Arbeitsblatt: Theorie Pyramide

Die gerade Pyramide Definition Mit dem Begriff „Pyramide bringen wir sofort die Pyramiden von Giseh (bei Kairo, Ägypten) als eines der sieben Weltwunder der Antike in Verbindung. Die Form der Pyramiden ist dabei typisch: Eine eckige Grundfläche und Seitenkanten, die auf eine Spitze zulaufen. Unter diesen Pyramiden gibt es die „geraden Pyramiden, auch senkrechte Pyramiden genannt. Als Definition gilt: Als gerade Pyramide kommen nur Körper in Frage, deren Grundfläche einen eindeutigen Mittelpunkt (bei Dreiecken: Schwerpunkt) haben. Die Pyramidenspitze steht dabei immer senkrecht über diesem Mittelpunkt. Bei geraden Pyramiden sind zudem alle Seitenkanten gleich lang. Bezeichnung bei der geraden Pyramide Eigenschaften der geraden Pyramide Wie oben angetönt hat die gerade Pyramide einige speziellen Eigenschaften: Die Grundfläche ist ein Dreieck, ein Viereck oder ein regelmässiges n-Eck Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche Die Seitenflächen sind ausschliesslich Dreiecke. Zusammen bilden sie den Mantel der Pyramide Alle Seitenkanten laufen in der Spitze zusammen und sind gleich lang. Spezielle Pyramiden In der untenstehenden Übersicht finden sich mehrere gerade Pyramiden. Die Form ihrer Grundfläche führt zur Bezeichnung der Pyramide. Gerade, vierseitige Pyramide (nicht regelmässig, weil die Grundfläche ein Rechteck ist, also nicht gleich lange Seiten hat) Regelmässige vierseitige Pyramide (auch quadratische Pyramide genannt). Regelmässige dreiseitige Pyramide Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck Schiefe Pyramiden (dies sind also keine geraden Pyramiden, weil die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundseite liegt.) Das Volumen der geraden Pyramide Das Volumen eines beliebigen Körpers, also auch das Volumen einer Pyramide kann durch verschiedene Methoden bestimmt werden: Messen des verdrängten Wassers (Überlaufverfahren) Wasser in Pyramide einfüllen Durch Zerlegung eines Würfels Durch Zerlegung eines Würfels in schiefe Pyramiden Hier wollen wird die oben festgehaltene Formel zur Berechnung des Volumens der Pyramide mittels Würfelzerlegung nachweisen: Durch die eingezeichnete Zerlegung können wir aus einem Würfel genau 6 gleichgrosse quadratische Pyramiden erzeugen. Alle sechs entsprechen der rot und dick eingezeichneten Pyramide ABCDS. Die Grundfläche des Würfels ist dabei auch die Grundfläche der Pyramide, also GWürfel GPyramide a2 Die Höhe der Pyramide ist genau die Hälfte der Würfelhöhe, also hPyramide 2 Das Netz einer geraden Pyramide Bevor wir die Oberfläche bestimmen, zeichnen wir einmal ein Netz einer quadratischen Pyramide. Wir erkennen dabei die Grundfläche (hier zweimal in Form eines Quadrates) und den Mantel (er wird aus den dreieckigen Seitenflächen gebildet (in unserem Fall sind alle vier Seitendreiecke kongruent) Damit wir das Netz einer Pyramide zeichnen können, brauchen wir neben der Grundkantenlänge (oder der Grundkantenlängen bei einer nicht quadratischen Grundfläche) entweder die Länge der Seitenkante oder die Höhe der Seitenfläche. Bei geraden Pyramiden sind die Seitenflächen immer gleichschenklige Dreiecke, lassen sich also relativ einfach zeichnen. Für Berechnungen und Konstruktionen braucht man häufig die Pyramidenhöhe. Pyramidenhöhe und Seitenflächenhöhe (zusammen mit Teilstrecken der Grundfläche) können mit Pythagoras berechnet werden. Zur Konstruktion der Pyramidenhöhe aus einem Pyramidennetz ist ebenfalls ein solches rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. Die Berechnung der Höhe einer Seitenfläche mit Pythagoras funktioniert so: Variante 1 (mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks MPS) In diesem Dreieck ist PS die Hypotenuse und so gilt: PS hSeitenfläche MP 2 MS 2 MP2 h 2 Variante 2 (Bei bekannter Seitenkante BS mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks BRS, RMitte von AB) In diesem Dreieck ist PS die Hypotenuse und so gilt: RS hSeitenfläche BS 2 -RB 2 Die Oberfläche einer geraden Pyramide Die Oberfläche der Pyramide besteht – wie beim Netz ersichtlich – aus zwei Bestandteilen: Der Grundfläche und der Mantelfläche. Also heisst die Formel für die Oberflächenberechnung bei allen Pyramiden (auch bei schiefen Pyramiden) gleich: Bei der Berechnung der Mantelfläche muss darauf geachtet werden, ob alle Seitendreiecke gleich sind oder eben nicht – dann muss jede „Art von Dreiecken mit Hilfe von Seitendreieckshöhe (siehe dazu unter 6.6, also direkt vor diesem Abschnitt) und Grundseite berechnet werden. Für die Berechnung der Dreiecksfläche gilt noch immer ADreieck gh Grundseite HöheSeitendreieck 2 2 Der Mantel ist die Summe von allen einzelnen Seitendreiecksflächen (Formel für jedes einzelne anweden) Oberfläche Grundfläche Mantel oder S GM