Arbeitsblatt: Bruchrechnen

Hoch Reinhold Werner Reiss Richter-Gebert Gefördert von der Heinz-Nixdorf-Stiftung Bruchrechnen. Bruchzahlen Bruchteile greifen begreifen 3. überarbeitete Auflage Stefan Hoch, Frank Reinhold, Bernhard Werner, Kristina Reiss, Jürgen Richter-Gebert Technische Universität München, 2018. Gefördert von der Heinz Nixdorf-Stiftung Lizenzierung: Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung – Nicht kommerziell – Keine Bearbeitungen 4.0 International Lizenz. Vorgeschlagene Zitation: Hoch, S., Reinhold, F., Werner, B., Reiss, K. Richter-Gebert, J. (2018). Bruchrechnen. Bruchzahlen Bruchteile greifen begreifen (3. Aufl.). München, Technische Universität München. doi:10.14459/2018md1436808 Digitale Version: Hoch, S., Reinhold, F., Werner, B., Reiss, K. Richter-Gebert, J. (2018). Bruchrechnen. Bruchzahlen Bruchteile greifen begreifen [Apple iBooks Version] (4. Aufl.). München, Technische Universität München. Technische Universität München TUM School of Education Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik Arcisstraße 21 80333 München www.ma.edu.tum.de Vorwort Liebe Lehrkräfte, liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern, in unserem Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen haben wir den Einfluss von TabletPCs im Mathematikunterricht der sechsten Jahrgangsstufe untersucht. Dabei sind zwei unterschiedliche Lehrbücher entstanden: Eine digitale und interaktive Version für den Einsatz auf iPads und ein klassisches Arbeitsbuch in Papierform mit vielen Bildern und kurzen Texten. In beiden Lehrbüchern steht die Vermittlung eines intuitiven Gespürs für Bruchzahlen im Vordergrund. Unsere Untersuchungen ergeben, dass sich beide Mathematikbücher für den Schulunterricht sehr gut eignen. Daher freuen wir uns, Ihnen und euch nicht nur das digitale Schulbuch (Link unten), sondern auch dieses Arbeitsbuch zur Verfügung stellen zu können, das für einen Druck auf DIN A5 Papier optimiert wurde. Wir denken, dass ein intuitiver Zugang zu Bruchzahlen das Bruchrechnen erleichtern kann und hoffen, dass Ihnen und euch das Arbeiten mit unserem Lehrwerk viel Freude bereitet. München im Mai 2018 Stefan Hoch, Frank Reinhold und Bernhard Werner Die digitale Version des Schulbuches kann kostenfrei unter heruntergeladen werden. 3 Vorworte der interaktiven Auflage Alice was beginning to get very tired of sitting by her sister on the bank, and of having nothing to do: once or twice she had peeped into the book her sister was reading, but it had no pictures or conversations in it, and what is the use of book, thought Alice without pictures or conversation? So beginnt Lewis Carroll sein berühmtes Buch Alice in Wonderland. Unser Buch zu Bruchzahlen hat zwar kaum Dialoge, aber dafür um so mehr Bilder – mehr noch – interaktive Bilder. Wir haben bei der Konzeption dieses iBooks konsequent darauf geachtet, wo immer es möglich war, das manchmal etwas sperrige The13 ma der Bruchzahlen – das zugegebenermaßen auch unintuitiv sein kann . „Ist 15 jetzt 7 größer oder kleiner als 8 – mit Bildern, Animationen und Interaktionen zu verknüpfen. Unser Buch zu Bruchzahlen ist ein interaktives Arbeitsbuch geworden, in dem es viel zu tun gibt. Aufgaben – und natürlich auch Spiele – können direkt auf dem iPad bearbeitet und gespielt werden. Lösungsfelder können direkt mit dem Finger in eigener Handschrift ausgefüllt werden – immer vorausgesetzt, sie ist einigermaßen lesbar. Auf diese Weise ist dieser kleine Band in zweifacher Weise zum Experiment geworden. Ein fachdidaktisches Experiment, das ist klar, aber auch ein technologisches Experiment. Ich glaube, wir können guten Gewissens sagen, dass wir versucht haben ein iBook der ganz besonderen Art zu schreiben. Eben ein interaktives, mit eingebauten Lernhilfen, Spielen, Aufgaben, Visualisierungen, Memories, in dem Pizza und Schokolade verteilt werden müssen. Wir wünschen den Leserinnen und Lesern mindestens ebenso viel Spaß, wie wir beim Austüfteln der Aufgaben hatten. München im März 2018 Jürgen Richter-Gebert 4 Bruchrechnen. Bruchzahlen Bruchteile greifen begreifen Inhaltsverzeichnis Eine Pizza wird geteilt 6 Den Anteil von etwas berechnen 24 Pizza und Schokolade verteilen 36 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert 48 Brüche auf dem Zahlenstrahl 66 Mehr als ein Ganzes 82 Welcher Bruch ist größer? 92 5 Eine Pizza wird geteilt Eine Pizza wird geteilt Anna möchte eine Pizza mit ihren fünf Freundinnen teilen. Sie schneidet sie in gleich große Stücke. 6 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 1 Was stimmt? Jedes Mädchen bekommt ein Sechstel der Pizza. Man kann die Pizza gerecht auf sechs Personen verteilen. Man braucht mindestens sechst Schnitte, um die Pizza so aufzuteilen. Vier der Stücke ergeben eine halbe Pizza. Die Pizza wurde in sechs Stücke geteilt. 7 Eine Pizza wird geteilt Hier siehst du die Pizza noch einmal. 8 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 2 Kannst du erklären, wie Anna geschnitten hat? Schreibe deine Antwort auf und vergleiche dann mit deinem Banknachbarn. 9 Eine Pizza wird geteilt Brüche schreiben Eine Pizza wird in acht gleich große Stücke geteilt. Mia nimmt davon drei Stücke. Man sagt: „3 Achtel, und schreibt kurz: 3 8 Zähler Bruchstrich Nenner In der neuen Schreibweise 38 kommen zwei Zahlen mit unterschiedlicher Bedeutung vor: „Die Acht sagt, in wie viele gleich große Teile man die Pizza teilt. Die Drei gibt an, wie viele dieser Teile man davon nimmt. 10 Eine Pizza wird geteilt 11 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 3 Eine Tafel Schokolade hat zwölf Stücke. Tom nimmt sieben Stücke. Fülle den Lückentext aus. Man sagt: „7 und schreibt kurz: 7 12 „Die sagt, in wie viele gleich große Teile man die Schokolade teilt. Die dieser Teile man davon nimmt. 12 gibt an, wie viele Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 4 Vergleiche deine Lösung jetzt mit deinem Banknachbarn. Stellt euch anschließend ähnliche Aufgaben mit runden Pizzen und rechteckigen Schokoladen. 13 Eine Pizza wird geteilt Merke Teile von Ganzen können in der Bruchschreibweise geschrieben werden: • Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. • Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile genommen werden. • Zähler und Nenner werden durch den Bruchstrich getrennt. Man sagt: „3 Viertel, und schreibt: 3 4 14 Zähler Bruchstrich Nenner Eine Pizza wird geteilt Und noch ein Hinweis Der Zähler kann kleiner, gleich oder auch größer als der Nenner sein, z. B.: 3 4 4 4 5 4 7 4 Solche Brüche bezeichnen mehr als ein Ganzes. 15 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 5 a) 1 2 b) 2 3 c) 4 7 d) 12 13 e) 28 39 f) 51 71 Aufgabe 6 16 Wie liest du den Bruch? Schreibe als Bruch. a) drei Achtel b) zwei Siebzehntel c) elf Vierzehntel d) neun Fünfzigstel e) neunzehn Dreiundzwanzigstel f) dreißig Einhundertstel Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 7 Welcher Bruch ist hier dargestellt? a) b) c) d) e) f) g) h) i) 17 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 8 Markiere den Anteil des Rechtecks farbig. a) 1 4 b) 4 6 c) 11 16 d) 5 9 e) 7 12 f) 13 20 Aufgabe 9 a) 18 1 4 Markiere den Anteil des Kreises farbig. b) 3 7 c) 5 9 Eine Pizza wird geteilt d) 7 12 e) 5 8 f) 2 6 Aufgabe 10 Markiere den Anteil des Kreises farbig. Verwende weder Geodreieck noch Lineal. a) 1 3 d) 5 12 b) 3 4 c) 5 6 e) 2 3 f) 5 7 19 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 11 Markiere den Anteil des Balkens farbig. Verwende weder Geodreieck noch Lineal. a) 1 3 b) 3 4 c) 5 6 d) 5 7 e) 2 3 f) 7 10 g) 6 8 h) 5 12 20 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 12 Stelle die Brüche 21 23 56 38 einem Rechteck dar. 7 12 und 13 20 in je 21 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 13 a) Umrande 5 8 der Figuren. b) Umrande 3 8 der Pepperonis. c) Umrande 4 6 der Orangen. d) Umrande 5 9 der Eier. 22 Eine Pizza wird geteilt Aufgabe 14 Bastle mit deinem Banknachbarn ein BruchMemory. Notiere auf den Karten jeweils den Anteil in der Bruchschreibweise und auf einer anderen Karte als Bild. 23 Den Anteil von etwas berechnen Den Anteil von etwas berechnen Eine Wasserkaraffe füllen In diese Karaffe passt ein Liter Wasser. Sie ist nicht ganz gefüllt. Du kannst ablesen, welcher Bruchteil sich in der Karaffe befindet. 