Arbeitsblatt: Kurzgymanasium

Name: Geometrie-Dossier 4 – Prisma und Pyramide (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 2) Inhalt: Prisma: Definition, Eigenschaften von geraden (senkrechten) Prismen Das Netz des Prismas Berechnen von Oberfläche, Mantel und Volumen von Prismen Pyramide: Definition, Eigenschaften von geraden (senkrechten) Pyramiden Das Netz der Pyramide Berechnen von Volumen, Mantel und Oberfläche von Pyramiden Online findest du dieses und andere Dossiers unter www.andiraez.ch/schule Verwendung: Dieses Geometriedossier orientiert sich am Unterricht und liefert eine Theorie-Zusammenfassung. Bei Konstruktionen sind natürlich viele Wege möglich, hier wurde als Musterlösung jeweils ein möglichst einfacher Weg gewählt. einfache Aufgaben sind mit einem schwierigere Aufgaben sind mit einem gekennzeichnet gekennzeichnet. Die Aufgaben müssen in der Freizeit (oder in der Hausaufgabenstunde) gelöst werden. Sie können jederzeit zur Kontrolle abgegeben werden, die Lösungen können aber auch selbständig verglichen werden. Fragen dürfen natürlich auch immer gestellt werden. Achtung: Konstruktionen unbedingt mit Zirkel, Massstab, gespitztem Bleistift durchführen. Feine Striche verwenden! Konstruktionen: Lösungen rot (weitere Lösungen in ähnlichen Farben, orange, gelb, etc.) Skizzen: Gegebenes GRÜN, Gesuchtes ROT. Rest Bleistift oder schwarzer Fineliner. Sichtbarkeit: In Raumbildern alle nicht sichtbare Kanten gestrichelt darstellen Was sind Prismen? – Formvergleiche Bereits im Dossier 1-4 (Körper und ihr Aufbau) haben wir die Form und die Eigenschaften von Prismen besprochen. An dieser Stelle wird das Wichtigste kurz repetiert. Formvergleiche Was genau unterscheidet das Prisma von den uns etwas „geläufigeren Würfeln oder Quadern? Würfel: Quader Prisma Natürlich sehen wir relativ schnell, dass sich das Prisma von den beiden anderen Körpern durch seine Form unterscheidet. Seine Grund- und Deckfläche sind nicht rechteckig (wobei man der Vollständigkeit halber sagen muss, dass auch alle Quader und Würfel als Prismen bezeichnet werden können, aber nicht umgekehrt). Nicht alle Prismen haben gleich viele Flächen, je nach Form der Grundfläche. So gibt es z.B. dreiseitige Prismen, aber auch vier-, fünf- oder zehnseitige Prismen. Sehen wir uns das Prisma (für den Anfang beschäftigen wir uns mit dem senkrechten Prisma) einmal genauer an: Das senkrechte, dreiseitige Prisma: Der Begriff „senkrechtes, dreiseitiges Prisma beinhaltet zwei Teilbegriffe: 1. Das senkrechte Prisma (was bedeutet, dass alle Seitenflächen senkrecht auf der Grundseite stehen) 2. Das dreiseitige Prisma (was bedeutet, dass das Prisma ein Dreieck als Grundseite aufweist). Ein solches senkrechtes, dreiseitiges Prisma entsteht zum Beispiel dann, wenn man einen Quader diagonal zerschneidet. Die einzelnen Teile werden wie folgt definiert: Deckfläche DEF Seitenkante (AD, BE, CF) Höhe Seitenfläche z.B. BCEF Grundkante (AB, BC, AC Grundfläche ABC Besondere Eigenschaften des Prismas: Grund- und Deckfläche sind parallele und kongruente Figuren (hier Dreiecke, darum dreiseitiges Prisma) Alle Seitenflächen sind Rechtecke (oder Quadrate). Zusammen bilden die Seitenflächen den Mantel des Prismas Die Seitenkanten sind zueinander parallel. Hier stehen sie sogar senkrecht auf der Grund- und Deckfläche (darum senkrechtes Prisma) Das berühmteste Prisma der Welt heiss übrigens „Toblerone (zumindest die Verpackung ist ein Prisma) Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 2 Benennen von Prismen – Senkrechte und Schiefe Prismen Senkrechte Prismen (oder auch „gerade Prismen) Wie oben angetönt, sind nicht alle Prismen auch senkrechte Prismen. Nur dann, wenn die Seitenflächen (und entsprechend auch die Seitenkanten) senkrecht auf der Grundseite (und damit auch auf der Deckseite) stehen, spricht man von einem senkrechten Prisma. DF DF alle Seitenflächen (Seitenkanten) stehen senkrecht zur