Arbeitsblatt: Archimedische Körper

Polyeder Archimedische Körper Polyeder sind dreidimensionale Körper, welche durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt sind. Sie sind durch Ecken und Kanten miteinander verbunden. Je zwei aneinandergrenzende Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Schnittpunkte der Kanten von drei oder mehr Polygonen bilden die Ecken eines Polyeders. In diesen kommt es stets zu einer Berührung von drei oder mehr Polyederflächen. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360 ist, so bezeichnet man ihn als konvex. Eine Gruppe konvexer Polyeder sind die halbregulären Polyeder. Hierzu zählen Prismen, Antiprismen, sowie Archimedische Körper. In einem Polyeder dieser sind ebenfalls alle Kanten und Ecken gleich. Im Unterschied zu regulären Polyedern können hierbei jedoch mehrere verschiedene reguläre Flächen auftreten. Die archimedischen Körper besitzen dieselben Symmetrieelemente wie Platonische Körper. Bestimmte Archimedische Körper können aus den Platonischen Körpern durch Abschneiden der Ecken erzeugt werden. Werden einem Pentagondodekaeder beispielsweise an seinen Eckpunkten regelmäßige Tetraeder (dreiseitige Pyramiden) symmetrisch entfernt, so entsteht hieraus das Ikosidodekaeder. Platonische Körper weisen als Seitenflächen ausschließlich regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke auf. Bei Archimedischen Körpern treten zudem Sechsecke, Achtecke und Zehnecke auf. Archimedische Körper besitzen die Bezeichnungen: Abgeschrägtes Hexaeder Abgeschrägtes Dodekaeder Abgestumpftes Hexaeder Kuboktaeder Abgestumpftes Tetraeder Rhombenkuboktaeder Abgestumpftes Oktaeder Ikosidodekaeder Abgestumpftes Kuboktaeder Rhombenikosidodekaeder Abgestumpftes Dodekaeder Abgestumpftes Ikosaeder Abgestumpftes Ikosidodekaeder Unter den Archimedischen Körpern ist das abgestumpfte Ikosaeder derjenige, welcher in seiner Form der Kugel am nächsten kommt. Nachfolgend abgenildet sind einige derartige Gebilde: Abgeschrägtes Polyeder Abgestumpftes Dodekaeder Abgestumpftes Hexaeder Abgestumpftes Ikosidodekaeder Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Archimedischen Körpers benötigt werden. Abgeschrägtes Hexaeder: Oberfläche: 2·a·( 3 43 Volumen: a · 3· - 1 Radius der Umkugel: ru a · Radius der Inkugel: ri a · 1 4· 1 / 3· 2 t ( 3 t / 4·( 2 t ] [ 4·( 2 t ] Mit: t: Tribonacci-Konstante ( 19 333 19 333 2) 6 1,83928675521416. Abgeschrägtes Dodekaeder: Oberfläche: a · 203 3 25 105 Volumen: a · 12·(31) ·(367) (536) / 6 (3-) Radius der Umkugel: ru a · · t·(t) (3-) 2 Radius der Inkugel: ri a · · t·(t) 1 2 Mit: Goldener Schnitt: 1,61803398874989. Konstante: 1,7155614996974. Abgestumpftes Hexaeder: Oberfläche: 2·a · 6 6·2 3 Volumen: a 3 · 21 14·2 Radius der Umkugel: ru a/2 · 7 42 Radius der Inkugel: ri a/2 · 2 2 Kuboktaeder: Oberfläche: 2·a·(3 3) Volumen: 5/3·2·a Radius der Umkugel: ru a Radius der Inkugel: ri 3·a 2 Abgestumpftes Tetraeder: Oberfläche: 7·3·a Volumen: 23/12·2·a Radius der Umkugel: ru 22·a 4 Radius der Inkugel: ri 2·a·3 4 Rhombenkuboktaeder: Oberfläche: 2·a · 9 3 Volumen: 2/3·a · 6 52 Radius der Umkugel: ru a 2 · 5 22 Radius der Inkugel: ri a 2 · 4 22 Abgestumpftes Oktaeder: Oberfläche: 6·a · 1 2·3 Volumen: 8·a · 2 Radius der Umkugel: ru a 2 · 10 Radius der Inkugel: ri 3/2 · Ikosidodekaeder: Oberfläche: a · 53 3 25 105 Volumen: a/6 · 45 175 Radius der Umkugel: ru a/2 · 1 5 Radius der Inkugel: ri a/2 · 5 25 Abgestumpftes Kuboktaeder: Oberfläche: 12·a·( 2 2 3 Volumen: 2·a·( 11 72 Radius der Umkugel: ru a 2 · 13 62 Radius der Inkugel: ri a 2 · 12 62 Rhombenikosidodekaeder: Oberfläche: a · 30 53 3 25 105 Volumen: a/3 · 60 295 Radius der Umkugel: ru a/2 · 11 45 Radius der Inkugel: ri a/2 · 10 45 Abgestumpftes Dodekaeder: Oberfläche: 5·a · 3 6 5 25 Volumen: 5/12·a · 99 475 Radius der Umkugel: ru a/4 · 74 305 Radius der Inkugel: ri a/4 · 5 35 Abgestumpftes Ikosaeder: Oberfläche: 3·a · 103 25105 Volumen: a/4 · 125 43·5 Radius der Umkugel: ru a 4 · 58 185 Radius der Inkugel: ri 3/4a · 1 5 Abgestumpftes Ikosidodekaeder: Oberfläche: 30·a · 1 3 5 25 Volumen: 5·a · 19 105 Radius der Umkugel: ru a/2 · 31 125 Radius der Inkugel: ri a/2 · 30 125 Mit: a: Kantenlänge Quellen der oben aufgeführten Abbildungen: