1:1000 7,2 cm (b) 1:2 250 000 4,4 cm (c) 1:160 12 (d) 1:25 000 22 km (e) 50 5 900 000 000 km (f) 45,6 cm 91,2 km 2. Stelle im Diagramm den Dortmund-Ems-Kanal im Maßstab richtig dar und berechne die Lange des Nord-Ostsee-Kanals! r Nord-Ostsee-Kanal km r Main-Donau-Kanal 171 km Dortmund-Ems-Kanal 266 km 3. In einem Sandkasten soll ein Modell eines Stadtviertels erstellt werden, das von Straßen, die im Abstand von 400 verlaufen, begrenzt wird. Fur das Modell sollen kleine Hauser aus Papier hergestellt werden. Wurde ein Sandkasten ublicher Große dafur geeignet sein, oder waren die Modellhauser dann so klein, dass sie nicht mehr vernunftig gebastelt werden konnen? 4. Hier siehst du einen Ausschnitt aus einer Mondkarte. Die Krater Copernicus und Gay-Lussac sind dabei 100 km voneinander entfernt. Welchen Maßstab hat die Karte? Welche Krater haben vom Landeplatz von Apollo 12 eine Entfernung von weniger als 260 km? Gay-Lussac rMilichius Hortensius rCopernicus rFauth rEddington Kunowsky rReinhold Gambart rLandsberg rApollo 12 www.strobl-f.de/ueb510.pdf 5. Klasse Ubungsaufgaben Flachen 1. 5 10 (a) Verwende den Verdoppelungstrick, um die Flache des L-formigen Flachenstucks aus grund510.pdf zu berechnen. (b) Verwende den Erganzungs- bzw. Zerlegungstrick fur folgende Flachenstucke: 10 cm 6 3 cm 10 cm 3 cm 30 6 40 Zwischen zwei Straßen, die im Abstand von 40 verlaufen, liegt ein Grundstuck, das von parallelen Seiten begrenzt wird. Gib die Flache auch in Ar an! 2. Die folgende Skizze zeigt ein Grundstuck. 34 15 20 32 3m I 28 dm Berechne den Flacheninhalt des Grundstucks! 3. Zeichne auf ein kariertes Papier einen Kreis mit Radius 3,5 cm und bestimme damit naherungsweise (ohne eine Flachenformel fur Kreisflachen) den Flacheninhalt des Kreises. 4. Schneide aus Papier zwolf Quadrate mit 1 cm Seitenlange und lege damit verschiedene Rechtecke. Ermittle jeweils den Umfang. Formuliere eine Beobachtung. 5. Berechne die Oberflache eines Quaders mit den Kantenlangen 7 mm, 6 cm und 5 dm. 6. Welche Kantenlange hat ein Wurfel mit einer Oberflache von 2166 cm2 www.strobl-f.de/ueb5k.pdf 5. Klasse Ubungen Kompakt-Uberblick zum Grundwissen 05 1. Rechnen mit naturlichen Zahlen (siehe auch grund51.pdf) Berechne: (1666 7 2 · 34 · 21 11 · 2. Von welcher Art ist der Gesamtterm? 2. Rechenfertigkeiten (siehe auch grund52.pdf) Berechne geschickt: 9876 · 7 9806 · 7 192 Ist das Ergebnis eine Primzahl? 3. Naturliche Zahlen und ihre Darstellung (siehe auch grund53.pdf) Stelle die nebenstehenden Einwohnerzahlen von vier indischen Stadten (laut Zahlung von 2001) in einem Diagramm dar! Runde die Zahlen auf Millionen und schreibe die gerundeten Zahlen mit Zehnerpotenzen. Bombay 11 914 398 Delhi 9 817 439 Kalkutta 4 580 544 Bangalore 4 292 223 4. Negative Zahlen (siehe auch grund54.pdf) Berechne: (216 116) · (116 216) 14 · (17 3) 5. Zahlprinzip (siehe auch grund55.pdf) Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Facher Deutsch, Religion, Musik, Sport (je 1 Stunde) und Mathematik (2 Stunden) im Stundenplan eines 6-stundigen Vormittags anzuordnen? (Die M-Stunden durfen, aber mussen nicht direkt hintereinander liegen.) 