Arbeitsblatt: Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Teilbarkeit natürlicher Zahlen 1. Seite 1 Teiler einer Zahl Bleibt beim Dividieren einer Zahl durch eine Zahl (a b) kein Rest, ist also für eine natürliche Zahl : * so nennen wir ein Vielfaches von oder einen Teiler von Wir sagen auch Beispiel: ist teilbar durch oder teilt a. a) Ist 288 teilbar durch 16 b) Ist 328 teilbar durch 23 In Beispiel a) ist nicht nur 16, sondern gleichzeitig auch 18 ein Teiler von 288. Ist eine Zahl als Produkt geschrieben, so ist jeder Faktor ein Teiler der Zahl. Dies kann uns helfen, alle Teiler einer Zahl, z.B. von 20 zu finden. Wir schreiben 20 auf alle möglichen Arten als Produkt zweier Faktoren. Die Zahlen 1, 2, 4, 5, 10, 20 sind die Teiler von 20. 2. Teilbarkeitsregeln (Endstellenregeln) Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 5, wenn sie die Einerziffer 0 oder 5 hat, durch 2, wenn sie die Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 hat, durch 4, wenn die aus den zwei letzten Ziffern gebildete Zahl eine 4er Zahl ist, durch 8, wenn die aus den drei letzten Ziffern gebildete Zahl eine 8er Zahl ist. Beispiel: 4638 ist teilbar durch 2, weil die Einerziffer 8 gerade ist; 4 ist kein Teiler von 4638, weil 38 keine 4er Zahl ist. Ist bei einer Summe (Differenz - b) sowohl als auch teilbar durch eine Zahl c, dann ist auch die Summe (Differenz - b) durch teilbar. Ist dagegen nur eine der beiden Zahlen und teilbar durch c, die andere aber nicht, dann ist die Summe (die Differenz - b) nicht teilbar durch c. Teilbarkeit natürlicher Zahlen 3. Seite 2 Teilbarkeitsregeln Quersummenregeln Eine Zahl ist genau dann durch 3 (durch 9) teilbar, wenn ihre Quersumme eine 3er Zahl (eine 9er Zahl) ist. Beispiel: 415 782 7257 4. Quersumme Quersumme 4 1 5 7 8 2 27 teilbar durch 3 und 9 7 2 5 7 21 teilbar durch 3, nicht durch 9 Teilbarkeit von Summen Eine Summe ist genau dann teilbar durch die Zahl c, wenn die Summe der Reste, welche und bei der Division durch lassen, durch teilbar ist. Beispiele: Ist 3497 1743 teilbar durch 5 Der 5er Rest des ersten Summanden ist 2, des zweiten Summanden 3. Die Summe der Reste ist 5; also ist 3497 1743 eine 5er Zahl. Ist 5376 4382 teilbar durch 4 Der Rest des ersten Summanden ist 0 des zweiten Summanden ist 2. Die Summe der Reste ist 2; also keine 4er Zahl. 5376 4382 ist nicht teilbar durch 4 5. Primzahlen Zahlen (grösser als 1), die nur zwei Teiler haben, kann man nicht in ein Produkt aus kleineren Zahlen zerlegen. Sie heissen deshalb unzerlegbare Zahlen oder Primzahlen. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13,. sind Primzahlen 4, 6, 8, 9, 10,. sind zerlegbare Zahlen; 4 2 2; 6 3 2 Teilbarkeit natürlicher Zahlen 6. Seite 3 Primfaktordarstellung Jede natürliche Zahl (grösser als 1) ist entweder eine Primzahl oder lässt sich aus Primzahlen durch Multiplizieren herstellen. Die dazu notwendigen Primfaktoren sind eindeutig bestimmt, zu der Zahl gehören ganz bestimmte Primfaktoren. Beispiel: 124 2 62 2 2 31 1575 3 525 3 3 175 3 3 5 *35 3 3 5 *5 *7 Die Zahl 1406 hat die Primfaktordarstellung 1406 2 19 37. Aus ihr können wir nun alle Teiler von 1406 ablesen; 1, 2, 19, 37, 2 37, 19 37, 1406. Mit Hilfe der Primfaktordarstellung einer Zahl kann man also leicht deren Teiler finden.