Arbeitsblatt: Kongruenzabbildungen

Kurzgymnasium 8. Lektion Neues M-Lehrmittel Zürich Kongruenzabbildungen Mathematik 1 – Kapitel 1 TB S. 4 16 AH S. 4 30 Claudio Jung Übungsaufgaben NI Repetition NIIfordernd NIII schwierig 1. Aufgabe (Lsg. S. 12) NI Zeichne alle Symmetrieachsen ein! a) b) c) d) 2. Aufgabe (Lsg. S. 12) NI a) Markiere alle Buchstaben, die achsen- und punktsymmetrisch sind, mit rot! b) Markiere alle Buchstaben, die nur achsensymmetrisch sind, mit blau! c) Markiere alle Buchstaben, die nur punktsymmetrisch sind, mit grün! UTPSWVXQEHMNBCO 2 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 3. Aufgabe (Lsg. S. 13) NII Welche Stelle der Umrandung (Bande 1) des Billardtisches musst du mit der schwarzen Kugel treffen, damit diese nach dem Aufprall im Loch 1 verschwindet? Konstruiere den Weg ebenfalls für Bande 2! 1 Bande 1 Bande 2 4. Aufgabe (Lsg. S. 13) NIII Nun möchte der Billardspieler seinen Kollegen imponieren, indem er die Kugel in Loch 1 versenkt, sie jedoch zuerst Bande 1 und dann Bande 2 berührt. Wie muss er Bande 1 anspielen? 1 Bande 1 Bande 2 3 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 5. Aufgabe (Lsg. S. 14) NI Gegeben: A(3/5), B(6/1), Q(2/4), Q‘(7/3) Konstruiere die Bildstrecke AB‘ mit Hilfe der Achsensymmetrie! 4 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 6. Aufgabe (Lsg. S. 15) NII Spiegle den Kreis an S. Gib anschliessend an, in welchen Punkten die x-Achse vom Kreis k‘ geschnitten wird. (Kreismittelpunkt muss konstruiert werden) 5 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 7. Aufgabe (Lsg. S. 16) NIII Spiegle den Punkt P(4/2) der Reihe nach an den Ecken D, C, und des gleichschenkligen Trapezes ABCD mit A(2/4), B(1/6) und C(-2/3). Wie lauten die Koordinaten des vierten Bildpunktes P\\? 6 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 8. Aufgabe (Lsg. S. 17) NIII Gegeben: Strecke ST: S(-1/5), T(-5/1) Drehzentrum Z: Z(-4/4) Kreismittelpunkt K: K(-6/5) Kreisradius: 1.5 Einheiten Verschiebungspfeil v: (siehe oben am Koordinatensystem) a) Übertrage das Gegebene ins Koordinatensystem. Drehe nun den Kreis sowie die Strecke ST um -90 um Z. b) Verschiebe nun den Kreis k‘, das Drehzentrum sowie die Strecke S‘T‘ in der Richtung und der Länge des gegebenen Verschiebungspfeils v. c) Konstruiere die Strecken AB mit Mittelpunkt Z. soll dabei auf dem Kreis k‘‘ und auf der Strecke S‘‘T‘‘ liegen Verschiebungspfeil 7 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 9. Aufgabe (Lsg. S. 18) NII Gegeben sind die Punkte A(5/5) und B(2/2) sowie die Gerade durch die Punkte J(-1.5/5) und K(-0.5/3). Die Strecke AB soll durch eine Achsenspiegelung so abgebildet werden, dass die Bildstrecke AB‘ auf liegt. a) Konstruiere alle Symmetrieachsen b) Konstruiere für alle Symmetrieachsen die Bildstrecken von AB 8 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 10. Aufgabe (Lsg. S. 19) NIII Das Viereck ABCD wurde zuerst gespiegelt und anschliessend um einen Winkel um den Punkt A‘ (A‘‘) gedreht, woraus die Bildfigur A‘‘B‘‘C‘‘D‘‘ entstanden ist. Konstruiere ABCD, das Bild ABCD‘ und gib den Drehwinkel an! Die Punkte und des Original-Vierecks sind gegeben. A‘ Konstruktionsbeschreibung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9 Lektion 8 Kongruenzabbildungen Prüfungsaufgaben der vergangenen Jahre 11. Aufgabe (GYM 2012) (Lsg. S. 20) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) NII Gegeben ist ein Dreieck ABC in einem Koordinatensystem (siehe Figur). Durch eine Abbildung wird zu jedem Originalpunkt P(x/y) ein Bildpunkt P‘(2 – x/4 – y) erzeugt. So wird zum Beispiel zu P(-2/7) der Punkt P‘(4/-3) erzeugt. a) Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte A‘, B‘ und C‘ aus den Punkten A, und des Dreiecks oben. b) Trage das Dreieck ABC‘ in das Koordinatensystem ein. Das Dreieck ABC wird durch eine Kongruenzabbildung auf das Dreieck ABC‘ abgebildet. Konstruiere und bezeichne farbig: Die Spiegelachse s, wenn es sich um eine Achsenspiegelung handelt. Das Zentrum Z, wenn es sich um eine Punktspiegelung handelt. 