Arbeitsblatt: Kugelrund

LU 15 Material: Arbeitskarte 1 1 Stahlkugel präzise Waage u d• Die Kreisfläche wächst mit dem Quadrat des Radius, respektive mit dem Quadrat des Durchmessers. Der Proportionalitätsfaktor ist wieder die Kreiszahl . Ar • 2 d • • • d2 4 4 2 2 Entsprechend liegt die Vermutung nahe, dass das Kugelvolumen mit der dritten Potenz des Durchmessers wächst. d3 • Wenn es gelingt, diese Konstante zu bestimmen, lässt sich das Kugelvolumen aus dem Durchmesser berechnen. Aufgabe: 1. Nehmt eine kleine, präzis gefertigte Stahlkugel und bestimmt möglichst exakt die Masse und den Durchmesser der Kugel. 2. Bestimmt mit Kenntnissen aus der Physik die Konstante folgendermassen: 3. Die Dichte von Stahl beträgt 7.80 0.05 g/cm3 und für die Dichte gilt: Material: Der Kreisumfang ist proportional zum Durchmesser. Der Proportionalitätsfaktor ist die «Kreiszahl» . 2 LU 15 Arbeitskarte 2 m k • d3 • d3 4. Wie gross wird euere Konstante k? 1 halbkugelförmige Schale präzise Waage Volumen des Zylinders mit Radius und der Höhe VZylinder • 2 • 3 3 •r • 3 Volumen des Kegels mit Radius und der Höhe VKegel 1 1 • • r2 • • r3 • 3 3 Volumen der Halbkugel mit Radius Vermutung: Das Volumen liegt genau zwischen dem Volumen von Kegel und Zylinder. VHalbkugel 2 3 •r • 3 Aufgabe: Prüft mit einer Küchenwaage und einem Massstab die Vermutung folgendermassen: 1. Nehmt eine halbkugelförmige Schale und bestimmt den inneren Durchmesser derselben. 2. Füllt sie mit Wasser und bestimmt durch Wägung ihr Volumen. (Beachtet: 1 kg Wasser entspricht dem Volumen 1 dm3.) 3. Berechnet das Volumen mit der vermuteten Formel für die Halbkugel. 4. Vergleicht das Ergebnis mit dem Messwert. LU 15 Arbeitskarte 3 Haben zwei Körper gleiche Höhe und auf jeder Höhe eine gleich grosse Querschnittsfläche, so haben die beiden Körper nach dem Satz von Cavalieri das gleiche Volumen. Aufgabe: 1. Zeigt, dass die beiden Schnittflächen gleich gross sind. 2. Zeigt, dass das Volumen der Halbkugel die Differenz der beiden Volumen von Zylinder und Kegel ist. 3. Zeigt, dass für das Volumen der Kugel gilt: VKugel 4 • • r3 3 LU 15 Arbeitskarte 4 Archimedes (285-212 v. Chr.) übertrug den Flächenvergleich bei Kreis und Dreieck auf den Volumenvergleich bei Kugel und Kegel. Er beschrieb den Vergleich in seiner Abhandlung «Über Kugel und Zylinder». «. ist mir der Gedanke gekommen, dass die Oberfläche einer Kugel viermal so gross ist wie deren grösster Kreis, indem ich mir vorgestellt habe, dass, wie ein Kreis einem Dreieck gleich ist, dessen Grundlinie der Kreisumfang und dessen Höhe der Kreisradius ist, ebenso die Kugel einem Kegel gleich ist, dessen Grundfläche die Kugeloberfläche und dessen Höhe der Kugelradius ist.» Aufgabe: 1. Erstellt Skizzen, welche die Gedanken von Archimedes veranschaulichen sollen. 2. Erstellt dazu auch einen leichter verständlichen Text. LU 15 Material: Arbeitskarte 5 1 Holzkugel aus Buchenholz präzise Waage Der Kreisumfang ist proportional zum Durchmesser. Der Proportionalitätsfaktor ist die «Kreiszahl» . u d• Die Kreisfläche wächst mit dem Quadrat des Radius, respektive mit dem Quadrat des Durchmessers. Der Proportionalitätsfaktor ist wieder die Kreiszahl . Ar • 2 2 d • • • d2 4 4 2 2 Entsprechend liegt die Vermutung nahe, dass das Kugelvolumen mit der dritten Potenz des Durchmessers wächst. d3 • Wenn es gelingt, diese Konstante zu bestimmen, lässt sich das Kugelvolumen aus dem Durchmesser berechnen. Aufgabe: 1. Nehmt die Holzkugel und bestimmt möglichst exakt die Masse und den Durchmesser der Kugel. 2. Bestimmt mit Kenntnissen aus der Physik die Konstante folgendermassen: 3. Die Dichte von Buchenholz beträgt 0.7 g/cm3 und für die Dichte gilt: m k • d3 • d3 4. Wie gross wird euere Konstante k? LU 15 Arbeitskarte 2