6. Geometrie 5. Klasse (siehe auch grund56.pdf) Trage die Punkte A(21), B(30), C(50), D(41) und E(54) in ein Koordinatensystem ein; zeichne [AB], [BC], [CD] und [DE]; trage ferner AE ein. Welche Lage haben AE und CD zueinander, welche CD und AB? Spiegle alle Punkte an AE. Welchen Abstand hat der Punkt von AE? 7. Winkel (siehe auch grund57.pdf) Ermittle in der Situation von Aufgabe 6 den Winkel ) CDE. 8. Einheiten (siehe auch grund58.pdf) Eine Maschine fullt 100 Portionen Joghurt in 250 g-Becher und benotigt dafur 3 min 20 s. Wie lange dauert es, bis 7,5 Joghurt in Becher gefullt sind? 9. Maßstab (siehe auch grund59.pdf) Wie lang ist auf einer Karte im Maßstab 1:500 000 die 62 km lange Strecke von Munchen nach Augsburg? Wie lang ist eine Strecke, die auf der Karte 6,2 cm lang ist, in Wirklichkeit? Welchen Maßstab musste eine Karte haben, auf der die Strecke von Munchen nach Augsburg 31 cm lang ist? 10. Flachen (siehe auch grund510.pdf) Die nebenstehende Figur soll das Netz eines hausformigen Korpers sein. Welche Fehler liegen vor? Berechne die gesamte Wandflache und gib diese auch in großeren und kleineren Einheiten an. 6 @ 5m @ 10 @ 8m 6 3m www.strobl-f.de/lsg51.pdf 5. Klasse Losungen Rechnen mit naturlichen Zahlen (a) 9876 876 76 6 10834 (b) 147 · 258 37926 (c) 38133 19 2007 1. 5 01 (d) 35 243 2. (a) 9876 [876 (76 6)] 9876 [876 70] 9876 806 9070 (b) 3 7 · (26 16 12 2) 3 7 · (26 16 6) 3 7 · (10 6) 3 7 · 4 3 28 31 (c) [400 (7 3 · 27 )] 3 [400 (7 3 · 128)] 3 [400 (7 384)] 3 [400 391] 3 9 3 3 (d) Geht nicht: [99 · (3 · 9 7) 0 · 3 51] (99 9 · 11) p [99 · 20 0] (99 99) 1980 0 ppp 3. (a) (13 13) · 7 0 (b) 119 17 7 (c) 119 1 119 (d) 119 119 1 4. Bei dieser Aufgabe ist es am gunstigsten, eine einfache ahnliche Rechnung mit kleineren Zahlen aufzustellen, also z. B. bei Teilaufgabe (a) ?24 6. Man sieht dann, dass die gesuchte 30 sich als Summe 24 6 berechnen lasst, also berechnet man bei Teilaufgabe (a) entsprechend die Summe 2468 642 3110. Man sieht dabei auch, dass die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist und die Division die Umkehrung der Multiplikation. (a) (b) (c) (d) 3110 2468 642, die gesuchte Zahl ist also 3110. 97531 96174 1357, die gesuchte Zahl ist also 96174. 2007 223 9, die gesuchte Zahl ist also 2007. 287 · 7 2009, die gesuchte Zahl ist also 7. 5. Das Endergebnis ist zwar richtig, aber bei den Zwischenschritten wurde vergessen, den Rest abzuschreiben (denn z. B. das Zwischenergebnis 68373 132 ist nicht gleich 68364); richtig ware also 123 (321 · 213 132) 123 (68373 132) 123 68241 68364. Oder man schreibt unten auf das Blatt die Nebenrechnungen 321 · 213 68373; 68373 132 68241. 6. 