Grundfläche und sind rechteckig (oder quadratisch) Senkrechte Prismen GF GF Schiefe Prismen Alle anderen Prismen heissen schiefe Prismen. Sie erfüllen zwar viele Bedingungen an ein Prisma (Grundund Deckseite sind kongruent, alle Seitenflächen sind Parallelogramme), alle Seitenkanten sind zueinander parallel, aber die Seitenflächen stehen eben nicht senkrecht auf der Grundfläche. DF GF DF Grund- und Deckfläche sind kongruent, alle Seitenflächen sind Parallelogramme. Alle Seitenkanten sind parallel, aber nicht senkrecht auf der Grundfläche. Schiefe Prismen GF Prismennamen Wie auch schon erwähnt, werden Prismen auf Grund der Form ihrer Grundfläche benannt. Denn die Grundfläche bestimmt, wie viele Seitenflächen ein Prisma aufweist. Entsprechend werden Prismen denn auch mit „-seitig bezeichnet. (Natürlich hat die Deckfläche die genau gleiche Form wie die Grundfläche) Also: Eine dreieckige Grundfläche erzeugt ein dreiseitiges Prisma Eine viereckige Grundfläche ergibt ein vierseitiges Prisma Eine fünfeckige Grundfläche ergibt ein fünfseitiges Prisma und so weiter Kurz: Eine n-eckige Grundfläche ergibt ein n-seitiges Prisma. Die Prismen haben somit kombinierte Namen: Dreiseitiges gerades Prisma: Dreieckige Grundfläche, alle Seitenflächen sind senkrecht zur Grundfläche. Fünfseitiges schiefes Prisma: Fünfeckige Grundfläche, Seitenflächen NICHT senkrecht zur Grundfläche. Zudem: Jeder Würfel ist gleichzeitig Quader und Prisma, jeder Quader ist gleichzeitig ein Prisma. Denn alle Bedingungen an ein Prisma werden von Quader und Würfel erfüllt. (aber nicht umgekehrt) Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 3 Das Netz von Prismen Auch bei den Prismen verstehen wir das Netz als „Bastelbogen. Entsprechend müssen wir also jede einzelne Fläche in ihrer wahren Grösse (also die richtigen Masse, nicht die verkürzten, welche beim Raumbild z.T. verwendet werden). Wir brauchen also eine Grundseite, eine gleich grosse Deckfläche und eine Anzahl Seitenflächen (je nach Form der Grundfläche). Als Beispiel nehmen wir ein dreiseitiges, senkrechtes Prisma (mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche ABC) Raumbild: Prismennetz: DF GF Die Seitenflächen bilden den „Mantel des Prismas (Mantelfläche) Beim Beschriften muss man vorstellen, das Netz wieder „zusammenzubauen, also den Bastelbogen so richtig „aufzufalten. Dann findet man auch die entsprechenden Ecken. Im Raumbild kann man zudem schauen, welche Kanten durch welche Punkte verlaufen. Wenn man z.B. den Punkt kennt, können die durch laufenden Kanten nur eine von zwei Möglichkeiten sein: AD oder AB. Entweder bewegt man sich also in der Grundfläche ( AB) oder man geht der Höhe entlang in die Deckfläche hinauf ( AD) Beschriften von Prismen und ihren Netzen: 1. Beschrifte die folgenden Prismennetze (Grundseite ABC, Deckseite DEF). Markiere die Mantelfläche. a) b) Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 4 2. Vervollständige die Beschriftung im Raumbild und im Netz, markiere den Mantel: a) C A c) D E F Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 5 Einzeichnen von Schnittflächen in Quadern, Prismen und deren Netz. Wir haben das Einzeichnen von Schnittflächen in Quadern oben geübt. Jetzt wollen wir zusätzlich auch Prismen zerschneiden und diese Schnittkanten auch im Prismennetz einzeichnen. Die Grundidee ist genauso, wie damals beim Quader. Erinnerst du dich noch? 1. Alle Beschriftungen vervollständigen (Netz und Raumbild) 2. Die Punkte der Schnittebene einzeln ins Netz übertragen (Achtung, einzelne Punkte könnten mehrmals vorkommen) 3. Für jede Schnittkante überlegen: a. In welcher Fläche verläuft sie (Grundfläche, Deckfläche, Seitenfläche links, rechts, hinten, vorne, .) b. Diese Fläche im Netz bestimmen und die entsprechende Schnittkante ausschliesslich in dieser Fläche einzeichnen. Zusatzinformationen – nicht im Lehrmittel enthalten Beispiel: In diesem Beispiel sieht man deutlich, wie die Schnittkanten im Netz „auseinandergerissen werden. Wie aber kommt man zu diesem Netz? 1. Beschriften (hier fällt auf, dass der Punkt und der Punkt in der Grundfläche, sowie ihre „Pendants in der Deckfläche jeweils zweimal vorkommen) 2. Die Punkte P, Q, und werden einzeln ins Netz übertragen. Genau darauf achten, dass man die Punkte auf der richtigen Kante einzeichnet (z.B. auf AB, auf AC, auf DE und auf DF). Genau messen, damit die Abstände stimmen. Achtung, manche Kanten kommen mehrfach vor Punkte mehrfach einzeichnen. 