Arbeitsblatt: Algebra

Lösungen ALGEBRA DATENANALYSE Operationen, Gleichungen, Funktionen 1. Auflage 2016 Dezember 2016 – hep verlag 1 GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN 1. Zahlenmengen und Terme Lösungen zu Übungen 1 1. Z natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen reelle Zahlen 0 {0; 1; 2; .; 101; .} {.; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; .} 5 19 1 0.34; 13; . 7 11 2 negative, ganze Zahlen positive, rationale Zahlen und Null 2 3; 11; .} {1; 2; 3; .} 2 203 0.4007; . 0; 3 11 { 3; ; e; .} \Q irrationale Zahlen 2. Grafik 3. Falls eine Quadratzahl ist, so ist 4. rational: Der Dezimalbruch ist endlich oder periodisch unendlich. irrational: Der Dezimalbruch ist nicht periodisch endlich unendlich. 5. a) Z R b) c) Q R d) N; R f) g) h) 9 10 b) c) 5 4 d) 97 8 7 3 f) 4 9 3 11 b) 71 33 c) 2 7 d) 2806 275 427 135 f) 7 13 e) 6. a) e) 7. a) e) rational. 26 25 Q R 8. a) {2; 4; 6; 8; .} b) {1; 3; 5; 7; .} c) {5; 10; 15; .} d) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} abed c richtig d) falsch h) richtig Lösungen zu Übungen 2 9. 10. a) 11. a) e) Richtig: (1); (2) bd eca falsch b) falsch b) c) falsch f) richtig g) richtig 4; 1] L {3; 2; 1} b) [2; 2] L {2; 1; 0; 1; 2} 2; 2[ L {1; 0; 1} d) 4; [ L {4; 5; 6; .} a, falls 0 Abstand vom Nullpunkt: a a, falls 0 12. 13. a) c) 14. a) e) 15. a) 4 b) 4 c) 4 d) 20 4 f) 1 g) 1 h) 1 6 b) 5 hep verlag 2016 1. Zahlenmengen und Terme: Lösungen 2 16. a) c) und haben das gleiche Vorzeichen b) 0 b a für alle a, d) und haben unterschiedliche Vorzeichen c) {4} d) {1} c) 0 d) 0 17. a) {4; 4} b) {} e) {1; 9} f) {1; 7} {} b) {7; 7} 5 2 f) {1} 18. a) e) 65.000 mm Z 65.015 mm 64.945 mm K 64.960 mm 19. a) max( Z K 0.07 mm (b) Lösungen zu Übungen 3 20. Richtig: (1); (2); (4) 21. a) Produkt b) Potenz c) Summe d) Differenz e) Quotient f) Differenz g) Potenz h) Quotient i) Differenz Differenz, 12 b) Produkt, 100 c) Produkt, 125 d) Produkt, 125 e) Quotient, 5 f) Summe, 40 g) Summe, 65 h) Produkt, 68 i) Differenz, 185 22. a) 23. a) b) c) 33 3 3 333 33 3 3 1; 2; 3; 4 33 5; 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3 3) 6 3 3 7 3 3 8 3 3 3 3 9 3 3 10 3 3 3 3 44 4 4 444 44 4 1; 2; 3 4 4 (4 4) 4 5; 44 4 4 4 4 44 4 4 44 4 4 6 4 4 7 4444 8 4 4 9 10 4 4 4 4 4! 4! 4 44 4 44 44 11 12 4 13 4! 4 4 4 14 4 15 4 4 4 4 444 4 4 44 44 4 16 4 4 17 20 4 18 4! 4 19 4 4 4 4 4 24. 2 4 8 8 16 2 1: 1 1 2 4 2 25. (a; b) (6; 4) 32; 4; 9; 9 4 9 9 (a; b) (3; 2) 11; 25; 2 4 26. a) (3) 0 T (2) 15 b) (2) 34 T (1) 16 (1; 1; 2) 8 d) (1; 1; 2) 32 27. a) (2; 1) 2 T (1; 2) 3 b) 1 (2; 1) T (6; 3) ist nicht definiert 2 28. ( x) 24 3 S x) 70 2 V (2) 192 V (0.5) 3 S (2) 280 S (0.5) 17.5 29. (a; b) 60a 2b S (a; b) 36a 2 82ab V (1; 2) 120 V (0.5; 1) 15 S (1; 2) 200 S (0.5; 1) 50 c) hep verlag 2016 4 4 (a; b) (2; 3) 7; 1; 3 9 Grundlagen und Grundoperationen: Lösungen 3 Lösungen zu Übungen 4 30. a) 4 2 Polynom 4. Grades; a4 1 a3 0 a2 1 a1 a0 0 b) 2 2 : Polynom 2. Grades; a2 1 a1 2 a0 0 c) 1 5 1 3 1 1 : Polynom 5. Grades; a5 a3 a4 a2 a1 a0 0 2 2 2 2 d) 3 2 2 2 Polynom 3. Grades; a3 1 a2 1 a1 2 a0 2 e) 5 2 3x 2 Polynom 2. Grades; a2 5 a1 3 a0 2 f) 31. a) d) kein Polynom 3 62 32. a) 1 1 3 1 2 1 1 4 3 2 c) 5 4 3 2 b) e) 14 c) f) 50 97648 b) 2x2 d) 5 4 4 3 3x 2 2 1 b) 0, 3, 6, 9; 297; 2997 c) 1, 2, 4, 8; 299 2999 b) 0, 3, 9, 21, 45 c) 2, 1, 2, 1, 2 97655 Lösungen zu Übungen 5 1 1 1 1 1 , ; 3 5 7 199 1999 33. a) 1, 34. a) 1, 3, 7,15,31 35. a) 1, 3, 6,10,15, 21, 28, 36, 45,55 b) 36. a) b) 37. a) Das n-te Dreieck setzt sich aus Spalten zusammen, deren Anzahl Punkte den natürlichen Zahlen entspricht. Quadrat, Zeichnung 1, 4, 9,16, 25,36, 49, 64, 81,100 n(n 1) n c) d b) n Rechteck, Zeichnung b) 38. a) an n2 n(n 1) n 2 Addiert man zum Dreifachen einer Dreieckszahl die nächstkleinere, so erhält man die 2n-te Dreieckszahl. 3n(n 1) (n 1)n 2n(2n 1) 3n n1 2n . 2 2 2 Addiert man zum Dreifachen einer Dreieckszahl die nächstgrössere, so erhält man die (2n1)-te Dreieckszahl. 3n(n 1) (n 1)(n 2) (2n 1)(2n 2) 3 n1 2 n1 . 2 2 2 39. a) a1 1; an1 an 2 an 2n 1 c) a1 1; an1 (1)an an (1)n1 e) a1 1; an 1 an 2 3n 1 n n an 3n1 b) a1 2; an1 an 2 n n d) a1 1; an 1 an (1)n (n 1) f) a1 1; an 1 an 2n n n1 n2 40. a) 1, 1, 2,3,5,8, 13, 21, 34,55,89 b) 41. a) stimmt b) stimmt nicht c) stimmt d) stimmt hep verlag 2016 an 2n 1. Zahlenmengen und Terme: Lösungen an 2n 1 n 4 2. Grundoperationen Lösungen zu Übungen 6 4x 3y b) 50 c) 2x 6 d) 2e 3 3e 2 3 2 2 yz 2 f) 2 2 12 g) 7 2 1 ab 2 8 2 h) 2 xy 0.2 xy2 2. a) 10a b) 6a 2 c) 20b d) 10b 3 e) 19c f) 6a mn b) 3k 3 2k 2 c) x yz d) x yz x yz f) x yz 6m 5 b) 1 c) 10r 8 d) 9 p2 3 e3 2 f) 4c 4 c3 2c 2 5. a) w b) 2 w2 2 2 c) 15u d) 5 e) 22a 3 2 f) 10 w b) v3 w3 x3 3 3 c) 10 d) 5p 1 0 f) 14 g) 7 2 20 h) 5z 2 5z 3 1. a) e) 3. a) e) 4. a) e) 6. a) e) 7. a) b) T1 T2 12a 2b 22b 6 T1 T2 20a 4 6a 24 T1 T2 4x 3xy 2 18 T1 T2 6 2 4 7 xy 2 4 Lösungen zu Übungen 7 8. a) e) 9. a) e) 10. a) e) 11. a) e) 12. a) e) 13. a) e) 4a 4b b) 6c 3 c) 3 2 4 fg d) 6h 4 3h 3 10 5 f) 3 4z g) w2 1 h) 1 10 5q 5r b) 10 5q 5r c) 2 3 2 2 2 yz d) 2x 9a 3 4 12a 3 2 6ab 4 3ab 2 f) 2c 6 2c 4 2c 2 2c 6a 2 18a 30 b) 6a 2 18a 30 c) 4 3a 3 5a 2 d) 5 3a 4 5a 3 4a 3 12a 2 20a f) 2 3a 5 g) 0 h) 2 3ap 5 15a 3b b) 3a c) 2 4c d) 36d 6 11xz 2 18z f) 0 pr ps qr qs b) ac ad bc bd c) 20v 2 22vw 2w 2 d) ac ad bc bd ac ad bc bd f) ac ad bc bd 3x 2 43x 84 b) 30 2 28 yz 6 2 c) 2 8u 33 d) 2 11 pq 18q 2 m7 m5 4 2 f) 2n 4 9n 2 9 14. a) 12a 3 24a 2 2 6ab 12b 3 b) 12e3 6ef 24e2 2 12 3 c) ac ad ae bc bd be d) ac ad ae bc bd be e) 2r 2rs 2rt 2 st f) 3uw 3vw 3w 2 g) 2 2 3xy 2 xz 2 2 yz h) 4 3 3 2 xy 2 4 2 hep verlag 2016 Grundlagen und Grundoperationen: Lösungen 5 2 4ab 12b 2 8bc 2 b) 4 4a 3 4a 2 5a 2 c) 2 2 8x xy 6 2 5 6 d) 4 5 5x 4 8x 3 6 2 4 3 e) 5 2cd 4 5 f) 4rt 4ru 4st 4su c) 2 4 2 3 40 2 e) 3 6 2 11 6 15. a) 16. a) 2r 2 10r 2rs 10s 3y3 3y 2 6 b) d) ace acf ade adf bce bcf bde bdf f) 12a 4ab abc 3ac 8b 2bc 6c 24 3 2a 2 5a 6 b) x2 x2 1 c) 8 81 d) 2 24 6 f) 3q 2 8 g) 2k 3 2 1 h) 2st 19s 19t 181 140 4 110 3 4 2 2 15 b) 15 c) 2u 2 2uv 2 d) 1 e) e5 4 2e3 3e 2 4e 5 17. a) e) 18. a) 2 2ab 2 b) 2 8c 16 c) 4d 2 12de 9e 2 d) 2 2 fg 2 e) 2 6z 9 f) 9v 2 24vw 16w2 g) x2 y2 h) u2 4 i) 4 h2 b) 6 2 p3q3 6 c) y4 1 d) 2 2hk 2 f) 1 4 2 4 g) 6 0.2w 3 3 0.01w 6 h) 4 3 24 2 36 b) 3 10a 2 25a c) 2c 3 20c 2 50c d) 10 6 20 4 10 2 e) 3 3 2 4h 3 f) 3 52 7 3 h) 6 4 p5 5 4 4 p3 4 2 i) k4 k2 2 22. a) 4x3 4x 2 9x 9 b) 16a 4 625b 4 c) 2 4 4a 2 4 4 d) 81u 16 18u 8 1 23. a) 2 2 xy 2 1 b) 2 2 4 4 c) 4 2k 3 2 1 d) 2 2ab 2 4 2 8a 81 b) 4x2 1 c) 24 2 23 4 d) 4 2 2c 2 2cd 2 4 2 e) 40 f) 4 2 4h 13 g) 5n 2 10n 16 h) 123 16 2 3 4 3 3c 2 3cd 2 3 b) 3 3e 2 3e 1 c) 8 3 48 2 96 fg 2 64 3 d) 1000k 3 30k 2 e) 2 2rs 2rt 2 2st 2 f) 2 4 pq 6 pr 4q 2 12qr 9r 2 g) 2 2 2 2 2 2 h) 16 2 40 xy 8xz 25 2 10 yz 2 19. a) 20. a) 16m 2 25n 2 e) 2r i) 9z 4 1 21. a) 24. a) 25. a) 4 3 2 2 g) 15r 2 13r 2 b) 3s 2 c) 2 10 xy 4 2 27. a) 4a 52 b) 18 c) 3d 2e2 3de3 6e4 2. Grundoperationen: Lösungen 3 7q 2 15q 9 3 1 k 10 1000 26. a) hep verlag 2016 y4 1 16 4 d) 3c 2 18 6 Lösungen zu Übungen 8 28. 30. a) 29. 4 8a3 24a 2 32a 16 b) x5 15 4 90 x3 270 2 405 243 c) 64 x6 192 x5 240 4 2 160 x3 3 60 2 4 12 xy 5 6 d) x8 8x7 28x6 2 56 x5 y3 70 x4 4 56 x3 y5 28x2 y6 8xy 7 y8 31. 32. a) 1,1,1,1,. b) natürliche Zahlen: 1, 2,3, 4,. c) Dreieckszahlen: 1,3, 6,10,15,. 33. a) 1, 4,10, 20,35,56,84 b) das vierte Element jeder Zeile c) jede vierte Tetraederzahl ist ungerade. d) 1 1 13: 4 136 10 13610 20 1361015 35 136101521 56 13610152128 84 1361015212836 120 e) a1 1 an 1 an n(n 1) 2 34. teilbar ohne Rest. n(n 1)(n 2) n3 3n 2 2n 6 6 35. a) 2n b) 0 c) 36. a) 2n b) 0 c) 0 d) (1)n 2n Lösungen zu Übungen 9 37. a) 4( ) b) 2 (a 1) c) 5z 9 (5z 1) d) 9ac(5b 2) 38. a) 4a 4 3 2 ) b) 7(7 5t 4u c) v(v 4 2 w) d) 2(4 22 4) 3 2 (r 2 1) f) 33xyz( xy 2 xz 3 yz 39. a) 1(a 5) b) 1(4 ) c) 1(2b 1) d) 1(2 1) e) 1(7h 10k f) 1(33 22 ) g) 1(a1 a2 a3 h) 1( ) i) 1(2 1) 40. a) 1 a 2b) 3 b) 1 (c ) 1 4 c) 1 (5 56h 100) 50 41. a) g h)( 2) b) (5a 1)(2m 2 n) c) (ab a)( 2 2 a(a b)( b)(b 1) d) (v 2 1)( ) e) (ab c)( 3) f) (m n)( 3 ) 10 c( q) b) (a b)( 2 4) 2(a b)( 2) c) (5a 5b)(b 2 2c) 5(a b)(b 2 2c) d) (4 2 )( ) e) (e )( 2 5) (a 3)(c ) b) (a b)( ) c) x 1)( 2 2 d) (r s)(t ) e) (3x 6)( ) 3( 2)( ) f) (k 3 2 )(1 2 k 2 (k 1) 2 (k 1) 10a(b c)( ) b) 5(e 2)( 2 1) c) p 2 3 )( y) d) 2(a 5)(e ) e) (a c)( 1) f) ( 1)( ) e) 42. a) 43. a) 44. a) hep verlag 2016 Grundlagen und Grundoperationen: Lösungen 7 (c )(c ) b) 4( 3 )( 3 ) c) (5a 1)(5a 1) d) (1 e5 )(1 e5 e) (7t 3s )(7t 3s f) 6( 2 2 )( 2 2 g) geht nicht h) 3(32 1)(32 1) 46. a) p q) 2 b) geht nicht c) (2e 1) 2 d) (2 1) 2 e) (5a 3 2b) 2 f) 2(m 2)2 (m 2)2 g) 6(2 1) 2 h) 2 (r ) 2 (7a 5)( 5) b) (2e 2 ) c) (v 1)( v 1) d) (2a 2b c)( 2a 2b c) e) p 10q 1)( 10q 1) f) 4(m 2 5)(m 2 5) 48. a) (a 2)( 10) b) (a 4)( 5) c) (a 1)( 20) d) (a 2)( 10) e) (a 4)( 5) f) (a 1)( 20) g) (a 4)( 5) h) (a 4)( 5) i) (e 1)(e 2) 49. a) (e 1)(e 2) b) (b 6)(b 8) c) y 9)( 8) d) (a b)( 10b) e) (2 15)(2 30) f) (m2 2u 2 )(m2 18u 2 g) (3z 1)( 2 1) h) (k 1)( 4k 1) i) (h 5)( 2h 1) 2 x 2 1)( 1)( 1) b) 3a(a 2)( 5) c) 5e(4 h) 2 d) 2 2 (3 z) 2 e) (c 3)(c 11d f) 3( 1)(2 2) 1(h 1)( 1)( x) b) geht nicht. c) 3b3 (2b 3)(2b 3)(4b2 9) d) y 2 2 1)(2 1) e) 2b 2 (2c )(2d 1) f) p 2)(p 2)( 4)( 3) 45. a) 47. a) 50. a) 51. a) hep verlag 2016 2. Grundoperationen: Lösungen 8 3. Dividieren Lösungen zu Übungen 10 1. Richtig: (1); (2); (3) 2. a) 1 1; nicht def. 4 b) 3 0; nicht def. 