10 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 12. Aufgabe (GYM 2013) (Lsg. S. 21) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) a) In der unten wiedergegebenen einfachen, rechteckigen Minigolfbahn soll der Ball nach dem einmaligen Berühren der Bande ins Loch gespielt werden. Konstruiere den Weg des Balles und markiere diesen Weg farbig. NII b) Auch auf der unten wiedergegebenen schwierigeren, siebeneckigen Minigolfbahn soll der Ball nach dem einmaligen Berühren von genau einer der Banden ins Loch gespielt wer den. NII Konstruiere alle innerhalb der Minigolfbahn möglichen Wege des Balles und markiere diese Wege mit verschiedenen Farben. 11 Lektion 8 Kongruenzabbildungen Lösungen Übungsaufgaben 1. Aufgabe Zeichne in den Figuren alle Symmetrieachsen ein. den Drehpunkt und den kleinsten Drehwinkel ein a) 90 punktsymm. c) 90 punktsymm. b) 90 punktsymm. d) 2. Aufgabe a) achsen- und punktsymmetrisch: X, H, b) nur achsensymmetrisch: U, T, W, V, E, M, B, c) nur punktsymmetrisch: S, UTPSWVXQEHMNBCO 12 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 3. Aufgabe 1 S‘ Bande 1 Bande 2 S‘‘ Via Bande 2 kann die Kugel nicht eingelocht werden, da sie vorher im mittleren Loch landen würde! 4. Aufgabe (Lsg. S. 13) S‘ 1 Bande 1 Bande 2 Vorgehen: 1. Kugel an „Berührbande 1 spiegeln S‘ L1‘ 2. Zielloch an Berührbande 2 Spiegeln L1‘ 3. S‘ mit L1‘ verbinden, um Bandenberührpunkte zu bekommen 13 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 5. Aufgabe A(3/5), B(6/1), Q(2/4), Q‘(7/3) q‘ Vorgehen: 1. Symmetrieachse konstruieren Mittelsenkrechte QQ‘ 2. und an spiegeln A‘ und 14 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 6. Aufgabe Die Schnittpunkte des Kreises k‘ mit der x-Achse sind bei x1 3 und x2 7 B k‘ Bemerkungen: 1. Mittelpunkt des Kreises konstruieren 1a. Zwei beliebige Sehnen (hier z.B AB) einzeichnen 1b. Die beiden Mittelsenkrechten der beiden Sehnen schneiden sich immer im Kreismittelpunkt 2. Punktspiegelung an M‘ 3. Übertragen der Kreislinie mit dem Zirkel k‘ 15 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 7. Aufgabe P‘‘‘‘ hat die Koordinate (2/0) Vorgehen: 1. Zu gleichschenkligem Trapez ergänzen D‘ 2. P‘: Kreis um mit Radius DP schneidet den Strahl von durch in P‘ 3. P‘ P‘‘: Kreis um mit Radius CP‘ schneidet den Strahl von P‘ durch in P‘‘ 4. P‘‘ P‘‘‘: Kreis um mit Radius BP‘‘ schneidet den Strahl von P‘‘ durch in P‘‘‘ 5. P‘‘‘ P‘‘‘‘: Kreis um mit Radius AP‘‘‘ schneidet den Strahl von P‘‘‘ durch in P‘‘‘‘ 16 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 8. Aufgabe Strecke ST: S(-1/5), T(-5/1) Drehzentrum Z: Z(-4/4) Kreismittelpunkt K: K(-6/5), Kreisradius: 1.5 Einheiten Verschiebungspfeil k‘ k‘‘ v Verschiebungspfeil Farbliche Unterstützung a) Übertrage das Gegebene ins Koordinatensystem. Drehe nun den Kreis sowie die Strecke ST um -90 um Z. b) Verschiebe nun den Kreis k‘, das Drehzentrum sowie die Strecke S‘T‘ in der Richtung und der Länge des gegebenen Verschiebungspfeils v. c) Konstruiere die Strecken AB mit Mittelpunkt Z. soll dabei auf dem Kreis k‘‘ und auf der Strecke S‘‘T‘‘ liegen 17 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 9. Aufgabe a) Winkelhalbierende zwischen der Gerade und der verlängerten Strecke AB. Es gibt zwei Symmetrieachsen (W1 W2) b) Die Urbildpunkte und müssen nun an beiden Symmetrieachsen gespiegelt werden W1 S W2 S 18 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 10. Aufgabe Das Viereck ABCD wurde zuerst gespiegelt und anschliessend um einen Winkel um den Punkt A‘ (A‘‘) gedreht, woraus die Bildfigur A‘‘B‘‘C‘‘D‘‘ entstanden ist. Konstruiere ABCD, das Bild ABCD‘ und gib den Drehwinkel an! Die Punkte und des Original-Vierecks sind gegeben. Konstruktionsbeschreibung 1. Mittelsenkrechte AA‘ Symmetrieachse 2. Senkrechte zu durch in 3. Kreis um mit r(PD) in D‘ 4. Winkel AD‘ und AD‘‘ Drehwinkel um A‘ 5. C‘‘ und B‘‘ mit Winkel (-) um A‘ Drehen C‘ und B‘ 6. C‘ und B‘ spiegeln an und 7. Punkte zu Vierecken ergänzen 19 Lektion 8 Kongruenzabbildungen Lösungen der Prüfungsaufgaben der vergangenen Jahre 11. Aufgabe (GYM 2012) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) a) A‘(1/5) B‘(-3/3) C‘(-1/0) b) 20 Lektion 8 Kongruenzabbildungen 12. Aufgabe (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) a) b) Bemerkungen: Achtung, immer rechtwinklig an Symmetrieachse spiegeln. Deshalb müssen Banden verlängert werden. 21 Lektion 8 Kongruenzabbildungen