Arbeitsblatt: Herr Fermi und seine Fragen

HERR FERMI UND SEINE FRAGEN WAS SIND FERMIAUFGABEN? Fermiaufgaben sind offene mathematische Probleme, bei denen man nicht einfach ein Schema oder eine Formel anwenden kann. Der erste Gedanke bei Fermiaufgaben ist oft, dass man sie gar nicht berechnen kann. Durch geschickte Abklärungen oder Schätzungen sind sie jedoch lösbar. Ihren Namen tragen die Fermifragen zu Ehren des italienisch-amerikanischen Physikers, dem es wichtig war, dass seine Studenten mit ein wenig Mathematik und gesundem Alltagswissen ohne Umschweife Zahlen, Grössen und Grössenordnungen überschlagen können. Lies einige Fermifragen der Fermibox durch und notiere ein paar Ideen, die du interessant findest. SCHWERPUNKTE DER FERMIAUFGABEN Bei den Fermifragen werden ganz unterschiedliche mathematische Fähigkeiten geschult: Grössen veranschauliche Daten aus Abbildunge entnehmen Grosse Zahlen Messen Experimentieren Längen, Flächen, Volumen Zeit, Gewicht LÖSEN VON FERMIAUFGABEN Grundsatzüberlegung Berechnung en Abschliesse nde Gedanken Grundsatzüberlegungen: Worum geht es? Was will ich herausfinden? Welche Angaben braucht es für die Berechnung? Was muss ich wissen? Was weiss ich schon? Was noch nicht? Was kann ich schätzen? Was kann ich zählen oder messen? Was kann ich berechnen? Welche Annahmen kann ich treffen? Welche sind plausibel, welche nicht? Wenn du schätzen musst, frage dich: Was ist der kleinste oder grösste vernünftige Wert? Was ist eine sinnvolle Durchschnittsgrösse? (Wie ist zum Beispiel die durchschnittliche Schuhgrösse in eurer Klasse?) An welche Ausnahmen muss ich denken? Was gilt nur für eine bestimmte Zeit, an einem bestimmten Ort, für bestimmte Personen? Mit welchen kleinen Schritten kann ich mich der Lösung nähern? (z.B. überlege ich zuerst, wie viele Haare auf einem Quadratzentimeter Kopfhaut sind, dann erst denke ich an die gesamte Fläche.) Berechnungen: Rechnungen erklären und durchführen. Evtl. verschiedene Rechnungen durchführen und dabei Werte variieren. Abschliessende Gedanken Überprüfe das Ergebnis: Ist es sinnvoll und verständlich? Erscheint es eher zu gross oder zu klein? Was könnte man verändern? Was passiert, wenn ich grössere oder kleinere Werte nehme? Was wäre unter anderen Annahmen herausgekommen? Kann man das Resultat irgendwie überprüfen? Was hat man bei der Berechnung nicht beachtet (kritisch hinterfragen)? Wie kann man sich das Resultat besser vorstellen (umrechnen, Vergleich mit Bekanntem (z.B. Wie viele Swimmingpools wären das? Wie viele Lastwagen könnte man damit füllen? Wie oft wäre das mein Schulweg? Wie viele Elefanten wären das?) Welche weiteren Berechnungen zu diesem Thema könnte man machen? Zurück zum Titelbild. Auch diese Aufgaben kann man lösen: Man könnte annehmen, dass sich das Gewicht proportional zur Länge verhält. Dazu braucht man die Länge der Mutter. Das kleine Flusspferd misst auf der Zeichnung cm, was 1.20m entspricht. Man kann nun die Länge des Muttertiers abmessen und im gleichen Massstab vergrössern. Als Info braucht man, welches Volumen ein Ballon und das Klassenzimmer haben. Des Weiteren muss man sich Gedanken machen, ob die Luftballone den ganzen Platz ausfüllen können? Was macht man mit den Lücken zwischen den Ballonen? Man muss versuchen, die Anzahl Fenster abzuschätzen. Das heisst, Fenster pro Stockwerk schätzen und mit der Stockwerkzahl multiplizieren. Danach