4 3. a) R\{0} b) R\{3} 4. a) 1 R\ 0; 5 b) R\{ 2; 1;1} c) 2; 0; nicht def. d) 1; 0; 1 c) 1 R\ 5 d) R\{ 1;1} 5. a) 3 2g b) 3a 7d c) 6. a) c6 b) 3d 5 c) y f) 2v 5 x b) c(c 1) p( 1) f) 2z 5 2(2 5) ab 3 b) 1 1 cd 10 f) ac 5a a8 a2 b) e) 5(a 1) i) 11 2 4x3 y3 3 d) 6m 5n 9 4 d) 2k 4 2k 9 c) mn 5 d) 3(2e 1) 4 c) 4 6 d) 2 1 2 4 c) 5y 3y d) w5 w4 f) pq 2 g) b2 1 2 10 h) y2 y4 b) u c) a2 1 d) g4 6 f) 2k lm 2klm b) 1 5n 2 c) 2d 2e 2d 2e d) 3( ) 4 pq3 f) 1 12. a) 5x 2 3(2 5 y) b) x 13. a) 1 k2 b) 2c c) 8 8 xy d) 4 m 7) f) 2 5ef 2 2 3ef 2 e) 7. a) e) 8. a) e) 9. a) 10. a) e) 11. a) e) e) 1 2 2(2 ) (r ) (r 2s ( ) (r 2s t hep verlag 2016 4 5 Grundlagen und Grundoperationen: Lösungen 9 14. a) x2 x3 b) 4 xz 4x 2 c) 2a 2ax bx 15. a) 6 3c 3d b) 2( ) 2cd 2 c) 2 c 16. a) 4(a b) 2 4a 2 4b 2 b) c) (a b)( 3b) 2 2ab 3b 2 17. a) 36 3 3 b) a(a b)( c) c) 2a 2 (a 1) 2 a b) 2 b2 a2 d) 4(a 1)( 1) Lösungen zu Übungen 11 18. Falsch: (3) 19. a) yz 4 xz 6 xy ; 2 xyz 2 xyz 2 xyz b) 4c 3 d2 12c 3 2 12c 3 2 c) (e 2) (e 1)(e 2) (e2 4) (e2 4) d) 3 ; 3 3 e) x( 2 2 ) 1 x4 4y2 x4 4y2 f) 15 20 18 ; 3a 3b 3a 3b 3a 3b 21x 5 b) 5 4y c) 7z 4 d) 5 2a e) 2 f) 1 g) 3( 2) 2 h) 1 i) 0 71x 12 b) 89 55 c) 55z 192 d) 29a 15c 12 7e 4efg f) 26 pq 2q 2 12 4 b) 18 5 3 c) 3w 2 2w 4 d) 2b 74 7 45c 8 f) 2m 1 v(3v 1) 2(v 1) b) x yz x( ) c) 9s (r s)( s) d) 2a 2 2 (a 2)( 3) 14b 2 6b 10 (b 2 1)(b 2 5) f) 4 3d 36(2d e) g) h) 6(1 ) u2 6 m 2n) 2 b) 10b (2a 5b) 2 (2a 5b) c) 2 (3 ) d) e2 (e )(e ) 2k (k 4)( 5) f) 1 h(h 2)(h 13) 9 (u 7)(u 2) 2 b) c) 9 2(u 3)(u 3) d) 2 2 3 2 (2 3 (2 3 v3 f) 1 ab 20. a) 21. a) e) 22. a) e) 23. a) e) 24. a) e) 25. a) e) hep verlag 2016 3 4(q 1) 4e(3e 4 ) 3. Dividieren: Lösungen 10 26. a) c) 2 15h (h 3)( 3)( 2 4) ab 2 (a 4)( b) b) 3d 2e 1 5(d e)( e) d) 1 x 1)( 1)(z 1) c) x2 d) x c) 3 xy 5 d) 2u d) a3 2 h) 3y 4 22 2 d) d) 2 2 h) ( h) 2 Lösungen zu Übungen 12 27. Richtig: (3) 28. a) xy b) xy ey 2e f) 2 (5 ) b) 4 e) 4ef f) 3 30. a) xz b) yz c) xy e) 4e 2 25 3 4 f) 9 3 2 g) 3v 2 i) 2c 31. a) x2 2vy b) 30 c) 32. a) 3v(v 16) v4 b) p q) 3 pq c) 2d 4 u4 3u 2 f) 2a 6 ab g) 1 b) 6 c) cd 2 d) 56 xz 9y2 m2n 2o 2 p4q2 f) 10 16 34. a) g2 h2 b) 128c 2 243d 2 c) 14vy d) 56 81 2 35. a) 3 77 b) 3(2c 1) 2(a b) c) 3 d) u4 4( 4 ) (3d ) 20 f) x2 1 x2 3b 8a 2 b) e6 2(e 10) c) m n) d) x( 1) 3 (2 ) 2( 2) 1 f) ( 1) 2 5 e) 29. a) e) 33. a) e) e) 36. a) e) hep verlag 2016 1 2 4(q 1) 3 5(3x 2 2 2 2(3x 2 2 2 Grundlagen und Grundoperationen: Lösungen 2 c2d 11 a2 b2 b) 6c 2c p 2 8) 2 16 2 f) (2 ) x y) 2 38. a) 2ab b) ef 3 e) 2c 1 f) cd 4cd 37. a) e) c) 2 g 2 1) g2 d) c) ( 2 h) d) rt rt d) 0 d) vy wx (eh fg) 2 2h2 39. a) (2 )( )2 ( 2)2 ( 2) b) c c) 36 2 28 2 3 2z 40. a) vy wx b) vy c) 8 f) 5 xy 2 8 g) 2a 2 c4 h) 98023 2 41. a) 2 1 2 1 b) q 1 c) fg g d) z2 42. a) 5 2p b) 5 c) 2r d) b3 2 b3 1 f) 43. a) c2 c3 b) 1 c) 2 44. a) 5 7 b) 11 17 e) e) 45. a) b) wx 7y 2 Durch Addieren zweier benachbarter Zahlen erhält man die nächstobere. c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,. , , ,. , , ,. 2 3 4 5 2 6 12 20 30 3 12 30 60 d) Jedes Element ist die Differenz des Elements links (rechts) und oben links (rechts) Lösungen zu Übungen 13 2x 2 2x b) 2x3 1 c) 1 d) 4 b3 2 1 a3 b2 f) z3 z2 g) 2z 3 1 h) p3 2 2 1, Rest 1 b) 2 2 1, Rest 2 2a 3 2 Rest 4a d) 2 2b, Rest 2 1 48. a) 3 b) a4 49. a) 2x 2 4 c) 1 d) 1 5 2h 46. a) e) 47. a) c) hep verlag 2016 b) 1 1 3. Dividieren: Lösungen 12 hep verlag 2016 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 13 II RECHNEN MIT POTENZEN 4. Potenzieren Lösungen zu Übungen 14 1. Richtig (2); (3) 2. a) 10 2 b) 10 4 c) 101 d) 106 3. a) 10000 b) 10000 c) 10000 d) 1000 e) 1000 f) 1000 g) 100 h) 1000000 2; 4; 8; 16 b) 1; 1; 1; 1 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001 d) 1 1 1 1 ; 3 9 27 81 4. a) c) 5. a) 24 b) 33 c) 34 d) 54 6. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 7. a) 625 b) 625 c) 64 d) 64 e) 4 9 f) 4 9 g) 1 32 h) 0.03125 8. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 9. a) 6; 27; 114 b) 8; 9000; 0.1875; 2 c) 15; 10. a) a1 1; a2 4; a3 9; a4 16; a5 25 Quadratzahlen 83 2400; 0.972 d) 27 12; 60; 218 b) an n2 c) Die Anzahl Punkte der Winkel entsprechen den ungeraden Zahlen. d) Winkel e) a1 1; an1 an 2n 1 f) jedes n-te Folgeglied setzt sich aus den ersten eins bis ungeraden Zahlen zusammen. 11. a) b) b1 1; b2 8; b3 27; b4 64; b5 125; b6 216; b7 343; b8 512 Kubikzahlen c) bn n3 d) s1 1; s2 9; s3 36; s4 100; s5 225 Quadratzahlen e) 1, 3, 6, 10, 15, f) 2 (n 1) 2 n(n 1) n 4 2 2 Lösungen zu Übungen 15 12. Exponent 3 2 1 0 1 2 3 Potenz 10 3 10 2 101 10 0 10 1 10 2 10 3 Potenzwert 1000 100 10 1 1 10 1 100 1 1000 13. Richtig: (1); (2); (4) hep verlag 2016 4. Potenzieren: Lösungen 14 14. a) 9989 99.89 100 b) 1 1 1 ; ;1;10;100;1000 1000 100 10 c) 909 9.09 100 d) 9899 98.99 100 1 103 15. a) 1 104 b) 16. a) 10 4 b) 101 17. a) c) c) 10 4 d) 10 2 c) 103 d) 10 4 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 b) 1 1 1 ; 1; 4; 16; 64 64 16 4 15 16 d) 156 5 27 1000 b) 1000 27 c) 27 1000 d) 81 16 f) 16 81 g) 81 16 h) 16 81 19. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 4 20. a) 1 a4 b) 1 1 3 (3b) 27b 3 c) 3 b3 d) 1 (c ) 3 e) c f) 1 1 3 3 d g) h) 3y 4 21. a) 5y 4 b) w4 w 16v 4 2v c) 6 6 d) mn mn 22. a) 1 b) 2 5 c) 4b 2 5 d) k yk f) m5 g) 2 1 3z 3 h) 4v 3 3 eg 2 fg 2n 2 b) 3x 1 y ) 3 c) 2 ( )1 2 d) ( )1 10 4 y 1) 10000( 1) b) 10 7 c) 9.51 10 4 d) 5 10 4 e) 1.4 10 7 f) 1.2 10 8 7x 4 b) (a b) n c) 1.75k 4 0.1 3 0.2 2 d) 11 6 1 4 20 3 e) 5 3n f) p 2 2 )( ) 0 b) 6 4 6 2 2n 2 8 2 2 3n 2 3n 1 d) 2n 18. a) e) 1 d3 6 4 e) 23. a) Lösungen zu Übungen 16 24. a) 25. a) 26. a) c) hep verlag 2016 1 10 7 1 2000 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 1000 27 3 15 Lösungen zu Übungen 17 27. Falsch: (1); (4) 1018 b) 10 4 c) 0.111 d) 10 2 10 6 f) 10 3 g) 10 n 1) h) 10a1 b) (2) 2 c) 0.2 d) 1 1 17 2 2 36 f) n 8 2u 5 1 b) 3n 8 c) p18 d) 17 17 f) 11 5 32 9 b) 5 1 c) 2 . 3 d) 2 10 x4 f) 1 2n 2 b) 1 c) b d) 2k 2 f) (v w) 5 w v) 5 313 b) 3 c) 0.125 0.513 d) 25 20 f) 5n g) 7 10 h) 2 4 10 6 b) 108 c) 10 6 d) 10 1 f) 10 g) 103 h) 10 2 b) 26 c) 36 d) 3 6 f) c3 g) x6 h) 3 1 y3 m 1 b) vnk c) 4k d) 2 1 r2 e) 2n 8 f) pm5 g) ( )3m 3 h) 6 s 2) 7 b) 106 1 106 c) 106 d) 1 f) 0.000001 g) 1 106 h) 103n b) 36 c) 36 d) 1 f) a6 g) 4b 6 h) 16e4 8 g12 212 b) 1 1 12 2 2 c) 5 d) nn m3 3 f) p 1)k 28. a) e) 17 29. a) e) 30. a) e) 31. a) e) 32. a) e) 33. a) e) 34 a) e) 35. a) e) 36. a) 37. a) 2 18 (2k 1) 1 10 6 106 1012 i) 104 38. a) 2 i) 5xy 4 1 106 6 1 5 1 c3 e) 1 1 8 23 1 210 1 10 2 1 36 1 ( 2) 7 6 1 36 1 36 12 39. a) 11 8 36 e) 1 10 6 1 b5 b5 e) 1 2k 1 6 hep verlag 2016 2 4 b6 10 km m1 4. Potenzieren: Lösungen 55m 2 16 Lösungen zu Übungen 18 40. a) 157 b) 63 c) 2( xy)6 d) (6k )a e) 210 f) 20 2 g) 2(2a 2 n3 h) (22 )5 61010 i) x( xy 3 )3 4 9 3 c) (2uv)3 d) 2(uv)3 f) (5)1k h) (16 2 9 2 )34 c) 1 1 4 20 20 g) 2 x3 16 3 2y c) w2 w2 41. a) e) g) 4 1 6 3 6 3 2 2 b) n f 2 2 ) 1 a 2 0.5 4 1 24 2 1 a2n 1 f 2 )m 2 1 (2uv)3 2 (uv)3 1 (16 9 2 4 3 2 4 42. a) 25 2010 f) 2 e) i) p q 43. a) 33 b) 53 d) 3n 2 h) m3 3 4 5 2 2 3 1 33 1 4 d) b) 2x 3y 3y 2x 1 53 4 1 e) (3z )3n 1 (3z )3n f) k 1 w 2 1 w2 2k Lösungen zu Übungen 19 33 4 44. a) 26 b) x2 c) x e) 11 f) 12 g) 15 i) x 20a10 12a 9 12a 8 4a 7 b) 6 8 7 6 7 6 4 6 8 6 xy11 c) c8 8 d) 2m 2 2n 2 e) 20 2a10b5 b10 f) 5 5 x5 5 b) 4 d) 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 c) n (d 1) f) 3 x 1) 2 i) geht nicht 45. a) 46. a) c) 47. a) d) x2 h) x 2 3 1 5 2 2m 1n 2 4 2z 6 2 2 2 z6 6 (a 1) e) 8 (k 2 1)( 1)( 1) g) n y 1)( 1) hep verlag 2016 1 2 1 4 2 2 mn b) h) 3 (b c) 2 (f m )( gm) II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 1 x5 5 5 y 5 d) n (3e 1) 2 17 10 5 b) b7 e) 1 f) 1 310 49. a) 6ab 2 b) 50. a) p 2) 2 b) 48. a) 51. a) 750 1 1 6 c) 64c 2 z2 d) 96a 3 6 12n c) d) 1 20 10 2 3 4 5 6 7 ln 1 31 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 sn 1 41 42 43 44 45 46 47 1 4 3 4 3 2 n 4 3 4 3 ln 3n sn 4n 3 4 3 4 4 3 8 9 10 20 30 50 ln 3 8 3 9 310 320 330 350 sn 48 49 410 4 20 430 450 10.0 13.3 17.8 315.3 5560 1765781 geht gegen null; 5 4 3 6 4 3 7 Stadium ln 1 20 24 1 gn d) d) 0 gn c) f8 Stadium 1 b) c) sn und n gehen gegen unendlich Lösungen zu Übungen 20 1530000 b) 1530 c) 1.53 d) 0.0153 0.00000153 f) 450000 g) 0.000045 h) 23 5 10 4 b) 1.23 456 105 c) 2.71828 1011 d) 7 10 3 e) 1.2345 10 1 f) 2.71828 10 5 g) 1 10 6 h) 1.33 10 13 i) 1.7 102 52. a) e) 53. a) 54. a) 1 10 8 10 8 1 108 b) 1 108 10 8 1 108 c) 1 10 1 101 1 10 d) 1 101 10 b) 203468 103 203 106 2.0 108 55. a) 3517 103 4 106 3.5 106 56. a) 7.879 10 2 b) 3.142 10 0 3.142 c) 2.455 107 d) 5.055 10 5 57. a) 7 105 b) 1.25 107 c) 7 1010 d) 1 1014 c) 2.25 108 d) 900g f) 1.4 103 :1 e) 2.5 107 58. Das Proton ist 1833-mal schwerer als das Elektron. 59. 0.641 km2 60. a) e) 5 1012 b) 3 1013 Fehler in der Aufgabe, korrekt: 4 bis 10 Stück pro Nanoliter. 2.4 1010 6 1010 hep verlag 2016 4. Potenzieren: Lösungen 18 61. a) 1.496 108 km 62. a) 1.945 1010 km 2.260 1010 km c) b) 63250 AE c) 500 ; 18.96 Jahre b) 17.96 Stunden b) 2.5 105 m2 1.496 106 km Tag 5.361108 km Jahr 63. a) 4 106 mm 4 Nanometer 64. 1.98 1011 Liter 65. a) 1010 Nullen; 100 Nullen b) 16; 19683; 4.295 109 2.98 1017 1.0311028 2.569 1041 6.277 1057 1.966 1077 10100 c) 44 66. a) 256 7.6 10 12 33 65536 22 10100 Nullen b) 3.17 10 92 Jahre c) 2100 5100 (30 und 69 Stellen) Lösungen zu Übungen 21 67. a) 18310 b) 29110 c) 2510 d) 3710 68. a) 910 b) 1610 c) 10112 d) 1001002 69. a) 0 0 255 b) 136 0 255 c) 255 100 0 d) 86; 200 155 70. d) 64 128 256 255 a) 100 0000 1000 0000 1 0000 0000 1111 1111 b) 100 200 400 377 c) 40 80 100 FF 1023 189 567 123 a) 11 1111 1111 1011 1101 10 0011 0111 111 1011 b) 1777 275 1067 173 c) 3FF BD 237 7B 3 Stellen im Binärsystem entsprechen einer Stelle im Oktalsystem. 4 Stellen im Binärsystem entsprechen einer Stelle im Hexadezimalsystem. Es kann gruppenweise umgerechnet werden: 10 011 101 2358 oder 1001 1101 9C16 2 hep verlag 2016 3 5 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 9 19 71. a) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2 3 4 5 6 7 10 11 3 4 5 6 7 10 11 12 4 5 10 14 10 11 12 13 5 6 12 10 11 12 13 14 6 7 10 11 12 13 14 15 7 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 10 12 14 16 3 3 6 11 14 17 22 25 4 4 10 14 20 24 30 34 5 5 12 17 24 31 36 43 6 6 14 22 30 36 44 52 7 7 16 25 34 43 52 61 b) c)/d) z. B. „behalte bei 8 statt 10. hep verlag 2016 4. Potenzieren: Lösungen 20 5. Radizieren Lösungen zu Übungen 22 11 b) 100 c) 8 d) 0.1 6 2 9 3 f) c6 g) xy2 3 h) 4 b5 0 b) 2 c) 1.4 d) 3 5 x 8 8 16 4 b) 30 c) d) 9 3 e) 9 f) b2 g) 4a h) 6 mn 2 7 i) 4. a) 3 3 b) 2y 2y c) 4 d) 4abc 2 3ac uv f) 0.01y 2 9z 4 g) h) c) 4 5 5 1. a) e) 2. a) 3. a) e) z 4a 1 i) (u 2) 5 3 3 5. a) 6. a) e) 2 3 1 2 xy e) 5 3 5 2 5 2 3 b) 11 33 f) r b) 1 f) 3 2 b) 27 3 3 2 21 7 c) 5 3 2 d) u g) q3 q3 h) b c) 32 5 2 g) 36 2 6 2 9 3 81 2 9 4x d) a i) Lösungen zu Übungen 23 7. Richtig: (1) 1 1 8. a) e) 1212 11 1 4 100000000 100 9. a) e) 3 f) 1 1 d) 1000 3 10 h) 243 5 3 2 32 1 1 6 0.000001 0.1 1 144 12 b) 3 125 5 c) 4 256 4 d) 4 625 5 0.000001 0.01 f) 5 0.00032 0.2 g) 3 8 2 1 64 4 2 h) 5 100000 10 5 32 2 10. a) 1.414 b) 2.512 c) 1.259 d) 1.744 e) 1.152 f) 3.201 g) 1.957 h) 1.029 3 b) 4 c) d) 5 g) 4 11. a) y op e) 4x 3 4x i) op a1 a hep verlag 2016 3 1 f) b3 b 4 3 64 3 3 8 3 3 cr c 4 b II Rechnen mit Potenzen: Lösungen h) m2 3 m 5 2 3 2 1 21 12. a) 1 3 e) i) 6 13. a) 1 4 x 4 3 c b 5 f) 1 ( )3 4 3 y 5 4 1 5 g) 2 c) d) 5 k4 5 b) cd 2 4 1 3 a3 1 h) 3 d) 2a 4 d) 5 3 125 h) 1 2 d) 25 2 5 h) 1 10 d) d) d) 1 h) 4 2 xy 1 4 5 c) 3 2 1 e) 4 1 3 3 b) 1 2 2 4 c3d 3e3 f) 3 2 1 m3 n2 1 g) p2 q2 2 i) 3 2 v w4 c) 2 7 128 g) 1 5 c) 1 10 1 h) ( 2) 2 3 1 ( 2) 14. a) 32 9 10 i) 10 3 5 2 b) 1 10 1 e) 15. a) 2 3 1 1 2 f) 2 b) 1 2 1 5 1 2 1 1 3 1000 10 1 1 2 25 5 1 2 5 3 125 5 1 e) 25 i) 1 1 3 216 6 1 5 3 1 5 23 8 f) 32 2 b) 30 1 5 2 1 10 2 100 2 g) 32 c) c0 1 c) e7 c) m 1 1 2 1 Lösungen zu Übungen 24 1 16. a) a2 3m 2 2n e) 17. a) c4 2 2 f) b) 12 1 e) 18. a) 19. a) 6 2 19 3m n 7 4 f) 1 8 b) b) 1 2 i) n 3 v f) c) 1 4 g) pq 2 cd 1 hep verlag 2016 uw tv vw 2 pq e) ru st su 5. Radizieren: Lösungen 10 y 22 20 a) 12 1 4 b) 1 1 5 3125 5 c) 1 1 2 16 4 d) 1 2 25 5 4 e) 3y i) 2 f) 9 2 g) 3 n h) (r s) c) 9 d) 53 125 c) 1 7a d) q 1 21. a) 25 9 b) 1 1 5 2 32 r2 e) 22. a) y3 2 f) xs b) 2z 3 f) 4 3 25 1 e) 23. a) 5 5 4 2 1 4 3 6 b) 4 3 2 3 2x 2 3 y 4 c) 5 2z 5 d) 1 e) p q) 2 pq f) 2 1 g) 1 2b 2 h) 3 c) 1 d2 e) 1 x2 1 3 4 3 1 1 4 3 2 1 2 3 1 d 1) 3 1 c2 1 1 24. a) 5 1 x2 1 3 b) (e ) 6 d) 1 x5 f) 1 (a 2 b) 3 5 d) (a b) 10 (c ) 4 f) 73 7 x y) 3 8 8 c) 2b 1 y5 1 1 2 )(c 4 d 1 4) Lösungen zu Übungen 25 1 25. a) 2 4 2 4 c) 6 e) 3 26. a) e) 5 3 1 3 b b 16 4 4a hep verlag 2016 1 1 2 b) f) 4 64 8 2 2 3f 2h2 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen d) y2p1 23 27. a) e) 6 mn 2 7 b) ab 2 3 1 f) 5 q 4a b) 5 32 2 28. a) c) 4 2 2 c) 4 c) d) rs 2 t3 1 1 1 3 9 3 3 d) 3 5 3 m 1 d) 1 e) 3 64c f) 3 125 29. a) 3 32x 5 b) 4 81c 5 e) 4 v15 w5 f) 3 1 3 1 3 3 b) 23 3 c) 10 4 5 d) 53 2 e) 2 7 23 2 7 8 f) 1 1 1 3 3 9 3 3 9 g) 4 h) y2 i) 3 pq 4 pr 3 3ab3c 3 2b2c2 b) uv c) y2 900 4 z d) 3 a 1 b3 b f) 1 c) 2 1 3 3 d) c) 10 d) 0 30. a) 31. a) e) 32. a) b) k e) (u 2) 5 f) 2 3 3 2 33. a) 2 b) 12 e) 2 f) 2 34. a) 4 2 5 2 5 24 2 e) 35. a) d) 3 g) 36. a) 3 c) bmn 3 b) f) 1 b) u e) p 2) 2 p2 h) 2k 1 4 49 14 1 c) y3 d) 7 3 4 3 2 5 21 c) 2 x f) 2a b) 2 2a i) 3 2 2 9 4x 4 12 9 9 4x 5 3 2 4 ( ) 3 9 23 6 3 4 b) 2 2 d) 5 25 2 5 5 10 2 5 2 f) 22 a b b 2 e) 2 2( xy) 2 g) 3 2 2 3 3 2 hep verlag 2016 2 c5 2 5 g5 1 9 5 3 h) 5 24 5 1 1 2 5. Radizieren: Lösungen 1 2 m 1 a3 24 37. a) x 1 6 b) x e) x 3 20 f) x h) x i) 31 14 3 3 2 c) 8 b) 2 ab e) 3 2 f) g) 4 i) 4 39. a) 8 y7 17 c) 1 15 x 1 3a 1 3 a g) x 5 2 d) 6 h3 h) 3 d) 5 7 2 1 2 2m n mn 38. a) b) d) x c) 8 1 5 e) 40 4 i) 40. a) 8 5 e) 2 41. a) 5 d) 51 a3 1 40 f) 51 72 g) 8 1 5 8 p5 1 h) 12 d) 8 1 12 a6 7 b7 8 13 (x f) d 3 pq 1 y b) 6 b) 1 2 y) 3 1 2 5 1 a6 1 1 1 y 2m c) 4b 12 4 12 5 c) (c 4 3 1 e) x Lösungen zu Übungen 26 42. a) b) c) d) e) 43. a) f1 1 f50 1.259 1010 f100 3.542 1020 f 400 1.7602 1083 TR Überlauf f 400 4.347 10208 f1 2 1 f3 2 f 4 3 f5 5 f 6 8 f7 13 Fibonaccifolge n n1 n2 f8 21 f9 34 f10 55 b3 1.500 b4 1.666. b5 1.600 b6 1.625 b7 1.615384. b8 1.619047. b9 1.617647. b10 1.618181. 