3. Anschliessend bestimmen, in welcher Fläche die Schnittkanten verlaufen: PS verläuft in der Grundfläche. Somit muss auch im Netz die Strecke PS in der Grundfläche liegen RS verläuft in der hinteren Fläche DFAC. Entsprechend wird sie im Netz eingezeichnet. RQ liegt in der Deckfläche. Somit zeichnen wir sie im Netz auch in der Deckfläche DFE ein. QP verläuft in der vorderen Fläche ABED. Darum liegt sie auch im Netz in der entsprechenden Fläche. Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 6 Schnittkanten und Schnittflächen einzeichnen: Zusatzinformationen – nicht im Lehrmittel enthalten 1. Zeichne die Schnittfläche, welche durch QR und geht, im Netz und im Raumbild ein. 2. Zeichne die Schnittfläche, welche und geht und senkrecht auf der Grundfläche steht, im Netz und im Raumbild ein. 3. Zeichne die Schnittfläche, welche durch P, und geht im Raumbild und im Netz ein. (P, Q, sind Kantenmitten) Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 7 Berechnungen von Volumen, Oberfläche und Mantelfläche von Prismen Grundüberlegung Wie besprochen, setzt sich ein Prisma aus der Grundfläche, der Deckfläche und einer Anzahl Seitenflächen (Mantel) zusammen. Dies entspricht auch der Überlegung, welche wir bei Quadern schon ausführlich besprochen haben. Für die Berechnung der Oberfläche (das ist „das, was man anmalen kann) brauchen wir also die Grösse der Grund- und Deckfläche, sowie die Grösse der Mantelfläche. Die Berechnung der Mantelfläche eines Prismas Mantelfläche: B ah bh ch (abc) Umfang Höhe Für alle Prismen gültig: Mantel UmfangGrundfläche Höhe Muh (abc) Die Berechnung der Oberfläche eines Prismas Wie schon immer ist die Oberfläche eines Körpers all das, was bemalt werden kann (oder was nass wird, wenn man es in einen Wassertopf wirft). Die Oberfläche ist also die Fläche des Körpernetzes. B Oberfläche: C Grundfläche Deckfläche Mantel weil Deckfläche Grundfläche Für alle Prismen gültig: Oberfläche 2 Grundfläche Mantel S2GM 2 u Die Berechnung des Volumens eines Prismas Das Prismenvolumen berechnet sich nach der gleichen Überlegung, wie das Volumen des Quaders. Wenn man das blaue „Grundseitendreieck so viele Male wie möglich aufeinanderlegt, macht es das Volumen aus. Zur Erinnerung: Das Volumen eines Quaders wurde berechnet als Länge Breite Höhe Grundfläche Höhe Wie wir wissen, ist jeder Quader auch ein Prisma. Also gilt auch für das Prisma: Für alle Prismen gültig: Volumen Grundfläche Höhe VGh Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 8 Berechnungen in Prismen, Quadern und Schnittkörpern: 1. Berechne im dreiseitigen, senkrechten Prisma ABCDEF: a) b) c) d) e) AB 5 cm 18 cm 26 cm 13 cm 5s BC 4 cm 12 cm 13 cm AC 2 cm 8 cm 10 cm 12 cm 12 cm 950 cm2 2s 7s 10 cm 1728cm2 500 cm2 98s2 Berechnungen: 2. Berechne die fehlenden Grössen im senkrechten dreiseitigen Prisma ABCDEF (ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck) a) b) c) d) e) AB 5 cm 5 cm 8 cm 6 cm 10t BC 14 cm 32 cm 6 cm 8 cm 8 cm 240cm2 192 cm2 15t 16cm 6t M 280 cm2 500 cm2 640 cm3 600 t2 480 cm3 Berechnungen: 3. Berechne: a) Das Volumen des Hauses b) Das Volumen des Dachraumes (Der Dachgibel bildet einen rechten Winkel) c) Die Höhe des Kellergeschosses, wenn dieser einen Fünftel des Hausvolumens ausmacht. 