7 befüllt. Sieh dir an, Aufgabe 15 Die Karaffe ist zu 10 wie man Schritt für Schritt den Bruchteil berechnet. Bruchteil: 7 von 1000 ml sind 700 ml. 10 24 Den Anteil von etwas berechnen Schritt für Schritt 1. In wie viele gleich große Abschnitte muss die Karaffe geteilt werden? In 10 gleich große Teile. 2. Wie viel ml hat dann ein solcher Teil? 1000 ml 10 100 ml 3. Wie viele solcher Teile werden genommen? 7 solcher Teile. 4. Wie viel Wasser ist das dann insgesamt? 100 ml · 7 700 ml 25 Den Anteil von etwas berechnen Strecken zerteilen man, indem man . Eine Strecke von 3 4 Länge erhält 1. eine 1 lange Strecke in vier gleich lange Teile zerlegt und dann . 2. drei Teile davon nimmt: :4 1 4m 1m ·3 3 4m 3 4 sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter. Und ohne Skizze .? Hilfszeichnung. 26 Löse die nächste Aufgabe ohne Den Anteil von etwas berechnen Aufgabe 16 Bestimme 57 einer 21 langen Strecke. Fülle die Lücken. Dazu kannst du in zwei Schritten vorgehen: 1. In wie viele gleich große Stücke wird das Ganze, also die 21 m, geteilt? Dann ist ein solches Stück 21 : lang. 2. Wie viele dieser gleich großen Stücke werden genommen? Dann ist der Bruchteil · lang. 27 Den Anteil von etwas berechnen Merke So bestimmt man den Bruchteil eines Ganzen ganz einfach: 5 von 21 21 : 7 · 5 3 · 5 15 7 Aufgabe 17 28 Rechne aus. a) 1 von 18 3 b) 1 von 16 2 c) 2 von 18 3 d) 3 von 32 4 e) 4 von 49 7 Den Anteil von etwas berechnen f) 5 von 54 6 g) 3 von 48 8 h) 7 von 88 11 j) 7 von 65 13 Aufgabe 18 Rechne aus. a) Eine Müslipackung wiegt 72 g. Wie schwer sind Müslipackung? 4 9 der 3 5 des b) Ein Baumstamm ist 50 lang. Wie lang sind Baumstamms? c) Eine Reise dauert 32 d. Wie lange dauern 5 8 der Reise? 29 Den Anteil von etwas berechnen Und umgekehrt .? Wenn 13 einer Schulstunde 15 min dauert, wie lange ist dann eine ganze Schulstunde? 15 min · 3 45 min Aufgabe 19 a) Gib das Ergebnis an. 1 4 eines Baumstamms ist 3 Meter lang. Wie lang ist der ganze Baumstamm? Meter b) 1 6 einer Reise dauert 8 Tage. Wie lange dauert die ganze Reise? Tage c) 1 5 einer Müslipackung wiegt 80 Gramm. Wie schwer ist die ganze Müslipackung? Gramm d) 1 3 eines Films dauert 25 Minuten. Wie lange dauert der ganze Film? Minuten 30 Den Anteil von etwas berechnen Merke Brüche mit Zähler 1 z. B. brüche. 1 1 3, 2 oder 1 7 heißen Stamm- Wie du gerade gesehen hast, lässt sich das ursprüngliche Ganze sehr einfach berechnen, wenn der Anteil ein Stammbruch ist. Wir überlegen uns wieder mit einer Strecke, wie man vorgehen muss, wenn der Anteil kein Stammbruch ist. 31 Den Anteil von etwas berechnen Zurück zur ganzen Strecke Geht man von einer Strecke von 43 Länge aus, so erhält man eine Länge von einem Meter, indem man . 1. die Strecke zuerst in drei gleich lange Teile zerlegt und dann . 2. vier solcher Teile aneinander legt: :3 3 4m 1 4m ·4 1m 3 4 sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter. Und ohne Skizze .? Hilfszeichnung. 32 Löse die nächste Aufgabe ohne Den Anteil von etwas berechnen Aufgabe 20 Wenn 57 einer Strecke 15 sind, wie lang ist dann die ganze Strecke? Fülle die Lücken. Dazu kannst du in zwei Schritten vorgehen: 1. Wie viele gleich große Stücke wurden genommen? Dann ist ein solches Stück 15 : lang. 2. In wie viele solcher Stücke wurde das unbekannte Ganze geteilt? Dann ist das Ganze · lang. 33 Den Anteil von etwas berechnen Merke Sind Anteil „ 75 und Bruchteil „15 gegeben, lässt sich wieder das Ganze bestimmen. Im Prinzip geht das „rückwärts: 15 : 5 · 7 3 · 7 21 Aufgabe 21 34 Rechne aus: Wie lang ist die Strecke, . a) . wenn 1 6 der Strecke 4 lang sind? b) . wenn 5 8 der Strecke 10 lang sind? c) . wenn 3 10 d) . wenn 8 9 e) . wenn 11 19 der Strecke 21 lang sind? der Strecke 64 lang sind? der Strecke 55 lang sind? Den Anteil von etwas berechnen Aufgabe 22 Rechne aus: Wie groß ist das Ganze, . a) . wenn 1 7 des Ganzen 5 ist? b) . wenn 5 6 des Ganzen 25 sind? c) . wenn 3 4 des Ganzen 24 sind? d) . wenn 7 10 e) . wenn 2 5 f) . wenn 9 11 g) . wenn 3 5 des Ganzen 18 sind? h) . wenn 3 8 des Ganzen 21 sind? des Ganzen 77 sind? des Ganzen 14 sind? des Ganzen 18 sind? 35 Pizza und Schokolade verteilen Pizza und Schokolade verteilen Pizzabäcker Donatello hat Probleme in der Küche. Zu allem Überfluss wollen seine vier Gäste ihre Pizzen auch noch teilen. Aufgabe 23 Hilf Donatello dabei, die Pizzen gerecht an die vier Gäste zu verteilen. a) Eine Pizza kommt auf den Tisch. 