5 1 1.6180339887. 2 b) c) geht gegen unendlich, so geht n gegen b20 1.6180339985. b50 1.6180339887. b100 1.6180339887. hep verlag 2016 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 25 44. a) 1 2 ; 2 3 Vgl. Nr. 43. Die Folgenglieder sind die Kehrwerte: 1; b) 1 1 5 0.6180339887. 2 c) c20 0.6180339985. c50 0.6180339887. c100 0.6180339887. 45. a) b) v1 1 v2 1.41421. v3 1.55377. v4 1.59805. v5 1.611848. v6 1.616121. v7 1.617442 v8 1.617851. v9 1.617978. v10 1.618017. 5 1 1.6180339887. 2 c/d) geht gegen unendlich, so geht vn gegen 46. 1 5 1 3 2 2 47. a) 1.5; 1.4; 1.41667 c) 48. a) b) (Differenz) gegen b) 49. Bahnradius in AE 0.3871 0.723186 1 1.5237 5.201221 9.5371 19.181710 30.07 39.438065 Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto 50. a) Differenzen: 0.086; 0.014; 0.0025 1;2;2;2;2;2;2;2;2 3.644 107 2;1.5;1.66. 1 3 2 Umlaufzeit in Jahren 0.240843 0.615 1 1.880829 11.862 29.452659 84.01 164.892211 247.67 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; ; ; ;. 2 4 8 16 32 64 128 256 b) 1 an a0 1 an1 2 2 c) 1 1 1 1 1; ; ;. 4 16 64 256 d) 1 4 7 4 0.2973 (A4); l5 2 15 4 e) l8 2 f) ln 2 1 2 4 1 l0 2 4 ln 1 Zeichnung b) dn explizit: d) S1 0.631 Zeichnung hep verlag 2016 9 4 a0 1 an 1 1 4 an 4 0.8409 (A1); l2 2 0.2102 (A5); l6 2 11 4 3 4 0.5946 (A2); l3 2 0.1487 (A6); l7 2 13 4 5 4 0.4204 (A2); 0.1051 (A7); 0.0743 (A8); c) 52. a) In Metern l0 2 1.1892 (A0); l1 2 l4 2 51. a) 1 an 4 3 4( 2) 2 1 4 b) ln g) 1 2 ln 2 1 4 4 1 l0 2 4 ln 1 2 Ecke oben rechts, nein rekursiv: d1 3 4 4 2 n 1 n z. B. 3.7013 und 3.29648 5. Radizieren: Lösungen 1 2 ln 2 S7 1.96 26 6. Logarithmieren Lösungen zu Übungen 27 1. Richtig: (1) (4) 2. a) 10 103 x 3 b) 10 10; 1 c) 10 1; 0 10 10 2 x 2 d) 10 10 8 x 8 e) 10 10 1 x 1 1 x 2 h) 10 10 x 2 5 i) 10 10 2 x 2 log 1010 4 4 b) log 1010 6 6 c) log 101 log 1010 0 0 e) g) 3. a) d) 4. a) b) 10 1 10 2 lg10 3 3 1 2 1 lg10 2 3 7 3 7 f) lg 10 c) 2cm; 2cm; 4cm; 6cm c) e y f) y e0 y 0 5; 1;0;lg 50;lg 500; 3; 4; lg 500000 8; lg 0.000002; 6; 4; lg 0.002; 2; lg 0.2; 0 5. a) Zeichnung 6. a) e y 5 d) ; 1 7. a) e) 2 5 5 1 ln k b) 2cm; 3cm; 5cm; 7cm b) ; 3 e) e y b) 4 3 5 2 ln 1 k 1 3 k1 5 2 3 1 1 2 1 1 2 1 c) ln f) ln 0; nicht definiert d) 4 ln e) ln 8. a) 2 23 z 3 b) 3z 34 z 4 c) 2 2 4 z 4 d) 3z 3 3 z 3 e) 5z 5 4 z 4 f) 22 21; g) 104 101; 1 4 h) 2 2 2 3 z 6 i) 5 5 2 z 2 1 2 9. a) log 2 24 4 b) log 2 2 6 6 c) log 2 21 1 d) log 2 20 0 e) log 2 21 1 f) log 2 2 2 10. a) log 3 32 2 b) log 3 3 1 4 c) log 3 35 5 4 f) log 5 5 3 3 d) 11. a) b) 12. a) e) lg 10 1 e) ln 5 4 1 4 3 3 3 2 3 5 2;ln10;log 2 5; 3; 4; 5; log 4 1234; 6 6; 5; log 5 0.001; log 2 1 1 4; 3; log 3 2 18 10 7 b) 30 c) 20 d) 1000 70000 f) 2 g) 96 h) 9 2 hep verlag 2016 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 27 3 b) 1 c) 0 d) 2 3 f) 3 g) 1 3 h) 4 14. a) 1 4 b) 3 2 c) 2 3 d) 1 2 e) 3 2 f) 7 2 g) 1 4 h) 15. a) x3 b) x2 c) x 1 2 d) x4 e) x5 f) x 16. a) 8 b) 256 c) 1 d) x e) x2 f) x 17. a) 1 b) x0 c) x2 d) n3 f) 1 g) x h) x b) 2; , 12 13. a) e) e) x 1 2 i) x 5 2 2 3 1 3 1 9 1 4 1 4 18. a) 4; , 3 c) 101 1 , 11 11 d) \ {1}, x1 e) 15 5 ;, 2 2 f) 13 3 , 2 2 f) 1; , 2 1 h) 0; x i) 0; x 3 1 10 2 x2 6 5 3 1 10 2 1 2 2 19. a) 2.083 b) 0.4878 c) 1.000 d) 2.303 e) 10.02 f) 5.298 g) 1.917 h) nicht definiert b) log 3 log y 1 c) ln 4 ln ln (v 3) Lösungen zu Übungen 28 20. Richtig: (2) 21. a) log a log b d) log p 4 log (4 2 1) log (2 1) log (2 1) e) lg lg 5 h) log ( 1) log ( 10) hep verlag 2016 f) lg lg g) 1 ln ln ln ln i) log (a 1) log (x 4 y) log (x 4 y) 6. Logarithmieren: Lösungen 28 2 log m 3 log n b) log 5 2 log b 5 log c c) 1 y 3) log x log z 2 d) 4 ln 3 ln e) ln (a 1) (c 1) ln f) 3 log 3 2 5 log 4 6 b) 12 lg 4 lg c) 30 lg 40 lg f) 4 1 5 7 log 2 log p log b log q 3 6 3 3 22. a) 23. a) e) 2 log 2 y 4) log 2 6 d) 1 3 lg ( 2) lg 2 4 log (a c) b) 2 log (a c) 5 c) 1 1 log (c ) log (c ) 3 3 d) 1 lg (m3 2 a e) 2 lg x ) pq f) 1 1 log (h 4) log (h 2) x x g) 1 log (u 1) log u log 1 u h) 1 log v log (v 1) 2 i) 1 1 log ( 1) 2 2 c) y7 ln 5 z d) lg (v w) ab bc d) ln d) log 5 9 24. a) b) b lg c 2 lg 3 f) ln (e 1) ln(e log x b) ln 3 (k 1) log 1 f) xm m 2 ln 1 lg(10 2 b) lg( 3 10 f) cb log a (b 3) b) 5 c) log 5 2.322 b) 2.123 c) 1.431 d) 0.4653 11.29 f) 5.140 g) 4.966 h) 28.22 ln 7 ln 2 b) log 2 11 log 2 3 c) lg 3 10 1 lg 5 3 lg 5 d) log 3 log a ln ln f) lg 3c 5 lg 31. a) 3.734 10488 b) 3.487 109 c) 3.631 10297121486764 d) 1.020 10126 e) 9.231 101119 f) 5.449 102062 25. a) e) 26. a) e) 27. a) e) 28. a) ln 2a lg a p 2 4q 2 1 4 5 4 1 e4 1 a4 c) ln c) log 5 x2 x )3 3 q2 Lösungen zu Übungen 29 29. a) e) 30. a) e) hep verlag 2016 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen 29 x2 y2 x3 log 2 3 log 2 log 2 32. a) b) 8 ( ) 1 8 ( ) 2 log 2 log 2 4 2 2 33. a) 5 b) 2 (ln 4 ln 5) 0.6439 ln 2 34. a) 4.371102098959 1 b) 9.249 104053945 1 c) 1.260 106320429 1 c) d) (y 4) 2 log 2 6 log 2 (5) 2.994 1072357321 Lösungen zu Übungen 30 35. a) b) 710 5500 log 1 2820m 1013 2 Matterhorn: 576 hPa; Mont Blanc: 553 hPa; Mont Everest: 335.4 hPa; Totes Meer: 1065 hPa 0.02004pc 36. a) 4.84 37. a) 1 11.11 ; 2 11.11 ; 3 11.11 ; c) b) b) 1: 30.10%; 2: 17.61%; 3: 12.49%; 4: 9.69%; 5: 7.92%; 6: 6.70%; 7: 5.80%; 8: 5.11%; 9: 4.58% 38. pH von Magensäure 2, Coca Cola 2, hautneutrale Seife 5.5, reines Wasser 7, Meerwasser 8, Bleichmittel 12.5. 