Arbeitsblatt: Mathematik Theorie

Grundrechenregeln Klammern und Reihenfolge 1. Klammern werden zuerst gerechnet (Zahlen), bzw. zusammengefasst (Variablen). 2. Wurzeln und Potenzen 3. Multiplikation und Division 4. Addition und Subtraktion Klammerregeln Steht vor der Klammer ein «», so kann die Klammer ohne Änderungen der Vorzeichen innerhalb der Klammer weggelassen werden. (ab-c) a b – (7-43) 7 – 4 3 6 Steht vor der Klammer ein « «, so werden alle «/-« in der Klammer ins Entgegengesetzte umgewandelt! -(ab-c) -a – -(7-43) -7 4 – 3 8 Steht vor der Klammer ein «x», so kann die Klammer ohne Änderungen der Vorzeichen innerhalb der Klammer, weggelassen werden. x(a b c) x x : x(3 4 2) x 3 4 2 Steht vor der Klammer ein «:», so werden alle «x :» in der Klammer ins Entgegengesetze umgewandelt. (a b c) : : x : (3 4 2) : 3 4 2 Wichtig: Das Vorzeichen gehört immer zu der nachfolgenden Zahl! 3–75–2 Und die Klammern werden von innen nach aussen entfernt. [()] Wurzel und Potenzgesetze Multiplikation Division Addition Subtraktion x b x a ab 4 5 4 5 25 9 259 Rechengesetze für Grundrechenarten Kommutativgesetz Bei der Addition und Multiplikation können die einzelnen Summanden bzw. Faktoren miteinander vertauscht werden. (Subtraktion und Division nicht!) ABBA AxBBxA 3443 3x44x3 Assoziativgesetz Bei der Addition und Multiplikation könne die einzelnen Summanden Faktoren beliebig durch Klammern gruppiert werden. (Division und Subtraktion nicht!) (B C) (A B) C 3 (4 5) (3 4) 5 x (B C) (A B) C 3 (4 5) (3 4) 5 Distributivgesetz Treten Addition und Multiplikation gemeinsam auf, so gelten folgende Regeln: x (B C) A B A C 2 (3 4) 2 3 2 4 Ausmultiplizieren Ausklammern Sollst du eine Zahl mit einer Klammer multiplizieren, kannst du die Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen! 2 (4x 5) 8x 10 Achtung: Steht ein minus vor der Klammer, gilt wieder: die Vorzeichen in der Klammer ändern sich! -2 (4x 5) - 8x 10 Beim Ausklammern machst du das Ausmultiplizieren wieder rückgängig. 8x 10 2 (4x 5) Brüche Gemischte Brüche umwandeln Dabei geht man folgendermassen vor: 1. Multipliziere die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner 2. Addiere das Ergebnis zum Zähler 1 121 4 3 4 3 12 3 13 3 Erweitern und Kürzen Es wird eine Zahl mal Nenner gerechnet, so dass dort grössere Werte stehen. Der Nenner und Zähler muss mit derselben Zahl multipliziert werden! 1 1x5 5 3 3 5 15 Multiplizieren und Dividieren b xc x6 b 6 3 d ac axc xd 1 3 b :c 6 1 18 b d b xc xd bxc 1 3 Addieren und Subtrahieren c 1x 4 2 x3 4 6 10 c 3x 4 4x3 12 12 12 b(gleichnahmig) b( gleichnahmig) c 1x 4 2 x3 4 6 2 -c b 3x 4 4 3 12 12 12 b(gleichnahmig) b( gleichnahmig) Gleichungen Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, verbunden durch ein Gleichheitszeichen. 2x 5 3x 7 Um Gleichungen zu lösen, muss man sie durch geeignetes Umformen auf eine einfache Form bringen. Dazu werden die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so lange verändert, bis die einfachste Form erreicht ist – Termumformungen. Zur Anwendung kommen die Rechengrundlagen. Also die Klammerregeln, insbesondere, die mit dem «-« vor der Klammer und oft auch das Ausmultiplizieren. Wichtig: Was man links macht, geschieht auch rechts! 2(5x 3) 10 – 3(2x 1) 1. Schritt: Ausmultiplizieren: Achte auf die Vorzeichen 2(5x 3) 10 – 3(2x 1) 10x 6 10 – 6x – 3 2. Termumformung: Zusammenfassen, was gleich ist. 10x 6 10 – 6x – 3 10x 6 7 – 6x 3. Alle Zahlen mit auf eine Seite und alle Zahlen ohne auf eine Seite. Man macht immer das Gegenteil, von dem was dort steht. 10x 6 7 – 6x 6x 10x 6x 6 7 10x 6x 7 6 -6 4. Wieder beide Seiten vereinfachen bzw. zusammenfassen 10x 6x 7 – 6 4x 1 5. «x» muss alleine stehen, meist durch Division 4x 1 4 x1/4 Bruchlgeichungen Bruchgleichungen sind ähnlich zu lösen, wie normale Gleichungen, wobei sie sich in den ersten paar Schritten unterscheiden. 1. Beide Bruchterme links und rechts vom Gleichheitszeichen gleichnamig machen: gleicher Nenner, links und rechts! x2 x1 3 gleichnamig, mit 6 2 3 3 (x 2) 2 x3 3 6 6 31 xx 66 18 6 2 (x 1) 3 x2 ausmultiplizieren 2 x2 6 2. Anschliessend, kann die ganze Gleichung, mal den Hauptnenner HN multipliziert werden. 3 6 6 18 6 2 x2 6 HN: 6 3x 6 18 – 2x -2 3. Gleichung ganz normal lösen, wie vorhin.