36 Pizza und Schokolade verteilen b) Drei Pizzen kommen auf den Tisch. Zusammenfassung Die die Pizzen gerecht verteilt werden sollen, bekommt jeder Gast immer gleich viel. Am Ende von Aufgabe b) hat jeder der Gäste jeweils 41 von drei Pizzen. Das ist genauso viel wie 34 von einer Pizza. 37 Pizza und Schokolade verteilen Drei Schokoriegel werden an vier Kinder verteilt. Tim, Karl, Willi und Gabi freuen sich sehr auf die drei Schokoriegel. Aufgabe 24 Wie viel Schokolade bekommt jedes Kind? Verteile die Schokolade gerecht an die vier Kinder. 38 Pizza und Schokolade verteilen Aufgabe 25 Was stimmt? Gabi fehlt ein Stück zu einem ganzen Schokoriegel. Karl bekommt 14 von der gesamten Schokolade. Karl bekommt zwei Schokoladenstücke. Willi bekommt koriegel. 3 4 von einem Scho- Tim bekommt koriegel. 1 4 von einem Scho- 39 Pizza und Schokolade verteilen Strecken anders zerteilen auch so erhalten: Den Bruchteil 34 kann man 1. Teile eine 3 lange Strecke in 4 gleich lange Teile und . 2. nimm 1 Teil davon. ·3 3m 1m :4 3 4m 3 4 ist auch 1 4 von drei (ganzen) Meter Und ohne Skizze .? Hilfszeichnung. 40 Löse die nächste Aufgabe ohne Pizza und Schokolade verteilen Aufgabe 26 Bestimme 57 einer 21 langen Strecke nach der anderen Methode. Fülle die Lücken. Dazu kannst du in zwei Schritten vorgehen: -facht: 1. Zuerst wird das Ganze ver- 21 · 2. Das Ergebnis teilen wir in : gleich große Stücke: 41 Pizza und Schokolade verteilen Merke Man kann den Bruchteil 57 von 21 auf zwei verschiedenen Arten berechnen: 5 von 21 21 · 5 7 105 : 7 15 7 oder 5 von 21 21 : 7 · 5 3 · 5 15 7 Beide Rechenwege sind richtig. Man bekommt das selbe Ergebnis. Aufgabe 27 42 Löse die Aufgabe wie eben gelernt. a) 2 von 10 4 b) 3 von 15 9 c) 2 von 9 6 Pizza und Schokolade verteilen d) 12 von 4 16 e) 3 von 16 6 f) 6 von 5 10 g) 8 von 5 20 Aufgabe 28 Löse die Aufgabe wie eben gelernt. a) Eine Müslipackung wiegt 400 g. Wie schwer sind der Müslipackung? 3 12 b) Ein Baumstamm ist 6 lang. Wie lang sind 39 des Baumstamms? c) Eine Reise dauert 5 d. Wie lange dauern 6 15 der Reise? 43 Pizza und Schokolade verteilen Pauls Mathehausaufgabe Paul ist in der vierten Klasse, sein Bruder Max schon in der sechsten. Paul löst seine Hausaufgaben und gibt sie Max zur Kontrolle. a) 245 7 35 b) 121 11 11 c) 3 4 ? Warte auf die 6. Klasse! Aufgabe 29 Max hat mit rot korrigiert. Was ist ihm bei Aufgabe c) aufgefallen? Gib das Ergebnis an, das ein Sechstklässler notieren würde. 44 Pizza und Schokolade verteilen Beliebige Zahlen teilen Divisionsaufgaben, bei denen der Divisor größer ist als der Dividend, hast du bisher nicht lösen können. Du hast dafür die Schreibweise mit Rest genutzt: 3 11 0 3 5:60R5 Mit den Brüchen kommen wir jetzt ohne die Rest-Schreibweise aus. Die Rechnung 3 11 bedeutet: „Teile 3 Ganze in 11 gleich große Stücke. Das Ergebnis ist der Bruch 3 11 Also: 3 11 5 5:6 6 3 11 Du kannst jede natürliche Zahl durch eine andere teilen, egal ob die Division aufgeht. Das Ergebnis schreibst du als Bruch. 45 Pizza und Schokolade verteilen Merke Der Bruch 34 ist eine andere Schreibweise für den Quotienten 3 4. Mit Hilfe von Brüchen kann man alle natürlichen Zahle durcheinander teilen, z. B.: 3 3:4 4 46 5 5:2 2 3 3:7 7 5:6 5 6 Pizza und Schokolade verteilen Aufgabe 30 Kreuze an, ob die Aufgabe eine natürliche Zahl als Ergebnis hat, oder nicht. Das Ergebnis ist . eine natürliche Zahl. keine natürliche Zahl. a) 3:4 b) 96 8 c) 72 6 d) 46 5 e) 50 7 f) 52 4 g) 37 3 h) 91 13 i) 44 29 j) 94 23 k) 85 17 l) 76 19 m) 83 27 47 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Ein Papier wird gefaltet Schneide aus einem Blatt Papier ein Quadrat aus. Markiere dann die Hälfte des Quadrates farbig. Aufgabe 31 Falte das Papier und rede mit deinem Banknachbarn darüber, wie du den markierten Bruch jetzt nennen würdest. Notiere deine Beobachtungen. 