Arbeitsblatt: Theorie / Einführung Bruchrechnen

Mathematik Arithmetik und Algebra Bruchzahlen 2. BRUCHZAHLEN 2.1. Gewinnung der Bruchzahlen Eine Bruchzahl bezeichnet: Ein Teilstück eines Ganzen 1:4 1 4 mehrere Teilstücke eines Ganzen 1:4•3 Teilstücke von mehreren Ganzen 3:4 3 4 3 4 3 4 3 4 Den Quotienten zweier natürlichen Zahlen 3 4 a:4 4 3 3:b a a:b 3:4 2.2. Begriffe 3 ― 4 ― Der eines Bruches gibt an, wie viele gleiche Teile genommen werden. Der eines Bruches gibt an, in wie viele Teile geteilt wurde. 2.2.1. echter Bruch Ein echter Bruch stellt eine Zahl dar, die kleiner als 1 ist. Das heisst der Zähler ist 3 7 3 kleiner als der Nenner (Zähler Nenner). z. B. , 4 9 5 2.2.2. unechter Bruch Ein unechter Bruch stellt eine Zahl dar, die 1 oder grösser als 1 ist. Das heisst, der 7 9 Zähler ist mindestens so gross wie der Nenner (Zähler Nenner). z. B. , 4 9 5 Unechte Brüche sind entweder natürliche oder gemischte Zahlen. 5 Seite 1 Mathematik Arithmetik und Algebra Bruchzahlen 2.2.3. gemischte Zahl Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürliche Zahl und einem Bruch. Sie kann in 3 7 1 10 2 12 einen unechten Bruch umgewandelt werden. z. B. 1 1 2 4 4 9 9 5 5 2.2.4. Scheinbruch Ein Scheinbruch scheint nur ein Bruch zu sein. Er stellt eine natürliche Zahl dar: 4 18 15 1) ( 2) ( 3 4 9 5 2.2.5. Dezimalbruch Unter Dezimalbruch versteht man einen Bruch, der mit Komma geschrieben wird. z.B. 0.5, 4.75, 8.825 2.3. Bruchteile von Grössen Wenn man eine Strecke der Länge 20 cm in vier gleiche Abschnitte teilt, entstehen Bruchstücke von 5 cm. 1 Man sagt deshalb auch: 5 cm von 20 cm 4 2.4. Erweitern und kürzen Durch erweitern und kürzen kann man Brüche verändern, oder dass sich der Wert des Bruches verändert. Die Brüche sind gleichwertig (äquivalent) erweitern 3 ― 4 kürzen 6 ― 8 Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Kürzen heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl . Beispiele: 1. Erweitere folgenden Brüche mit 5: 3 a) 5 11 b) 15 4 c) 6 7 d) 9 2. Kürze die folgenden Brüche soweit als möglich: 34 a) 51 125 b) 225 21 36 c) 7 99 12 15 120 215 d) 55 48 360 Seite 2 Mathematik Arithmetik und Algebra Bruchzahlen 2.5. Vergleich zwischen Bruchzahlen 2.5.1. Brüche mit gleichem Nenner 3 4 Wir vergleichen mit 5 5 3 4 Es gilt: 5 5 Der Bruch mit dem kleineren Zähler stellt die kleinere Bruchzahl dar. 2.5.2. Brüche mit gleichem Zähler 2 2 Wir vergleichen mit 3 5 2 2 Es gilt: 3 5 Der Bruch mit dem kleineren Nenner stellt die grössere Bruchzahl dar. 2.5.3. Brüche mit verschiedenen Nennern und Zählern 3 4 Wir vergleichen mit 5 7 Damit man diese Brüche vergleichen kann, müssen sie zuerst auf einen gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert werden. Dies nennt man gleichnamig machen. Der Hauptnenner ist das kgV der einzelnen Nennern. 3 4 mit Wir vergleichen 5 7 1. kgV von 5 und 7 bestimmen. Dies kgV (5, 7) 35 ergibt den Hauptnenner. 3 37 21 2. Beide Brüche auf den 5 57 35 Hauptnenner erweitern: 4 4 5 20 7 7 5 35 21 20 3 4 3. Die Brüche haben jetzt gleiche weil , gilt 35 35 5 7 Nenner und können verglichen werden (siehe Kapt. 2.5.1.) Seite 3 Mathematik Arithmetik und Algebra Bruchzahlen 2.6. Addition und Subtraktion von Brüchen und gemischten Zahlen 2.6.1. Addition von Brüchen Beispiel: 31 17 56 14 Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden. 31 68 56 56 Dann können die Zähler addiert werden. Der Nenner bleibt dabei erhalten. 31 68 99 56 56 Am Schluss werden unechte Brüche in gemischte Zahlen umgewandelt und allenfalls gekürzt. 99 43 1 56 56 2.6.2. Subtraktion von Brüchen Beispiel: 71 17 56 14 Damit Brüche subtrahiert werden können, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden 71 68 56 56 Dann können die Zähler subtrahiert werden. Der Nenner bleibt dabei erhalten. 71 68 3 56 56 Am Schluss werden unechte Brüche in gemischte Zahlen umgewandelt und allenfalls gekürzt. 2.6.3. Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen 1 3 1 4 14 3 4 6 Beispiel: 6 Damit gemischte Zahlen addiert oder subtrahiert werden können, müssen sie zuerst in unechte Brüche verwandelt werden. 19 19 85 3 4 6 Dann werden die Brüche gleichnamig gemacht. 76 57 170 12 12 12 Jetzt werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt dabei erhalten. 76 57 170 189 12 12 Am Schluss werden unechte Brüche in gemischte Zahlen umgewandelt und allenfalls gekürzt. 189 9 3 15 15 12 12 4 Seite 4 Mathematik Arithmetik und Algebra Bruchzahlen 2.7. Multiplikation und Division von Brüchen und gemischten Zahlen 2.7.1. Multiplikation von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert. 28 6 28 6 4 2 8 Beispiel: 45 7 45 7 15 15 Wenn möglich sollte vor dem Multiplizieren gekürzt werden! 2.7.1.1. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch Die ganze Zahl wird zum Zähler des Bruches multipliziert. 3 7 3 7 3 21 5 Beispiel: 7 2 8 1 8 8 8 8 2.7.1.2. Multiplikation gemischter Zahlen Gemischte Zahlen werden in unechte Brüche umgewandelt und dann multipliziert. 3 1 27 10 9 5 9 5 45 1 Beispiel: 6 3 22 4 3 4 3 2 1 2 2 2 2.7.2. Division von Brüchen Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert (Zähler und Nenner werden vertauscht) des zweiten Bruches multipliziert. 3 5 3 8 3 8 24 Beispiel: 7 8 7 5 7 5 35 2.7.2.1. Division ganzer oder gemischter Zahlen Ganze oder gemischte Zahlen werden in unechte Brüche umgewandelt und dann dividiert. 3 27 5 27 1 27 1 27 7 Beispiel: 6 :5 : 1 4 4 1 4 5 4 5 20 20 Seite 5