6m 21 h 10 Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide.docx A.Räz Seite 9 4. Berechne das Volumen des abgebildeten Restkörpers Berechnungen: AB 10 cm BC 6cm AS CP CT 3cm AE 7 cm 5. Berechne das Volumen und die Oberfläche des abgebildeten Restkörpers. AB 8 cm BC 10 cm M1-M7: Kantenmitten AE 6 cm Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 10 6. Zeichne das gegebene Prisma auf Grund der drei Ansichten ins Raumbild ein. a) von vorne von rechts von oben b) von vorne von rechts von oben 7. Von einem Prisma kennst du das Raumbild. Zeichne die drei Ansichten „von oben, „von rechts und von vorne in die entsprechenden Felder ein. a) von vorne von rechts von oben b) von vorne von rechts von oben c) von vorne von rechts von oben Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 11 Die gerade Pyramide Definition Mit dem Begriff „Pyramide bringen wir sofort die Pyramiden von Giseh (bei Kairo, Ägypten) als eines der sieben Weltwunder der Antike in Verbindung. Die Form der Pyramiden ist dabei typisch: Eine eckige Grundfläche und Seitenkanten, die auf eine Spitze zulaufen. Unter diesen Pyramiden gibt es die „geraden Pyramiden, auch senkrechte Pyramiden genannt. Als Definition gilt: Als gerade Pyramide kommen nur Körper in Frage, deren Grundfläche einen eindeutigen Mittelpunkt (bei Dreiecken: Schwerpunkt) haben. Die Pyramidenspitze steht dabei immer senkrecht über diesem Mittelpunkt. Bei geraden Pyramiden sind zudem alle Seitenkanten gleich lang. Bezeichnungen bei der geraden Pyramide Spitze Seitenkante Seitenfläche (Alle Seitenflächen zusammen bilden den Mantel M) Pyramidenhöhe (kurz: Höhe): Die Höhe steht senkrecht auf Grundkante Grundfläche (Mantel und Grundfläche bilden die Oberfläche S) Eigenschaften der geraden Pyramide Wie oben angetönt hat die gerade Pyramide einige speziellen Eigenschaften: Die Grundfläche ist ein Dreieck, ein Viereck oder ein regelmässiges n-Eck Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche Die Seitenflächen sind ausschliesslich Dreiecke. Zusammen bilden sie den Mantel der Pyramide Alle Seitenkanten laufen in der Spitze zusammen und sind gleich lang. Spezielle Pyramiden In der untenstehenden Übersicht finden sich mehrere gerade Pyramiden. Die Form ihrer Grundfläche führt zur Bezeichnung der Pyramide. Gerade, vierseitige Pyramide (nicht regelmässig, weil die Grundfläche ein Rechteck ist, also nicht gleich lange Seiten hat) Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Regelmässige vierseitige Pyramide (auch quadratische Pyramide genannt). Falls können zwei solche Pyramiden zusammengesetzt werden (Es entsteht ein Körper mit acht kongruenten Flächen Oktaeder (Achtflächner)) Seite 12 Regelmässige dreiseitige Pyramide Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck (Falls besteht die Pyramide aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken und heisst Tetraeder oder Vierflächner Der Tetraeder kann irgendwie aufgestellt werden, er sieht immer gleich aus.) Schiefe Pyramiden (dies sind also keine geraden Pyramiden, weil die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundseite liegt.) Das Volumen der geraden Pyramide Das Volumen eines beliebigen Körpers, also auch das Volumen einer Pyramide kann durch verschiedene Methoden bestimmt werden: Messen des verdrängten Wassers (Überlaufverfahren) Wasser in Pyramide einfüllen Durch Zerlegung eines Würfels Durch Zerlegung eines Würfels in schiefe Pyramiden Hier wollen wird die oben festgehaltene Formel zur Berechnung des Volumens der Pyramide mittels Würfelzerlegung nachweisen: Durch die eingezeichnete Zerlegung können wir aus einem Würfel genau 6 gleichgrosse quadratische Pyramiden erzeugen. Alle sechs entsprechen der rot und dick eingezeichneten Pyramide ABCDS. Die Grundfläche des Würfels ist dabei auch die Grundfläche der Pyramide, also GWürfel GPyramide a2 Die Höhe der Pyramide ist genau die Hälfte der Würfelhöhe, also hPyramide 2 Und so gilt: a2 G VWürfel a3 h Gh VPyramide 6 6 a2 6 G 3 3 a h, also ist 2 6 3 q.e.d. Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 13 Das Netz einer geraden Pyramide Bevor wir die Oberfläche bestimmen, zeichnen wir einmal ein Netz einer quadratischen Pyramide. Wir erkennen dabei die Grundfläche (hier zweimal in Form eines Quadrates) und den Mantel (er wird aus den dreieckigen Seitenflächen gebildet (in unserem Fall sind alle vier Seitendreiecke kongruent) Seitenkantenlänge Höhe der Seitenfläche Grundkantenlänge Damit wir das Netz einer Pyramide zeichnen können, brauchen wir neben der Grundkantenlänge (oder der Grundkantenlängen bei einer nicht quadratischen Grundfläche) entweder die Länge der Seitenkante oder die Höhe der Seitenfläche. Bei geraden Pyramiden sind die Seitenflächen immer gleichschenklige Dreiecke, lassen sich also relativ einfach zeichnen. Für Berechnungen und Konstruktionen braucht man häufig die Pyramidenhöhe. Pyramidenhöhe und Seitenflächenhöhe (zusammen mit Teilstrecken der Grundfläche) können mit Pythagoras berechnet werden. Zur Konstruktion der Pyramidenhöhe aus einem Pyramidennetz ist ebenfalls ein solches rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. Die Berechnung der Höhe einer Seitenfläche mit Pythagoras funktioniert so: Variante 1 (mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks MPS) In diesem Dreieck ist PS die Hypotenuse und so gilt: PS hSeitenfläche MP2 MS2 MP2 h2 Variante 2 (Bei bekannter Seitenkante BS mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks BRS, RMitte von AB) In diesem Dreieck ist RS Kathete und so gilt: RS hSeitenfläche BS2 RB2 Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 14 Die Oberfläche einer geraden Pyramide Die Oberfläche der Pyramide besteht – wie beim Netz ersichtlich – aus zwei Bestandteilen: Der Grundfläche und der Mantelfläche. Also heisst die Formel für die Oberflächenberechnung bei allen Pyramiden (auch bei schiefen Pyramiden) gleich: Bei der Berechnung der Mantelfläche muss darauf geachtet werden, ob alle Seitendreiecke gleich sind oder eben nicht – dann muss jede „Art von Dreiecken mit Hilfe von Seitendreieckshöhe (siehe dazu unter 6.6, also direkt vor diesem Abschnitt) und Grundseite berechnet werden. Für die Berechnung der Dreiecksfläche gilt noch immer g•h ADreieck 2 Grundseite • HöheSeitendreieck 2 Der Mantel ist die Summe von allen einzelnen Seitendreiecksflächen (Formel für jedes einzelne anwenden) Oberfläche Grundfläche Mantel oder SGM Aufgaben Die gerade Pyramide: 1. Berechne die fehlenden Grössen in einer geraden Pyramide (Die Grundfläche ist rechteckig oder quadratisch) AB BC a) 3.5 cm 3.2 cm 6cm b) 34 cm 12 cm c) 25 dm f) 3468 cm3 1606.5 dm3 9 dm d) e) 1046.448 m3 ( AB) 4.3 3d 4e 9f 24a 6a 1152a3 2. Gegeben ist eine quadratische, gerade Pyramide mit AB BC 4cm und 5cm. Berechne Volumen und Oberfläche dieser Pyramide. Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 15 3. Gegeben ist eine quadratische, gerade Pyramide mit einer Grundfläche von 46.24cm 2 und einer Oberfläche 122.4cm2. Berechne die Höhe und das Volumen dieser Pyramide. 4. Berechne den Oberflächeninhalt eines Tetraeders mit Kantenlänge 10cm. 5. Einem Würfel mit Kantenlänge 10cm ist eine Pyramide wie abgebildet eingeschrieben. Berechne Volumen und Oberfläche dieser Pyramide. Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 16 6. Einem Würfel mit Kantenlänge werden auf allen Seitenflächen gleich grosse quadratische gerade Pyramiden aufgesetzt. Dadurch vergrössert sich das Volumen des Würfels um drei Viertel des ursprünglichen Volumens. Berechne die Höhe der aufgesetzten Pyramiden (Arbeite mit einer Gleichung). 7. Zeichne die Pyramide auf Grund der drei Ansichten ins Raumbild ein. a. von vorne von rechts von oben b. von vorne von rechts von oben 8. Von einer Pyramide kennst du das Raumbild. Zeichne die drei Ansichten „von oben, „von rechts und von vorne in die entsprechenden Felder ein. a. von vorne von rechts von oben b. von vorne von rechts von oben Geometrie-Dossier 2-4-Prisma und Pyramide A.Räz Seite 17