39. a) 6.3 b) 2 M1 1 40. a) 2.6 b) 4.8 hep verlag 2016 c) 9.3 6. Logarithmieren: Lösungen 30 hep verlag 2016 III Gleichungen: Lösungen 31 III GLEICHUNGEN 7. Allgemeine Einführung Lösungen zu Übungen 31 1. wahr: a); c); e) 2. wahr: a); d) 3. a) d) Paris b) 200 Rhein, Rhone e) c) z. B. CH, D, 5 4. a) b) Fehler in der Aufgabenstellung, korrekt: 2 225 Lösung: x1 15; x2 15 c) 10; 11; 12; 13; 20; 21; 22; 30; 31; 40 d) 25; 26; 27; 28 Lösungen zu Übungen 32 5. richtig: (1); (2); (4) 6. falsch: (1), (2); (3); (5) 7. a) d) 8. a) c) 9. a) 2 b) c) {4; 2.5; 0; 2} {4; 2.5} e) x4 f) {0; 2} 4 b) 2.5 5 x x 3 d) {7} 4 x x 5 b) 25 x x 2 c) x 15 15 d) 0 10 hep verlag 2016 7. Allgemeine Einführung: Lösungen 32 8. Lineare Gleichungen Lösungen zu Übungen 33 1. Falsch: (2); (3); (4) 2. a) {1} b) {1} c) {1 1} d) {0} e) {0} f) {3} g) LR h) {} {20} b) 5 4 c) {1} d) 1 8 {0} f) {2} g) {4} h) 3 L 2 4. a) {} b) {12} c) LR d) {} e) LR f) 3 L 8 3 2 b) {7; 8; 9; .} L {u 7} 3 2 3. a) e) 5. a) {2; 3; 4; .} L x c) {1; 0; 1; 2; .} L x d) {5; 6; 7; .} L y e) Z, f) {1; 2; 3; .} L {z 0} {15} b) {2} c) {22} d) {0} e) LR f) {} c) x c) { }, 6. a) 33 8 Lösungen zu Übungen 34 7. a) e) 8. a) e) 1 a, 0 b) 4b f) , {4a 2 b) bc L , c a {q}, 2 f) {m n}, x 1 , 1 1 3c 2d ,cd cd d) 2, 2 d) 1 L , 1 2 9. a) r , s s r b) e 2A 2A f f c) b 2ac c 2ab 2(a c) 2(a b) d) 360 r2 e) K 100 100 , p p f) K 100 1 100 1 1 K 0 100 K0 g) K 100 360 , 100 360 p t Kp h) K0 hep verlag 2016 100 360 K1 0 100 360 K1 t 100 360 K0 III Gleichungen: Lösungen 33 7 {6}; {}; 2 b) 5 {0}; {}; 9 c) 8 {}; {0}; 13 d) R; {}; {2} e) R; {5} f) {1}; R; 25 a 0 L {} b) 4: 0, 4: 3 a 1 L {} 1 d) 2: 10. a) 0: 11. a) c) 1 x e) 10 x 1, 10 L f) 9 0 x v9 v 9 L , 0 L {} 12. a) 2 3 x 1 k 2 L , 3 L {} 3 b) 3: w4 w 3 L {} 3 c) b x a2 a2 L ab a b d) s x , s L e) n x f) 0 5 x 2 d 2 L {} 2 b 0 L {} a 0 L 1 m 0 L , n 0 mn 5 5 0 0 L {} 5 5 0 0 L ( 5) Lösungen zu Übungen 35 13. Richtig: (1); (2); (3); (4) 11 \ {0} L 2 b) 1 \ 0 L {1} 2 c) 9 3 1 \ L 2 2 2 d) 3 \ {0; 3} L 5 e) 23 \ {3; 3} L 7 f) 9 9 27 \ L 110 2 2 g) 8 \ 3; 5, 5 h) \ {1; 0; 2} L {1} \ {2} L \ {2} b) \ {2} L {0} c) \ {1;1; 6; 7} L {13} d) 3 \ {3; 2; 1; 0} L 2 e) 4 3 \ L {2} 3 2 f) 3 12 3 \ L 4 5 2 14. a) 15. a) hep verlag 2016 8. Lineare Gleichungen: Lösungen 34 \ {4} L \ {4} b) 22 \ {4} L 5 c) \ {4} L {0} d) \ {3} L {} e) \ {0; 5} L \ {0; 5} f) \ {5; 2} L {} c) x c) y 16. a) 17. a) x e) x0 mn mn b) x 3b 4 f) x cd 3 2p ab d) x c 1 d) y 2 2 2 18. a) z 1 p2 b) zm 19. a) y m2 n2 2n b) 1 20. a) m 2E v2 b) G FG 2 r2 m1 m1 m2 m2 c) d 2 (n 1)d 2 s a1 n) a1 n(n 1) 2n d) bg bf g bg b e) R1 f) z d2 2c 2 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R1 R2 R2 R3 R( R2 R3 Q Q F mF m 2(m 1) m 1 L {} 1 21. a) x2 1 x b) xR 1 x n 2 1 n 1: {} c) 0 10 9: 10 c 9 L {} c9 d) 0 : 0 L {} 0 L \ {0} e) x0 5 4 x f) xR 0 0 2: 1 k 5 L {} k 4 L k 5 ac a 0 0 2 : {} a(b 2) 2a : Lösungen zu Übungen 36 3 R\ 1 L 1; 2 b) 3 R\ 1 L ; 1; 2 c) 5 5 R\ L 4 2 2 d) 9 R\ 2 L 2; 2 e) R\ 0 L ; 0 5; f) 1 5 1 R\ L ; 2 4 2 22. a) hep verlag 2016 III Gleichungen: Lösungen 35 23. a) 1 1 1 1 R\ L ; 5 2 2 5 b) R\ 2; 2 L ; 2 0; 2 c) R\ 4; 3 L 4; 3.3 3; d) 11 R\ 11;11 L ; 11 ;11 16 Lösungen zu Übungen 37 24. 55 13.75 4 25. 38 26. 840; 841; .; 845 27. 29; 19; .; 77 28. 84; 15 29. 27; 167 30. 94 Gäste 31. 25 Gäste 32. 1. Sorte: 29.091 kg, 2. Sorte: 50.909 kg 33. 30 kg 34. a) 16 cl b) 6.6 cl 35. 67.7 Alkohol 36. 1. Sorte: 80.3 l, 2. Sorte: 129.7 37. 145.83 38. 653.33 39. 59.1 40. 29.6 kg 41. Kupfer: 7.844 kg, Zink: 4.156 kg 42. CHF 9615.38 43. 3 .5 44. CHF 7000.– 45. 4.5 46. K1 CHF 31500. K 2 CHF 13500. 47. 27.3 cm 2 48. 100 cm b 25 cm 49. 18 cm b 5 cm 50. 20 cm 51. 18 52. 24 53. 24 Ecken 54. 1.80 55. 2.28 56. a) r b) r 57. a) 18:16:22 b) 18:32:44 c) 5 cm 6 3 3a 15 cm 8 4 12-mal. Immer nach 65.45 Minuten liegen die Zeiger wieder übereinander. 720a a 0,1, 2, 3,.;11 11 58. 45.111 km 59. 18 min 52 60. 200.3 km/h 61. nach 9 min 46 s, nach 24.429 km (32.571 km) 62. 113.6 km/h 63. 7 Uhr 51 64. 