3 7 · (26 16 12 2) Dividend Divisor Quotient Minuend Subtrahend Differenz Minuend Subtrahend Differenz 1. Faktor 2. Faktor Produkt 1. Summand 2. Summand Summe www.strobl-f.de/lsg52.pdf 5. Klasse Losungen Rechenfertigkeiten 1. Aufgabe ·4 ·1000 ·5 ·11 ·9 ·15 ·15 ·25 100 :5 25 Trick Verdoppeln und nochmals verdoppeln 3 Nullen anhangen Mal 10 und halbieren Mal 10 und einmal dazuzahlen Mal 10 und einmal abziehen Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach Mal 10 und die Halfte davon dazuzahlen Einen Faktor vierteln, anderen 4-fach 2 Nullen streichen Verdoppeln und durch 10 teilen In 100 geht 25 4-mal! 5 02 Beispiel 18 · 4 36 · 2 72 27 · 1000 27 000 456 · 5 4560 2 2280 456·11 4560456 5016 456 · 9 4560 456 4104 44 · 15 22 · 30 660 44 · 15 440 220 660 44 · 25 11 · 100 1100 17000 100 170 325 5 650 10 65 325 25 3 · 4 1 13 2. (a) 432 · 588 588 · 32 (432 32) · 588 400 · 588 235 200 (b) 152 19·413·733 225769127 22591(7627) 316103 213 (c) (162 25) · 4 4 · 162 162 · 4 25 · 4 4 · 162 25 · 4 100 (d) 2977 7023 10000 (e) [12625 (2977 8133)] 5 [12625 11110] 5 1515 5 303 (f) 17000 125 17 · 1000 125 17 · 8 136 (g) (168 · 87 13 87 · 832) · 1 [(168 832) · 87 13] · 1 1000 · 87 13 87013 (h) 1234 987 766 113 1234 766 (987 113) 2000 1100 900 3. (a) 24 2 · 2 · 2 · 3 (b) 238 2 · 119 2 · 7 · 17 (c) 456 2 · 228 2 · 2 · 114 2 · 2 · 2 · 57 2 · 2 · 2 · 3 · 19 4. (a) Uberschlag: 876 54321 1234 56789 1000 54000 1000 57000 113 000 (gerundet auf Tausender). Exakt: 87654321123456789 113 220 (b) Uberschlag: 10133 · 12345 10 000 · 12 000 120 000 000 Exakt: 12345 · 10133 125 091 885 (Faktor mit 0 und 1 und gleichen Ziffern als zweiten Faktor fur handschriftliches Rechnen) (c) Uberschlag: 12345 823 15000 1000 15 (z. B. Dividend und Divisor beide um etwa ein Viertel aufrunden). Exakt: 12345 823 15 5. (a) 144 4 36; 100 4 44 4 25 11 36 Das Distributivgesetz gilt auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten. (b) 1440 10 144; 1440 18 1440 8 80 180 100 Das Distributivgesetz gilt nicht bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten. 6. 1 3 5 7 . . 993 995 997 999 (1999)(3997)(5995)(7993). .(499501) 1000·250 250 000 (Da es von 1 bis 1000 je 500 gerade und ungerade Zahlen gibt, stehen hier 250 solche Klammerausdrucke). www.strobl-f.de/lsg53.pdf 5. Klasse Losungen Naturliche Zahlen und ihre Darstellung 5 03 1. Eine Billion siebenhundertzwei Millionen dreitausendzehn. Auf Milliarden gerundet: 1 001 000 000 000 1001 · 109 2. 200 000 000 000 000 hat 14 Nullen 3. 25 000 002 001 2 001 000 000 009 4. (a) Balkendiagramm (b) Liniendiagramm (c) Balkendiagramm (d) Kreisdiagramm 5. (a) Im Januar wurde am meisten Ol verbraucht, also war es im Januar wohl am kaltesten. (b) Im Februar wurden etwa 3750 Liter Ol verbraucht. (c) Im Marz wurden etwa 3250 Liter Ol verbraucht, also zwar weniger als im Februar, aber nicht ganz wenig; da die Skala bei 3000 beginnt, wird nur der Eindruck erweckt, der Verbrauch sei sehr gering, obwohl er in Wirklichkeit durchaus hoch war. 6. Verbrauch in Mio. 6 3000 r 2000 1000 1970 2000 Jahr www.strobl-f.de/lsg54.pdf 5. Klasse Losungen Negative Zahlen 1. 