Arbeitsblatt: Kantivorbereitung SG Mathematik - Kopfgeometrie

AP Kantonsschule St. Gallen Dossier 05 Kopfgeometrie Claudio Jung MB1 LU5, 6, 9, 13, 21, 28 MB2 LU2, 11, 22 Analyse der Prüfungsaufgaben Jahr Anzahl Aufgaben ohne TR Anteil an Gesamtpunktzahl ohne TR Anzahl Aufgaben mit TR Anteil an Gesamtpunktzahl ohne TR 2017 1 3/43 (7%) 1 3/32 (9%) 2018 0 0/41 (0%) 0 0/38 (0%) 2019 0 0/53 (0%) 0 0/46 (0%) Körper Würfel Quader Quadratisch Besteht aus Rechtecken 6 Seiten, 12 Kanten Gegenüberliegende Rechtecke sind kongruent Prisma Kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche Seitenflächen sind Rechtecke Würfel und Quader sind spezielle Prismen Körpernetze bestehen aus: Allen Flächen des Körpers, die so angeordnet und zusammengefügt sind, dass sich daraus durch Falten der Körper bilden lässt entstehen durch abrollen und aufschneiden (Hier zwei Würfelnetze) Körperansichten Aufriss Seitenriss Jeder Körper kann aus verschiedenen Richtungen betrachtet werden Mit folgenden Ansichten werden Körper dargestellt: von oben: Grundriss von vorne: Aufriss von rechts: Seitenriss Kanten im Inneren werden fettgezeichnet Grundriss Unsichtbare Kanten sind gestrichelt Schnitte Winkel im Raum Winkel im Raum täuschen oftmals einen falschen Sachverhalt vor. Gleichschenkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck ist 90, da mindestens eine Dreiecksseite parallel zu einer Würfelkante Gleichseitiges Dreieck eine andere Seite des Dreiecks liegt auf der Würfelfläche. 2 Dossier 05 Kopfgeometrie Übungsaufgaben ohne Taschenrechnter NI Repetition NIIfordernd NIII schwierig 1. Aufgabe (Lsg. S.15) NII Ein Tetraeder, dessen Flächen sich im Muster unterscheiden, wird wie unten abgebildet sechs Mal gekippt. Die vierte Fläche des Tetraeders ist schwarz. Hilfe: Verwende Zahlen oder Buchstaben, damit du die aufwändigen Muster nicht jedes Mal zeichnen musst! a) Zeichne alle Zwischenstationen richtig ein. b) Welche Fläche liegt am Schluss unten? 3 Dossier 05 Kopfgeometrie NII 2. Aufgabe (Lsg. 16) Unten ist das Raumbild eines Körpers abgebildet. a) Skizziere die Risse des unten abgebildeten Körpers! Aufriss Seitenriss Grundriss Der ursprüngliche Holzwürfel, aus welchem diese Figur gefertigt wurde, hatte Seitenlängen von 8 cm. b) Wie viel Prozent des Holzwürfels sind übrig? c) Wie gross ist das Volumen des neuen Körpers in cm3 und m3 4 Dossier 05 Kopfgeometrie NI 3. Aufgabe (Lsg. 17) Die Augensumme zweier gegenüberliegender Würfelseiten beträgt immer 7. Der abgebildete Würfel wird entlang des eingezeichneten Weges gekippt. a) Wie viele Male muss der Würfel gekippt werden, bis die Augenzahl „5 unten liegt? b) Trage in jedes Feld die Punkte ein, welche jeweils unten liegen. Du darfst dabei auch Zahlen statt Augen in die Würfellaschen schreiben. Die genaue Position von Zahlen oder Augen innerhalb der Würfelfläche muss nicht beachtet werden. c) Nach 3 Kippungen erreicht der Würfel Feld 3 (umrandet). Nun kippst du den Würfel weiter in der vorgegebenen Richtung. Welche Augenzahl liegt unten, wenn der Würfel ein zweites Mal das umrandete Feld erreicht? 1. Mal umrandetes Feld 2. Mal umrandetes Feld 4. Aufgabe (Lsg. 17) NII Ergänze die Würfel so, dass das Würfelnetz für alle stimmt. 5 Dossier 05 Kopfgeometrie NI 5. Aufgabe (Lsg. 18) Nachfolgend ist das Netz sowie das Schrägbild eines Quaders ABCDEFGH abgebildet. M1, M2, M3, M4 und M5 sind Kantenmittelpunkte a) Welche Ecken fallen aufeinander? Ergänze die Bezeichnungen im Netz! M2 M4 M1 M3 M5 A b) Übertrage den Streckenzug aus dem Netz ins Schrägbild 6 Dossier 05 Kopfgeometrie NII 6. Aufgabe (Lsg. 19) Komplettiere die Ansichten! Dreidimensional Von vorne Von rechts Von oben 7 Dossier 05 Kopfgeometrie NII 7. Aufgabe (Lsg. S. 20) Zeichne alle rechten Winkel in die Dreiecke ein! 8. Aufgabe (Lsg. S. 20) NIII Welche Eigenschaften haben die in den Würfeln eingezeichneten Flächen (1-8)? Die Punkte auf den Seiten sind deren Mittelpunkte. Mögliche Eigenschaften: Form, spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig, ungleichseitig 8 Dossier 05 Kopfgeometrie 9. Aufgabe (GYM 2010) (Lsg. 21) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) NII Von einem Würfelkörper bestehend aus 6 Würfeln kennst du folgende Ansichten: von vorne: von rechts: von oben: Skizziere die dreidimensionale Ansicht des Körpers in den Punkteraster 9 Dossier 05 Kopfgeometrie 10. Aufgabe (Lsg. S. 21) NII a) Übertrage die Linien ins Netz. Die Kanten werden von den Linien jeweils halbiert. b) Vervollständige den Würfel und das Netz! Die Kanten werden von den Linien jeweils halbiert. 10 Dossier 05 Kopfgeometrie 11. Aufgabe (GYM 2011) (Lsg. 22) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) NIII Kippe den Körper gedanklich nach rechts. Skizziere die Ansichten des gekippten Körpers von rechts, von vorne und von oben. (1 Häuschen entspricht 1 cm) von rechts von vorne von oben 11 Dossier 05 Kopfgeometrie 12. Aufgabe (GYM 2012) (Lsg. 22) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) NII Der links abgebildete Würfel wird einmal nach hinten und zweimal nach rechts gekippt. Zeichne die fehlenden Symbole in den beiden unten stehenden Würfelnetzen in das jeweils richtige Feld ein. Die Lösung muss klar ersichtlich sein. 12 Dossier 05 Kopfgeometrie 13. Aufgabe (GYM 2010) (Lsg. 22) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) NII NIII Der Würfel mit dem eingezeichneten (auf der Würfeloberfläche verlaufenden) Streckenzug liegt auf einem Tisch und wird zweimal nach links gekippt (siehe Figur). a) Zeichne die neue Lage des Streckenzugs in den rechts stehenden Würfel ein. NII b) Derselbe Würfel wie in Teilaufgabe ist in zwei verschiedenen Lagen dargestellt NIII (siehe Figur). Ergänze den unvollständigen Streckenzug. 13 Dossier 05 Kopfgeometrie Prüfungsaufgaben der letzten Jahre ohne Taschenrechner 14. Aufgabe (KS SG 2017) (Lsg. S.23) (Quelle: ksbg.ch Mathematik 1/ Aufgabe 7) NI a) Markiere die punktierte Fläche im Würfelnetz. b) Markiere die punktierte Fläche im Würfelnetz. c) Markiere die punktierte Fläche im Würfel. 14 Dossier 05 Kopfgeometrie Prüfungsaufgaben der letzten Jahre mit Taschenrechner NII 15. Aufgabe (KS SG 2017) (Lsg. S.23) (Quelle: ksbg.ch Mathematik 2/ Aufgabe 9bc) Gegeben ist folgender Quader aus Holz. Der Quader wird nun in rote Farbe getaucht und 16 cm anschliessend in Würfelchen mit 2 cm Kantenlänge 12 cm zerschnitten. 30 cm a) Wie viele Holzwürfelchen entstehen? b) Bei wie vielen Würfelchen ist genau eine Seite rot bemalt? Lösungen der Übungsaufgaben 1. Aufgabe a) b) Die blaue Fläche ist am Schluss unsichtbar von oben. Sie ist folglich unten 15 Dossier 05 Kopfgeometrie 2. Aufgabe Aufriss Seitenriss Grundriss Der ursprüngliche Holzwürfel, aus welchem diese Figur gefertigt wurde, hatte Seitenlängen von 8 cm. b) Bis auf vier halbe Würfelchen wurde die Hälfte weggeschnitten. Von insgesamt 64 (43) Würfelchen bleiben also 34 übrig. Dies entspricht 34 64 was 53.1 ausmacht. c) Jedes Würfelchen hat ein Volumen von 8 cm3 (2 2 2). 34 Würfelchen entsprechen also 34 8 cm3 272 cm3 272 cm3 0.272dm3 0.000272m3 Das Würfelvolumen beträgt 272 cm3 oder 0.000272 m3 16 Dossier 05 Kopfgeometrie 3. Aufgabe a) 6 Mal, gegenüberliegende Zahlen ergeben immer die Summe 7 (16) (25) (34) b) siehe Bild c) 1. Mal Feld 3 2. Mal Feld 3 4. Aufgabe 17 Dossier 05 Kopfgeometrie 5. Aufgabe a) M2 M4 M1 M3 M5 A b) M2 M1 M4 M5 M3 18 Dossier 05 Kopfgeometrie 6. Aufgabe Dreidimensional Von vorne Von rechts Von oben 19 Dossier 05 Kopfgeometrie 7. Aufgabe (Lsg. S. 11) rechter Winkel Voraussetzungen: die Katheten müssen auf Seitenflächen verlaufen mindestens eine Kathete muss parallel zu einer Würfelkante verlaufen 8. Aufgabe (Lsg. S. 11) 1. gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck 5. Quadrat 2. Quadrat 6. kein Viereck zwei rechtwinklige Dreiecke 3. gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck 7. gleichschenkliges Trapez 4. spitzwinkliges Dreieck (nicht gleichschenklig!) 8. rechtwinkliges Trapez 20 Dossier 05 Kopfgeometrie 9. Aufgabe (GYM 2010) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) 10. Aufgabe a) b) 21 Dossier 05 Kopfgeometrie 11. Aufgabe (GYM 2012) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) von rechts von vorne von oben 12. Aufgabe (GYM 2012) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) 13. Aufgabe (GYM 2010) (Quelle: www.zentraleaufnahmepruefung.ch) a) b) 22 Dossier 05 Kopfgeometrie Lösungen der Prüfungsaufgaben der letzten Jahre 14. Aufgabe (GYM SG 2017) a) b) c) 15. Aufgabe (GYM SG 2017) a) Weg 1: Anzahl Würfelchen: Längsseite: 15, Breitseite: 6, Hochkant: 8 15 · 6 · 8 720