48 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Quadrat zerteilt Otto hat 34 seines Quadrats farbig markiert und es dann erneut gefaltet. Aufgabe 32 Benenne die Brüche, die durch das Falten auf Ottos Papier entstanden sind. 3 4 49 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Verschiedene Brüche bezeichnen den selben Anteil 50 1 3 2 6 3 9 3 4 6 8 9 12 2 5 4 10 6 15 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Und jetzt ohne Bild . Marie behauptet: „Ich habe gemerkt, dass ich einfach oben und unten immer das Selbe machen muss. Was meint Marie damit? Aufgabe 34 Notiere eine Strategie, wie man schnell Brüche findet, die den gleichen Anteil bezeichnen. Vergleiche dann mit deinem Banknachbarn. 51 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Merke Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit der selben Zahl multiplizieren. Wir schreiben die Zahl, mit der wir den Bruch erweitern, über das Gleichheitszeichen: 4 3 4·3 12 7 7·3 21 Beim Erweitern wird die Einteilung feiner: 4 7 Erweitern mit 3 12 21 52 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Merke Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividieren. Wir schreiben die Zahl, mit der wir den Bruch kürzen, unter das Gleichheitszeichen: 32 32 8 4 48 8 48 8 6 Beim Kürzen wird die Einteilung gröber: 32 48 Kürzen mit 8 4 6 53 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Immer weiter kürzen Du kannst Brüche mit gemeinsamen Teilern von Zähler und Nenner kürzen. Im Bruch 32 48 haben der Zähler „32 und der Nenner „48 die gemeinsamen Teiler 8, 2 und 16. Wir können 32 48 also auf verschiedene Arten kürzen: 32 48 Kürzen mit 8 4 6 Kürzen mit 2 16 24 54 ür it en 16 Kürzen mit 8 Kürzen mit 2 2 3 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Und jetzt ohne Bild . Das können wir auch als Rechnung notieren: 32 32 8 4 4:2 2 48 8 48 8 6 2 6:2 3 oder 32 2 16 16 8 2 32 48 2 48 2 24 8 24 8 3 oder 32 16 2 32 48 16 48 16 3 Im Bruch 32 haben Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr. Einen solchen Bruch nennen wir vollständig gekürzt. 55 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Merke Erweitern und Kürzen ändert den Wert eines Bruches nicht. Ein Bruch kann nur durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner gekürzt werden. Haben Zähler und Nenner eines Bruches keine gemeinsamen Teiler, nennt man den Bruch vollständig gekürzt. Aufgabe 35 56 Verbinde wertgleiche Brüche. Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 36 Verbinde wertgleiche Brüche. Aufgabe 37 Zu welchem vollständig gekürzten Bruch gehören die Bilder? Verbinde. 57 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 38 Markiere den Anteil des Rechtecks farbig. a) 1 4 b) 2 3 c) 7 8 d) 5 9 e) 5 7 f) 5 6 Aufgabe 39 Kürze den Bruch mit der angegebenen Zahl. Streiche dazu Linien durch. a) 4 mit 2 6 b) 6 mit 3 9 c) 9 mit 3 15 d) 24 mit 4 36 58 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 40 Schreibe als Produkt. a) 16 · b) 36 · c) 42 · d) 30 · e) 64 · f) 72 · Aufgabe 41 a) 3 4 c) 2 3 e) Erweitere mit der angegebenen Zahl. b) 5 9 d) 8 7 10 11 6 13 f) 13 5 17 5 8 Aufgabe 42 4 Kürze mit der angegebenen Zahl. a) 9 15 3 b) 49 56 7 c) 24 36 12 d) 32 64 2 e) 77 121 11 f) 51 81 3 59 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 43 a) Mit welcher Zahl wurde erweitert? Erweitert mit c) Aufgabe 44 a) mit d) Gekürzt Erweitert mit b) Gekürzt mit 60 Erweitert Mit welcher Zahl wurde gekürzt? mit c) Erweitert mit b) Gekürzt mit d) Gekürzt mit Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 45 Mit welcher Zahl wurde erweitert? a) Erweitert mit c) Erweitert mit b) Erweitert mit d) Erweitert mit Aufgabe 46 Mit welcher Zahl wurde gekürzt? a) Gekürzt mit c) Gekürzt mit b) Gekürzt mit d) Gekürzt mit 61 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 47 Kreise alle Zahlen ein, mit denen du den Bruch kürzen kannst. a) b) c) d) Aufgabe 48 a) 1 8 c) 6 9 e) 10 12 62 Notiere die fehlende Zahl. 2 48 80 b) 4 20 1 d) 4 24 2 f) 24 72 6 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 49 Nenner. a) 1 4 c) 14 16 e) 33 81 Bringe den Bruch auf den angegebenen 12 8 27 b) 12 21 7 d) 9 30 90 f) 9 24 8 Aufgabe 50 Bringe die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. a) 3 4 b) 4 28 3 7 c) 2 3 3 4 d) 4 6 5 9 e) 7 15 3 10 f) 11 21 9 14 1 16 63 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 51 Der Bruch ist durch Erweitern entstanden. Aus welchem Bruch könnte er entstanden sein? a) 3 18 b) 6 12 c) 4 16 d) 15 25 e) 42 56 f) 72 108 g) 140 170 h) 32 44 Aufgabe 52 a) 3 c) 2 e) 10 g) 64 Schreibe als Bruch. 