5 04 (a) (17) · (3) 51 (b) (17) · (17) 289 (c) (18) (6) 3 (d) (1001) (11) 91 (e) (11)2 · (1) 121 · (1) 121 2. (a) (643) (43) 643 43 600 (b) (1001) (2002) 1001 2002 1001 (c) 456 (789) 456 789 1245 (d) 2 3 1 (e) 119 19 138 (f) 17283944 28173944 28(173944) 28100 72 3. (a) (45 66) · (35 5) 21 · (40) 840 (b) (45 64) · (35 5) 19 · (30) 570 (c) (45 66) · (35 56) 111 · 21 2331 (d) (45 66) (35 56) 21 (21) 1 (e) 5 (7) · (2)5 5 (7) · (2) · (2) · (2) · (2) · (2) 5 (7) · (32) 5 (224) 219 4. 2005 (4011) 2006 5. 8 · [(16) 4] [(16) 4] 8 · [4] [12] 32 12 20 6. Rechnungen in Euro: Montag Frau Reich: 707 411 296 Mittwoch Herr Rot: 707 458 249 Mittwoch Frau Reich: 296 584 288 Differenz: 288 (249) 537 Frau Reich hat jetzt 537 Euro mehr auf dem Konto als Herr Rot. www.strobl-f.de/lsg55.pdf 5. Klasse Losungen Zahlprinzip 5 05 1. Da der erste 2 Moglichkeiten hat, ebenso der zweite, dritte, . , achte, sind 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 28 256 verschiedene Fotos denkbar. 2. 4 · 6 · 3 72 3. Fur den oberen Streifen hat man 7 Moglichkeiten, fur den zweiten nur noch 6 (da dieser ja nicht die Farbe des ersten haben darf), fur den dritten ist die Farbe des mittleren verboten, aber die des oberen wieder erlaubt, also gibt es hier ebenfalls 6 mogliche Farbungen. Insgesamt gibt es somit 7 · 6 · 6 252 mogliche Flaggen. 4. (a) rE H J HH F rH rD H JH J J H J HH rC A HHJ H J r Von aus gibt es 5 Linien, dann bleiben von aus 4 (weil die Linie zu hin schon gezahlt wurde), dann von aus 3, von aus 2, von aus 1, und ist dann schon mit allen anderen Punkten verbunden. Also gibt es insgesamt 54321 15 Verbindungslinien, also 15 Fotos. (b) Da nicht mit sich selbst Hande schutteln kann, stehen in der Diagonalen keine Kreuze: B D F X X X X X X X X X X X X X X X X X X Somit hat man 6 · 6 6 30 Kreuze. Da das Kreuzchen fur mit und mit doppelt ist usw., muss man diese Zahl durch 2 dividieren. Es gibt also 30 2 15 Fotos. (c) Auf der ersten Stelle konnen 6 Buchstaben stehen, auf der zweiten 5. Da wieder die Kombinationen AB und BA usw. doppelt sind, hat man 6 · 5 2 15 Fotos. (d) Die Losung aus (a) ist die ungunstigste, die aus (c) die schnellste. Es gibt dann 25 · 24 2 300 Fotos. 5. Fur die erste Stelle gibt es 3 Buchstaben E, und S, fur die zweite bleiben 2 und fur die dritte 1, also 3 · 2 · 1 6 Worter. Bei den Buchstaben von SCHNEE denke man sich die Es durchnummeriert als E1 und E2 so dass man zunachst 6 verschiedene Buchstaben hat, die man wieder auf 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 Arten anordnen kann. Da dabei aber z. B. CE1 E2 HNS und CE2 E1 HNS doppelt gezahlt wurden und ebenso jede andere Kombination doppelt vorkommt, gibt es nur 720 2 360 mogliche Worter. 6. Falls jede Munze einmal vorhanden ist, hat das erste Kind die Wahl unter 8 Munzen, das zweite unter 7 und das dritte unter 6 Munzen, es gibt also 8 · 7 · 6 336 Kombinationen. www.strobl-f.de/lsg56.pdf 5. Klasse Losungen Geometrie 5. Klasse 1. 