kann man sich auf Erfahrungswerte berufen, wie lange man ca. hat, bis man ein Fenster geputzt hat. Auch einbeziehen sollte man, dass die Fenster mit einem Kran geputzt werden, der für das Verschieben auch Zeit braucht. MESSEN – SCHÄTZEN – ÜBERSCHLAGEN Wenn dir bei einem Problem Informationen fehlen, kannst du überlegen: Gibt es Informationen, die man durch Messen erhält? Gibt es Informationen, die man durch Schätzen erhält? Gibt es Informationen, die man durch Rechnen und Überschlagen erhält? Oft kannst du mehrere dieser Strategien anwenden und kommst dann besser weiter. Beispiel „tropfender Wasserhahn Wie viel Wasser verliert man durch einen tropfenden Wasserhahn pro Tag? Janina geht das Problem durch Messen an: Sie lässt den Wasserhahn tropfen und fängt das Wasser in einem Trinkbecher auf. In 10 Minuten ist der Becher voll – er hat ein Volumen von 0,2 Liter. Dann rechnet sie: Nach 50 Minuten hat sie einen Liter. Ein Tag hat 24 60 Minuten, also 1 440 Minuten, das sind rund 1500 Minuten. Also rechnet sie 1 500 50 und kommt auf etwa 30 Liter am Tag. Martin probiert es mit Schätzen: Er stellt sich einen Tropfen vor – der hat einen Durchmesser von etwa Millimetern. Ein Liter ist ein Würfel mit Kantenlänge dm ( 100 mm). Wie viele Tropfen passen da hinein? Je Tropfen passen in die Breite, in die Höhe und in die Tiefe – also Tropfen. Eher mehr, weil ein Tropfen ja kleiner ist als ein Würfel. Martin nimmt an, dass 10 000 Tropfen einem Liter entsprechen. Ob am Tag 100 Liter Wasser „zusammentropfen? Nun rechnet er: In 100 Liter Wasser sind etwa Tropfen. Wie viele Sekunden hat ein Tag? Sekunden. Dann müssten jede Sekunde 1 000 000 86 400, also etwa 1 000 000 100 000 10 Tropfen durch den Wasserhahn gehen. Das scheint ihm ein sehr stark tropfender Hahn zu sein! Also sind es doch eher 10 Liter pro Tag ungefähr. Übrigens: Die beiden runden zwischendurch immer wieder, weil sie wissen, dass sie nur einen groben Wert benötigen und ihre ersten Schätzungen schon unsicher sind. Überlegungen zum Messen, Schätzen und Überschlagen Den Massstab ermitteln: Wie gross ist der Kaktus in Wirklichkeit? Im Vergleich zu dem Mann daneben kannst du seine Höhe ungefähr abschätzen. Hier ist der Mann die „Messlatte. Ein erwachsener Mann ist durchschnittlich 180 cm gross. Wievielmal so gross ist der Mann im Bild in Wirklichkeit? Wievielmal so hoch ist dann der Kaktus? Welchen Massstab könnt ihr dann unter die Abbildung schreiben? In der Zeichnung ist der Kaktus cm hoch. In Wirklichkeit ist er 100-mal so gross. Wie gross ist der Kaktus also wirklich? Klein und gross: Was passiert, wenn ? Oft ist es so: Wenn eine Tüte Gummibärchen 2.30 Fr. kosten, dann kosten 2 Tüten 4.60 Fr., eben das Doppelte. Dieses einfache Rezept passt aber nicht immer. Wenn du eine Postkarte oder ein Quadrat nimmst und alle Seiten verdoppelst, was passiert dann mit dem Flächeninhalt? Verdoppeln der Länge Der Flächeninhalt wird so gross! Wenn du einen Quader/Würfel nimmst und alle Kantenlängen verdoppelst, was passiert dann mit der Oberfläche? Verdoppeln der Kantenlänge Der Oberflächeninhalt wird so gross! Und wie ist das mit dem Volumen und mit dem Gewicht? Verdoppeln der Kantenlängen Das Volumen wird so gross, und der Körper wird so schwer. MUSTERBEISPIEL (NICHT EIN SEHR ORIGINELLES) Frage: Wie viele Lektionen Mathematik habe ich in meinem Leben schon gehabt? Grundsatzüberlegungen: Annahmen: 1. 