12 b) 3 13 8 6 d) 4 f) 5 h) 14 48 13 196 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert Aufgabe 53 Kreuze an, ob die Brüche wertgleich sind. Die Brüche . a) 26 5 sind wertgleich. sind nicht wertgeleich. und 19 20 b) 42 7 und 3 5 c) 15 24 und 38 15 d) 26 58 und 13 29 e) 18 56 und 9 28 f) 41 8 und 37 6 g) 22 100 h) 76 98 und 37 49 i) 12 9 und 9 3 j) 18 26 und 36 52 und 11 50 65 Brüche auf dem Zahlenstrahl Brüche auf dem Zahlenstrahl Einen Kreis abwickeln Zahlenstrahl? Was bedeuten Brüche auf dem Aufgabe 54 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann, wie sie mit dem Nenner 4 aussehen würde. 3 3 1 3 2 3 0 1 1 3 3 3 2 3 0 1 1 3 0 66 2 3 3 3 1 Brüche auf dem Zahlenstrahl Einen Balken schrumpfen Du kannst dir den Zahlenstrahl auch als „geschrumpften Balken vorstellen. Aufgabe 55 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann, wie sie mit dem Bruch 52 aussehen würde. 0 1 4 2 4 3 4 1 4 2 4 3 4 1 4 2 4 3 4 1 67 Brüche auf dem Zahlenstrahl Merke Brüche können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dabei kann man sich den Zahlenstrahl als abgewickelten Kreis vorstellen: Brüche, die weniger als ein Ganzes sind, heißen echte Brüche. Sie liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen der 0 und der 1. Ihr Zähler ist kleiner als ihr Nenner. 68 Brüche auf dem Zahlenstrahl Aufgabe 56 a) b) c) d) e) Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl. 2 3 0 1 1 5 0 1 3 4 0 1 4 7 0 1 7 10 0 1 Aufgabe 57 Gib den markierten Bruch an. a) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b) c) d) e) 69 Brüche auf dem Zahlenstrahl Und rechts von der 1? Rechts von der 1 ist auf dem Zahlenstrahl noch endlos Platz. Hier liegen Brüche, die mehr sind als ein Ganzes. Aufgabe 58 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann, wie sie mit dem Bruch 74 aussehen würde. 0 70 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 5 3 4 3 4 3 1 4 3 5 3 5 3 2 Brüche auf dem Zahlenstrahl 71 Brüche auf dem Zahlenstrahl Merke Brüche können auch mehr als ein Ganzes beschreiben. Auf dem Zahlenstrahl sieht das so aus: Brüche, die mehr als ein Ganzes beschreiben, heißen unechte Brüche. Sie liegen auf dem Zahlenstrahl rechts von der 1. Ihr Zähler ist größer als ihr Nenner. 72 Brüche auf dem Zahlenstrahl Aufgabe 59 a) b) c) d) e) Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl. 4 3 0 1 2 11 6 0 1 2 9 7 0 1 2 7 5 0 1 2 14 10 0 1 2 Aufgabe 60 Gib den markierten Bruch an. a) 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 b) c) d) e) 73 Brüche auf dem Zahlenstrahl Und zwischen den Einteilungen? Manchmal reicht die Einteilung auf dem Zahlenstrahl nicht aus, um Brüche mit größerem Nenner eintragen zu können. Hier musst du die Einteilung verfeinern. Aufgabe 61 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann, wie sie mit dem Bruch 87 und einer Unterteilung in Viertel aussehen würde. 2 6 1 6 3 6 1 2 0 1 6 2 6 3 6 1 6 74 1 4 6 1 2 0 0 4 6 2 6 3 6 1 2 1 4 6 5 6 1 Brüche auf dem Zahlenstrahl 75 Brüche auf dem Zahlenstrahl Merke Wenn die Einteilung auf dem Zahlenstrahl nicht ausreicht, muss sie verfeinert werden: 76 Brüche auf dem Zahlenstrahl Aufgabe 62 a) b) c) d) e) Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl. 5 6 0 5 8 0 9 14 0 1 6 0 7 8 0 Aufgabe 63 1 1 1 1 1 Gib den markierten Bruch an. a) 0 1 b) 0 1 c) 0 1 d) 0 1 e) 0 1 77 Brüche auf dem Zahlenstrahl Platz schon besetzt?! Manche Brüche teilen sich ihren Platz auf dem Zahlenstrahl: Aufgabe 64 Markiere die Brüche 13 12 10 3 auf dem Zahlenstrahl. 0 78 1 2 3 10 1 2 5 5 6 6, 6, 6, 3 4 und Brüche auf dem Zahlenstrahl In der Aufgabe hast du gesehen, dass die Brüche 13 und 26 an der selben Stelle auf dem Zahlenstrahl stehen. Bei den 5 Brüchen 10 6 und 3 war das auch der Fall. Wenn du an das letzte Kapitel denkst, fällt dir schnell auf, warum diese Brüche den selben Platz belegen: 1 2 2 3 6 10 5 6 2 3 Die Brüche haben den gleichen Wert, weil sie durch Erweitern und Kürzen ineinander umgewandelt werden können. 79 Brüche auf dem Zahlenstrahl Merke Zu jedem Bruch gehört ein Punkt auf dem Zahlenstrahl. Zu wertgleichen Brüchen gehört derselbe Punkt. 