5 06 (a) Abbildung hier verkleinert; fur eine richtige Darstellung muss das Blatt auf DIN 3 vergroßert (h) werden, so dass diese Lange als 1 cm erscheint: y6 (b) Man misst GT 54 mm, fur eine Angabe der Form 1 mm Karte entspricht . muss man T also 405 km 405 000 000 mm durch 54 divi S dieren: 405 000 000 54 7 500 000, also ist @ der Maßstab 1:7 500 000. G (c) Man misst (gepunktete Strecke in der Karte) @ F @ etwa 11 mm, also 11 · 7 500 000 mm 82,5 km. Z(819) @ (d) 450 km in Natur entspre@ chen (vgl. grund59.pdf) 60 @ @ mm auf der Karte. Schlagt @ man einen Kreis mit Radi@ @q R@ @ us 6 cm um , so schnei @ det dieser die von aus @ @ gehende Halbgerade etwa HH @ im Punkt R(10,812,2) B (e) Schlagt man Kreise mit B A @H BJ Radius 4 cm um und Radius 6 cm um R, so erhalt man in der Karte VH 1 HH I den schraffierten Bereich. 0 1 HH (f) AB BC, GHkSN P 2. 3. 4. 5. (g) Da HI (ohne eckige Klammern) eine Gerade bezeichnet (uber beide Punkte hinaus verlangert gedacht, gepunktet in der Karte), liegt auf HI. Quader: Prisma mit Rechteck als Grundflache. Wurfel: Prisma mit Quadrat als Grundflache und gleicher Hohe wie Lange der Quadratseite. Kegel: Kreis als Grundflache; die Kreispunkte werden mit einem weiteren Punkt, der Spitze des Kegels, verbunden. Zylinder: Kreis als Grundflache, der nach oben verschoben wird. Pyramide: Eckige Grundflache; die Ecken werden mit einem weiteren Punkt, der Spitzer der Pyramide, verbunden. Kugel: Alle Punkte im Raum, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Zaunlange: 2 · (20 m32 m)5 m 99 m. Kosten: 99 · 23 Euro 2277 Euro. 4 Symmetrieachsen (waagrecht und senkrecht durch die Ecken und schrag jeweils durch die Seitenmitten) kommt mit Punkt 0 zusammen. Es gibt mehrere Moglichkeiten, das Netz zu vervollstandigen: X0 X X0 X X0 X X0 X www.strobl-f.de/lsg57.pdf 5. Klasse Losungen Winkel 1. (a) 5 07 (b) (c) C C ! !! ! C @ @ 2. (a) ) OR 90 (b) ) LM 143 (c) ) RAM 225 3. Der Minutenzeiger legt in 1 Minute einen Winkel von 360 60 6 zuruck, also seit der senkrechten Stellung, die er zur vollen Stunde hatte, einen Winkel von 6 · 32 192 Der Stundenzeiger legt in 1 Stunde einen Winkel von 360 12 30 zuruck, also in 2 Minuten einen Winkel von 1 Insgesamt hat der Stundenzeiger also seit der senkrechten Stellung um12.00 Uhr einen Winkel von 30 30 16 76 zuruckgelegt. Als Winkel zwischen den Zeigern bleiben 192 76 116 ubrig. (Da der stumpfe Winkel zwischen der Zeigern gefragt ist, ist dieser Winkel von 116 und nicht der zum Vollwinkel erganzende uberstumpfe Winkel von 360 116 244 anzugeben). 4. Insgesamt hat die Klasse 13 1 1 3 7 2 3 30 Schuler. Von den 360 des Vollwinkels entspricht jedem Schuler also ein Winkel von 360 30 12 Somit muss man fur Dillingen ein Tortenstuck von 13 · 12 156 zeichnen, fur Lauingen und Syrgenstein je 12 Gundelfingen und Wittislingen je 36 Hochstadt 7 · 12 84 Holzheim 24 $ Dillingen Lauingen Syrgenstein Holzheim Gundelfingen &% Wittislingen Hochstadt 5. 