21 km/h hep verlag 2016 8. Lineare Gleichungen: Lösungen 36 9. Gleichungssysteme Lösungen zu Übungen 38 1. Richtig: (1) 2. a) linear; Grundform: 3x 0 1 2 4 10 b) nicht linear c) nicht linear d) linear; Grundform: 3. a) {(1; 1)} b) {(0; 4); (5; 8)} 4. a) {( 1; 5); (0; 0); (1; 5)} b) 5. a) 2c c 4 3 2d 5d {( 9; 0); (6; 1); (3; 2); (0; 3); (3; 4); (6; 5); (9; 6)} 3y 2 ( ; y) 2 b) 10 ( ; ) 4 Lösungen zu Übungen 39 6. Falsch: (1) 7. a) {(4; 6)} b) 5 15 2 2 c) {( 7; 4)} d) 3 2 e) {(5; 1)} f) 1 41 23 92 g) 42 60 61 61 h) {( 6; 5)} 8. a) {(2; 6)} b) {( 2; 2)} c) {( 3; 2)} d) {(1; 5)} 4 4 3 5 f) 1 1; 5 g) 5 0 2 h) {(5; 4)} {( 3; 0)} b) {(1; 6)} c) {( 115; 49)} d) 1 3; 3 {( 3; 3)} f) {( 2 2 2 )} g) {( 2 2 )} h) {( 2; 10)} e) 9. a) e) 10. a) x 2a 3a y 5 5 b) 3b 4c y 4b 3c c) x mn mn y 2 2 d) 2u ; e) 1; 1 f) b; b 11. a) 1; 0 b) ; 1 ;y c) x a y ab b d) x e) x 4m y mn 3 f) 1 1 xk yk 8 4 hep verlag 2016 III Gleichungen: Lösungen 3 4 37 Lösungen zu Übungen 40 12. a) 3 1; 11 b) 5 2; 4 c) 1 1 2 3 d) 1 1 4 5 13. a) 19 7 156 156 b) 2761 2313 2752 2752 c) {( 6; 5)} d) {( 5; 2)} d) 0.96 h) D Lösungen zu Übungen 41 14 b) 30 c) D0 e) D0 f) 11 g) D i) D0 b) a1 1 a2 2 c) a1 0 a2 8 b) 5 Dx 35 D 25 L {( 7; 5)} d) 3 Dx 6 D 14. a) 15. a) a 3 2 5 6 1 2 Lösungen zu Übungen 42 16. a) c) 1 Dx 2 D 1 L {( 2; 1)} 11 Dx 1 1 11 11 Dy L 2 3 2 3 1 3 L 2; 2 2 17. Lösungen zu Übungen 43 18. a) d) 3 3 ( ; ) 2 4 e) {} {( ; ) y 2 6} {} b) c) 3 3; 2 f) {( 14; 14)} 19. a) a 3y 5 5 5 L {} a L ( ; ) 2 2 4 b) k 2 21 9 21 9 21 L {} k L ( ; ) 5 5 5 5 9 c) 4 L {} p 4 L {( ; ) y 2 4} 20. a) 2: d) 3 L {} 2a 2 2 4a 2 y a 2 L {} a2 a2 5 5 4g y 4 4 b) 4: c) 6 } 6 L {( ; ) y 1.25 1} d) 3: e) 1 x 0 y 0 m 1 L {( ; ) y y} L {( ; ) y y} f) 0 y 0 für alle hep verlag 2016 1 3 y 3 L {} 3 3 9. Gleichungssysteme: Lösungen 38 Lösungen zu Übungen 44 {( 15; 1; 18)} b) {(18; 1; 4)} c) {( 9; 2; 16)} d) {( 40; 31; 24)} e) {( 2; 3; 2)} f) 5 2; 2; 3 22. a) 2 1 ; 2 3 2 b) 2 1 5 ; 3 6 6 23. a) a ; ; b) x 24. a) 19 4z 8 ( ; y; ) y 7 7 b) {( 0; 12; 19)} {} d) 5z 7 35 ( ; y; ) y 16 8 21. a) c) 25. a) b) 26. a) c) s rs y z 2 2 2 {} (m 8 keine Lösung; 8 unendlich viele Lösungen) 1 x 0 (m 1 unendlich viele Lösungen) {( 20; 22; 11; 12)} b) {( 12; 2; 2; 20)} {(1; 3; 2; 5)} d) {( 346; 582; 82; 12; 144)} Lösungen zu Übungen 45 27. 1345 2152 1345 2152 und ; 9 9 9 9 28. 8 13 29. 4; 12; 24 30. 6; 32; 162 31. 46 32. 29 oder 92 33. 864 468 34. 123 35. 331 36. 333 37. 159 ; 91 38. CHF 24. pro kg CHF 15. pro kg 39. Sorte 45 %: 6.25 ; Sorte 85 %: 3.75 40. 49.74 %: 73.16 41. 39 %; 78 42. CHF 12000. CHF 45000. 43. CHF 460000. 3 44. CHF 15750. CHF 15600. 45. CHF 15400. CHF 12500. 46. CHF 14400. 5 47. CHF 18300. CHF 17200. CHF 15100. 48. 2.5 %; 4 %; 4.5 49. l 50. 30 45 51. 2 cm und 9.9 cm 52. 100; 120; 140 53. 3 cm b 5 cm c 4 cm 54. 9 cm y 60 cm 55. 6 cm b 6 cm c 3 cm a 4 cm b 4 cm c 7 cm 56. 17.5 cm h 7.5 cm l 19.04 cm 57. 3.67 cm b 1.58 cm c 4.74 cm 58. 4 cm; 5 cm; 6 cm 59. Autobahn: 35 km; Rest: 85 km 60. 8.036 km; 42.86 km/h 61. 1.35 ; 82.350 km 17 cm b 5 cm 2 hep verlag 2016 III Gleichungen: Lösungen 39 62. vA 70 km/h vB 80 km/h 63. vA 96 km/h vB 84 km/h 64. vF 750 km/h vW 50 km/h 65. vA 21.605 km/h vB 23.605 km/h 66. A 12.22 m/s vB 10 m/s 67. s1 28 km s2 60 km s3 12 km 68. v1 3.985 km/h t1 57 min 13 ; v2 13.947 km/h t 2 3 01 min 32 ; v3 39.850 km/h t3 4 31 min 01 69. 9 ; 18 70. 4 36 min 55 71. 30 m3 /min 20 m3 /min 72. 30 ; 120 73. 20 cm 45 cm 74. 5 : 28 Fahrten; 6 : 30 Fahrten; 10 : 25 Fahrten 75. 57 Set; 106 PCs; 34 Drucker 76. 22 Set; 11 Boards; 6 Bindungen 77. a) 3 Stück von Packung 1; 4 Stück von Packung 2; 7 Stück von Packung 3 25 10 20 gibt keine sinnvolle Antwort auf die Fragestellung, da negative und ; 14 7 7 rationale Zahlen in der Lösung vorkommen. b) eindeutige Lösung Z. B. 1 Stück von Packung 1 und 2 Stück von Packung 3, oder 3 Stück von Packung 3. 78. I1 3 ; 2 2 ; 3 1 79. 0 4.903 mA I1 1.729 mA I 2 3.174 mA I 3 2.648 mA I 4 0.526 mA I 5 2.255 mA 80. 802 82. b) 13 10 11 9 11 13 9 12 12 10 c) 81. 321 d) 23 20 24 21 22 10 Gleichungen e) cd 3 e 3 ae 2 83. 84. a) sn c) ba 2 2 a 3; 5; 7; 4; 1 20 n(n 1) 9 10 45 s9 2 2 b) 45:3 15 1 5 9 1 6 8 2 4 9 2 5 8 2 6 7 3 4 8 3 5 7 4 5 6 15 8 Möglichkeiten: 1, 3, 7, 9 kommen 2-mal vor; 2, 4, 6, 8 kommen 3-mal vor; 5 kommt 4-mal vor. 5 in die Mitte, 1, 3, 7, 9 in die Seitenmitten, 2, 4, 6, 8 in die Ecken d) 15 10 15 10 e) 15 10 10 in den reellen Zahlen unendlich viele, mit den Ziffern eins bis neun 8 Lösungen. 2; 7 8 3 4 1 5 9 6 7 2 hep verlag 2016 9. Gleichungssysteme: Lösungen 40 85. a) z. B. 1. Zeile: 3a 2. Spalte: 3a Diagonale: 3a b) c) 4 9 1 3 5 7 8 7 6 z. B. d 1. Zeile: 3a 3d 3(a ) 2. Spalte: 3a 3d 3(a ) Diagonale: 3a 3d 3(a ) d) 12 3 4; 1 e) 5 3 8 1 -1 4 -3 2 4 6 -2 0 2 7 0 5 3 -4 1 f) g) 5 9