0 1 8 2 8 1 4 3 8 4 8 2 4 1 2 80 5 8 6 8 3 4 7 8 1 Brüche auf dem Zahlenstrahl Aufgabe 65 a) b) c) d) e) Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl. 10 6 0 11 8 0 1 2 7 4 0 1 2 17 10 0 13 9 0 Aufgabe 66 2 1 2 1 2 1 Gib den markierten Bruch an. a) 0 1 2 0 1 2 b) c) 0 2 1 d) 0 2 1 e) 0 1 2 81 Mehr als ein Ganzes Mehr als ein Ganzes Aufgabe 67 Zwei Arten von Brüchen. Markiere die Brüche 13 73 23 und 11 3 auf dem Zahlenstrahl. 0 82 1 2 3 4 Mehr als ein Ganzes Du kannst die vier Brüche in zwei Gruppen einteilen: 1. Anteile mehr als ein Ganzes und . 2. Anteile weniger als ein Ganzes. Aufgabe 68 Ordne die vier Brüche diesen beiden Gruppen zu. Notiere, wie du die Gruppen am Zahlenstrahl leicht erkennen kannst. Vergleiche dann deine Ergebnisse mit deinem Banknachbarn. 83 Mehr als ein Ganzes Seltsame Brüche Der Bruch 11 3 ist ein unechter Bruch. Er liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von der 1. Oft ist es hilfreich zu wissen, wie viele Ganze in einem unechten Bruch stecken. Hierfür gibt es eine besondere Schreibweise, die gemischten Zahlen. Gemischte Zahlen Eine gemischte Zahl besteht aus zwei Teilen: 1. Einer natürlichen Zahl, die angibt, wie viele Ganze im unechten Bruch stecken und . 2. einem echten Bruch, der den Rest angibt. 84 Mehr als ein Ganzes Bei 11 3 sieht das so aus: 2 3 3 Ganze 0 1 3 2 3 1 4 3 5 3 2 7 3 8 3 3 10 3 11 3 4 13 3 Merke In der gemischten Schreibweise können wir unechte Brüche viel kürzer schreiben: 11 2 2 3 Ganze 3 3 3 3 85 Mehr als ein Ganzes Und ohne Zahlenstrahl .? Hier siehst du eine andere Möglichkeit, den unechten Bruch 11 3 in die gemischte Zahl 3 32 umzuwandeln: 9 3 11 3 2 3 3 3 23 86 2 3 3 Mehr als ein Ganzes Merke Unechte Brüche kann man als gemischte Zahlen schreiben: 11 11 3 3 2 also ist . 3 11 2 2 11 3 3 3 3 3 3 Mit ein wenig Übung schaffst du den Umformungsschritt im Kopf! Du musst die Rechenschritte nicht aufschreiben. Aufgabe 69 Wandle den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um. a) 7 2 b) 15 4 c) 23 3 d) 33 7 e) 49 9 f) 54 13 87 Mehr als ein Ganzes Und anders herum .? Wir können auch anders herum aus einer gemischten Zahl wieder einen unechten Bruch machen: 2 37 3 7 2 2 14 7 17 7 88 3 7 Mehr als ein Ganzes Merke Gemischte Zahlen kann man auch wieder als unechte Brüche schreiben: 2 3 14 3 17 3 2 7 7 7 7 7 Aufgabe 70 Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. a) 5 1 2 b) c) 5 3 8 d) 12 e) 7 4 9 f) 9 5 11 12 13 h) 4 11 17 g) 3 7 5 7 1 6 89 Mehr als ein Ganzes Merke Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, beschreiben mehr als ein Ganzes. Sie heißen unechte Brüche. Wenn wir sie als gemischte Zahlen schreiben, wissen wir sofort, wo sie auf dem Zahlenstrahl liegen: 10 1 1 3 3 3 3 3 Er liegt auf dem Zahlenstrahl also zwischen 3 und 4. Aufgabe 71 90 Verbinde wertgleiche Brüche. Mehr als ein Ganzes Aufgabe 72 Wandle in eine gemischte Zahl bzw. einen unechten Bruch um. 3 7 a) 13 11 b) 1 c) 2 5 8 d) 23 19 e) 63 5 f) 3 12 13 h) 58 17 g) 4 Aufgabe 73 7 9 Markiere den Anteil farbig. a) 5 4 b) 12 7 c) 13 8 d) 19 12 91 Welcher Bruch ist größer? Welcher Bruch ist größer? Weniger oder mehr als ein Ganzes? Ob ein Bruch weniger oder mehr als ein Ganzes ist, kann man leicht entscheiden: Liegt er auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von der 1? 0 92 1 2 3 4 Welcher Bruch ist größer? Aufgabe 74 Kreuze an, ob der Bruch links oder rechts von der 1 liegt. Der Bruch . liegt links von der 1. liegt rechts von der 1. a) 3 8 b) 37 9 c) 13 5 d) 43 78 e) 14 7 f) 53 27 Zur Erinnerung Unechte Brüche sind Brüche, die mehr 5 9 sind als ein Ganzes z. B. 4 oder 7 Echte Brüche sind Brüche, die weniger sind als ein Ganzes 3 7 z. B. 4 oder 8 93 Welcher Bruch ist größer? Merke 6 5 sind mehr als ein Ganzes. 7 Sie sind immer größer als echte Brüche z. B. 8 Unechte Brüche z. B. 6 5 7 8 Also ist 94 7 6 5 8 Welcher Bruch ist größer? Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen: Aufgabe 75 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 4 7 5 4 b) 4 5 9 8 c) 3 2 7 8 d) 13 12 27 30 e) 15 17 5 4 95 Welcher Bruch ist größer? Mehr oder weniger als die Hälfte? Ob ein Bruch mehr oder weniger als die Hälfte vom Ganzen bezeichnet, lässt sich leicht herausfinden. Aufgabe 76 Ist in der Figur mehr oder weniger als die Hälfte markiert? Kreuze an. 96 Weniger als 12 Mehr als 12 a) b) c) d) Welcher Bruch ist größer? Weniger als 12 Mehr als 12 e) f) g) h) i) 97 Welcher Bruch ist größer? Merke 4 7 Ist ein Bruch mehr als die Hälfte z. B. derer Bruch weniger als die Hälfte z. B. sich leicht vergleichen: 4 7 98 2 5 und ein an 2 5 lassen sie Welcher Bruch ist größer? Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen: Aufgabe 77 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 4 6 1 4 b) 4 10 7 12 c) 3 9 5 8 d) 13 21 9 23 e) 17 33 11 23 99 Welcher Bruch ist größer? Brüche mit Zähler 1 Für die nächsten Aufgaben brauchst du eine neue Strategie: „Je kleiner der Nenner, desto größer die Stücke! Aufgabe 78 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 1 2 1 3 b) 1 5 1 4 c) 1 9 1 8 d) 1 21 1 23 e) 1 33 1 23 Übrigens che. 100 Brüche mit Zähler 1 nennt man Stammbrü- Welcher Bruch ist größer? Brüche mit gleichem Zähler Die neue Strategie funktioniert auch für Brüche mit gleichem Zähler: Aufgabe 79 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 2 5 2 3 b) 4 7 4 9 c) 7 9 7 8 d) 11 13 11 17 e) 23 27 23 25 101 Welcher Bruch ist größer? Merke Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige größer, der den kleineren Nenner hat. Also der Bruch, bei dem das Ganze in weniger Stücke aufgeteilt ist: 4 5 4 7 Also ist 102 4 4 5 7 Welcher Bruch ist größer? 103 Welcher Bruch ist größer? Brüche mit gleichem Nenner Wenn der Nenner gleich ist, musst du nur herausfinden, welcher Bruch mehr Stücke beschreibt: „Je kleiner der Zähler, desto weniger Stücke! Aufgabe 80 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 2 5 b) 7 9 5 9 c) 7 13 9 13 d) 4 15 2 15 e) 23 27 21 27 104 3 5 Welcher Bruch ist größer? 105 Welcher Bruch ist größer? Merke Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamige Brüche. Bei gleichnamigen Brüchen ist der Bruch größer, der den größeren Zähler hat. Also der Bruch, der mehr von den gleich großen Stücken hat:: 4 5 106 3 5 Welcher Bruch ist größer? Achte in der nächsten Aufgabe darauf, ob die Brüche den gleichen Zähler oder den gleichen Nenner haben. Aufgabe 81 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 1 5 1 7 b) 3 8 3 5 c) 4 7 6 7 d) 13 17 13 20 e) 9 17 11 17 107 Welcher Bruch ist größer? Schokolade genascht Steffen und Franziska kaufen sich in der Mittagspause jeder eine Tafel Schokolade. Stef9 fen hat 14 und Franziska 32 der Tafel übrig. Aufgabe 82 Markiere, wie viel Schokolade übrig ist. Steffen hat 1 4 übrig: Franziska hat 9 32 übrig: Überlege jetzt, wer von beiden mehr Schokolade übrig hat. 108 Welcher Bruch ist größer? Auf gleicher Zähler oder gleichen Nenner bringen? Um zwei Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf den gleichen Zähler oder den gleichen Nenner bringen. Meistens ist eine Variante einfacher: Beispiel 1 Welcher Bruch ist größer, 2 3 oder 15 17 Mit gleichem Zähler: 6 6 45 34 Mit gleichem Nenner: 45 34 255 255 Beispiel 2 Welcher Bruch ist größer, 13 3 oder 16 4 Mit gleichem Zähler: 39 39 48 52 Mit gleichem Nenner: 13 12 16 16 109 Welcher Bruch ist größer? Was geht einfacher? Bringe die Brüche zum Vergleich auf einen gemeinsamen Zähler oder Nenner. Entscheide selbst. Aufgabe 83 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 3 11 12 41 b) 7 15 2 5 c) 15 31 5 13 d) 7 9 11 18 e) 3 13 2 11 f) 16 21 5 7 Wähle in den nächsten Aufgaben deine Strategie selbst. 110 Welcher Bruch ist größer? Aufgabe 84 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an. a) 1 23 1 50 b) 16 30 16 22 c) 35 50 20 50 d) 6 4 20 22 e) 20 12 14 5 f) 18 21 3 4 Aufgabe 85 Sortiere die Brüche von klein nach groß. a) 1 1 1 1 , : 7 17 23 8 b) 7 3 15 13 , : 21 21 21 21 c) 2 3 3 1 , : 8 5 6 7 111 Welcher Bruch ist größer? Aufgabe 86 Liegt der Bruch auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von 12 Kreuze an. 0 1 2 1 Der Bruch . liegt links von 12 liegt rechts von 21 a) 3 8 b) 7 12 c) 10 19 d) 33 79 e) 48 83 f) 34 71 g) 17 56 h) 45 80 112 Welcher Bruch ist größer? Aufgabe 87 kiere farbig. In welchem Kreisteil liegt der Bruch? Mar- a) 1 2 b) 4 10 c) 6 8 d) 10 19 e) 14 16 f) 23 24 g) 7 12 h) 4 19 i) 11 13 113 Welcher Bruch ist größer? Aufgabe 88 Welcher Bruch ist kleiner? Kreuze an. a) b) c) d) e) 114