11 8 6600 8 3960000 8 495000 820 3000 1 220 3000 (Nebenrechnungen: 11 · 60 660, 660 · 60 39600, 4950 60 82 Rest 30, 82 60 1 Rest 22) 6. Zahlt man die Winkel gegen den Uhrzeigersinn positiv und die Winkel im Uhrzeigersinn negativ, so hat man sich gegenuber der Ausgangslage um 45 110 20 135 gedreht, und zwar im Uhrzeigersinn. Da das Schiff gegenuber der Nordrichtung im 45 -Winkel startet, endet die Fahrt im 45 135 90 -Winkel (also nach Osten). (Die angegebenen Langen von 10 km bzw. 50 km spielen bei der Berechnung des Drehwinkels keine Rolle). www.strobl-f.de/lsg58.pdf 5. Klasse Losungen Einheiten 1. (a) 35 m2 7 dm2 2. (a) 1,9 ha 19000 m2 (b) 3 km 507 5 08 (c) 35 kg 70 (d) 58 min 27 (b) 19 68400 (c) 0,19 190 mm (d) 1,9 1900 mg 3. (a) 3,0003 m2 4. (a) 4,8 kg 4,8 4,8 kg 0,0048 4,8048 kg (b) 3,03 (c) 3,000 003 (d) 3,5 (b) 1,2 m2 · 120 120 dm2 · 120 14400 dm2 144 m2 1 44 m2 (c) 250 hl 250 25000 250 24750 247 hl 50 (d) 3,6 MJ 105 3 600 000 : 100 000 36 5. (a) 12 : 15 cm 1200 cm 15 cm 80 (Ergebnis ist Zahl; Messung) Man muss das Lineal 80-mal anlegen. (b) 1 ha 16 10000 m2 :16 625 m2 (Ergebnis ist Große mit Einheit; Teilung) Es ergeben sich Grundstucke zu 625 m2 (c) 1 : 45 min 24 : 45 min 1440 min 45 min 32 (Messung) (d) 300 : 24 300 000 mg 24 12500 mg 12,5 (Teilung) 6. (a) 170 : 17 g 170 000 000 : 17 g 170 000 000 000 000 g 17 g 10 000 000 000 000 1013 Es ergeben sich 1013 Portionen. (b) 0,33 km2 330 000 m2 (c) Fur die 1000 Kombinationen benotigt man 1000 16 min 40 (d) Von 7.50 Uhr bis 17.30 Uhr: 9 40 min, abzuglich drei Pausen: 9 40 min 3 · 45 min 9 40 min 2 15 min 7 25 min. Bei drei Pausen ergeben sich vier Abschnitte: 7 25 min 4 445 min 4 26700 : 4 6675 1 51 min 15 s. Bei Notation der Uhrzeiten als - min s: Erste Pause: 9 41 min 15 bis 10 26 min 15 Zweite Pause: 12 17 min 30 bis 13 2 min 30 Dritte Pause: 14 53 min 45 bis 15 38 min 45 www.strobl-f.de/lsg59.pdf 5. Klasse Losungen Maßstab 5 09 Hinweis: Diese Losung bezieht sich bei den Maßstabsangaben in den Aufgaben 2 und 4 darauf, dass das Ubungsblatt wie angegeben ausgedruckt wurde. 1. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Maßstab Lange auf der Karte Lange in Wirklichkeit 1:1000 7,2 cm 72 1:2 250 000 4,4 cm 99 km 1:160 7,5 cm 12 1:25 000 88 cm 22 km 1:118 Milliarden 50 5 900 000 000 km 1:200 000 45,6 cm 91,2 km Nebenrechnungen (je nachdem, wie die Divisionen besser aufgehen, bequemer in cm oder mm): (a) 1000 · 72 mm 72 000 mm 72 (b) 2 250 000 · 44 mm 99 000 000 mm 99 km (c) 12 000 mm 160 75 mm (d) 2 200 000 cm 25 000 88 cm (e) 5 900 000 000 000 : 50 118 000 000 000 118 Milliarden (f) 91 200 000 mm 456 mm 200 000 2. Main-Donau-Kanal: Man misst 6,8 cm im Diagramm, diese entsprechen 171 km in Natur. Berechnung des Maßstabs: 171 000 000 68 2 500 000, also 1:2 500 000. Nord-Ostsee-Kanal: 4 cm Karte 4 · 2 500 000 cm 10 000 000 cm 100 km Natur. (Tatsachlich findet man 99 km im Lexikon angegeben.) Dortmund-Ems-Kanal: 266 km 266 000 000 mm Natur, entsprechen 266 000 000 mm 2 500 000 106 mm Karte. Die vollstandige Darstellung sieht also so aus: N 99 km r 171 km r 266 km (N Nord-Ostsee-Kanal, Main-Donau-Kanal, Dortmund-Ems-Kanal) 3. Schatzt man den Sandkasten als Quadrat mit etwa 1 Seitenlange, so erhalt man offenbar 1 Modell 400 Natur, also liegt ein Maßstab von etwa 1:400 vor. Ein Haus, das in Natur 10 10 000 mm lang ist, ist somit 10 000 mm 400 25 mm lang im Modell darzustellen. Ein solches Modellhaus konnte noch gebastelt werden. 4. Misst man den Abstand der angegebenen Krater, so erhalt man 2 cm, also 2 cm Karte 100 km Natur, also 1 cm Karte 50 km 5 000 000 cm Natur, man hat also den Maßstab 1:5 000 000. Einer wahren Entfernung von 260 km entsprechen somit 260 000 000 mm 5 000 000 52 mm. Schlagt man einen Kreis mit Radius 5,2 cm um den Landeplatz von Apollo 12, so liegen innerhalb des Kreises die Krater Landsberg, Reinhold, Eddington und Gambart. www.strobl-f.de/lsg510.pdf 5. Klasse Losungen Flachen 1. (a) 5 10 Bei Verdoppelung erhalt man durch geschicktes Zusammensetzen der beiden Teile ein Rechteck mit 3,5 cm Lange und 2 cm Breite, also mit 3,5 cm · 2 cm 7 cm2 Flache. Die Halfte davon ist also die gesuchte Flache: 7 cm2 2 3,5 cm2 (Wer nicht mit dem Komma rechnen will, rechnet die Flache um: 7 cm2 2 700 mm2 2 350 mm2 3,5 cm2 .) (b) 30 m 6 40 ? Indem man rechts ein Dreieck abschneidet und dieses links wieder anfugt, erhalt man ein flachengleiches Rechteck mit 30 ·40 1200 m2 12 a. Die vier zu erganzten Quadrate lassen sich zu einem Quadrat mit 7 cm Seitenlange zusammenschieben, so dass AKreuz 10 cm · 10 cm 7 cm · 7 cm 51 cm2 2m 2. Das Flachenstuck wird z. B. zerlegt in zwei Rechtecke und ein halbes Quadrat. Damit ist 32 ·20 2 ·15 2 ·2 : 2 15 20 640 m2 30 m2 2 m2 672 m2 (Die Langenangabe 28 dm wird nicht fur die Flachenberechnung 32 3. $ &% 2 benotigt.) Man zahlt alle Kastchen, die ganz oder großtenteils im Kreis liegen. Es sind etwa 156 Kastchen. Da ein Kastchen (5 mm)2 25 mm2 groß ist, misst die Kreisflache etwa 156 · 25 mm2 3900mm2 39 cm2 4. Man kann folgende Rechtecke legen: 12 cm Lange, 1 cm Breite, also Umfang 26 cm. 6 cm Lange, 2 cm Breite, also Umfang 16 cm. 4 cm Lange, 3 cm Breite, also Umfang 14 cm. Beobachtung: Obwohl alle Rechtecke die gleiche Flache haben, haben sie verschiedenen Umfang. Es gilt: Je quadratischer die Flache, desto kleineren Umfang hat sie. 5. 2 · (7 mm ·6 cm 7 mm ·5 dm 6 cm ·5 dm) 2 · (7 mm ·60 mm 7 mm ·500 mm 60 mm ·500 mm) 67840 mm2 6. Da der Wurfel von sechs gleich großen Quadraten begrenzt wird, ist die Flache eines solchen Quadrats 2166 cm2 6 361 cm. 361 ist eine Quadratzahl, und zwar ist 361 cm2 19 cm ·19 cm. Die Kantenlange ist somit 19 cm. www.strobl-f.de/lsg5k.pdf 5. Klasse Losungen Kompakt-Uberblick zum Grundwissen 05 1. (1666 7 2 · 34 · 21 11 · 2 (238 2 · 81) · 21 22 (238 162) · 21 22 400 · 21 22 8400 22 8378. Der Term ist eine Differenz. 2. 9876 · 7 9806 · 7 192 (9876 9806)