2. Schuljahr: 5 Lektionen pro Woche 3. 4. Schuljahr: 4 Lektionen pro Woche 5. 6. Schuljahr: 5 Lektionen pro Woche 7. 8. Schuljahr: 5 Lektionen pro Woche 9. Schuljahr: 4 Lektionen 2 Lektionen Wahlfach 6 Lektionen pro Woche Schulwochen pro Jahr: 52 Wochen Ferien: 13 Wochen Ausfälle: ca. 15 Lektionen pro Jahr fallen aus für Sporttage, Exkursionen, Krankheit etc. Berechnungen: 1. Schuljahr 2. Schuljahr 3. Schuljahr 4. Schuljahr 5. Schuljahr 6. Schuljahr 7. Schuljahr 8. Schuljahr 9. Schuljahr Total: Abschliessende Gedanken: Man kann das Resultat nun noch vergleichen: Habe ich mehr Zeit im Mathematikunterricht oder auf der Toilette verbracht? auf die Rechnung wird hier verzichtet! ;-) Wie viel Prozent meines Lebens habe ich im Mathematikunterricht verbracht? Die Ausfälle konnten nicht genau angegeben werden. Hat man in den Mathematiklektionen auch wirklich nur Mathematik gemacht? Oder fielen einige Minuten pro Lektion für administrative Dinge (Elternbriefe) aus? Habe ich in den Lektionen auch wirklich immer zugehört gearbeitet? Zählen die Hausaufgaben auch? Hat man in anderen Fächern nicht auch integrierte Mathematik z.B. Zeitberechnungen oder Wechselkursberechnungen in der Geographie oder die Finanzen beim Pausenkiosk? Weiterführungen: Wie viele Lektionen bin ich schon in der Schule gewesen? ANTWORTEN BEURTEILEN UND VERGLEICHEN Wenn du die Lösung einer Fermi-Aufgabe beurteilen möchtest oder verbessern willst, können dir folgende Fragen weiterhelfen: Wie bin ich oder ist jemand anders bei der Lösung vorgegangen? Was finde ich bei diesem Vorgehen sinnvoll, was nicht? Welche Annahmen wurden getroffen? Welche Annahmen finde ich sinnvoll, welche nicht? Wurde ein Umstand oder ein Aspekt vergessen? Gelten die Annahmen immer, oder gibt es Einschränkungen? Wie genau ist das Ergebnis? Würde ich anders rechnen oder schätzen? Finde ich vielleicht Rechenfehler? Wurden die richtigen Vergleichsgrössen herangezogen? (Ist zum Beispiel die gesuchte Grösse so gross wie ein Blatt Papier, ein Fussballplatz, ein Reiskorn?) Gibt es bessere Vergleichsgrössen? BEISPIELE VON FERMIAUFGABEN Um wie viele Tage wird mein Leben kürzer, wenn ich die Fernsehzeit abziehe? Wie viele Quadratmeter Bart rasiert ein Mann in seinem Leben? Wie viele Menschen können auf einem Fussballplatz nebeneinanderstehen? Wie viele Menschen stecken in einem zehn Kilometer langen Stau? Wie viele Grashalme wachsen auf einem Fussballplatz? Alle Menschen der Welt bilden eine Kette. Wie oft lässt sich die Kette um die Erde „wickeln? Wie viele km schreibt ein Schüler in seiner Schullaufbahn? Wie viel km Klopapier verbraucht eine Person pro Jahr? Wenn die Sonne eine Orange wäre, wie gross ist dann die Erde und in welchem Abstand kreist sie um sie herum? Wie viele Meter misst ein Würfel, der die gesamte Wassermenge enthält, die pro Person und Jahr durch die Toilette gespült wird. Wie viele Schneeflocken benötigt man, um einen 120 cm grossen Schneemann zu bauen? Welche Schuhgrösse hat dieser Riesenschuh? AUFTRAG Löse zwei unterschiedliche Fermiaufgaben (s. oben oder Fermibox) auf Zusatzblätter. Bearbeite die Aufgabe, indem du die Grundsatzüberlegungen notierst, die Berechnungen durchführst und dir abschliessende Gedanken machst. Nimm eine Aufgabe, die dir zu Beginn unlösbar scheint. Dort wird es dann viele Möglichkeiten geben, dein mathematisches Wissen unter Beweis zu stellen.