Arbeitsblatt: Brüche Dossier

SINUS.NRW Eine Reise in die Welt der Brüche – Forscherheft zur Unterrichtsreihe „Anteilsvorstellung als Grundlage der Bruchrechnung. 2. Auflage, 2022, vollständig überarbeitet Das vorliegende Arbeitsheft ist entstanden im Zusammenhang des Projektes MA-17-604 „Aufbauendes fachliches Lernen als Basis binnendifferenzierten Unterrichts in Lerngruppen mit ausgeprägter Heterogenität – exemplarisch erarbeitet am Beispiel der Idee des Anteils und der Prozentrechnung (2017 – 2020). Autorinnen: Annett Veit, Peter-August-Böckstiegel-Gesamtschule, Borgholzhausen Katharina Jarczak, Karla-Raveh-Gesamtschule, Lemgo Jeanette Fuhrmann, Karla-Raveh-Gesamtschule, Lemgo Klara Kolcov, Gesamtschule Schloß Holte-Stukenbrock Layout: Annett Veit, Katharina Jarczak Grafische Umsetzung: Katharina Jarczak weitere Mitwirkende: Rudolf vom Hofe, Universität Bielefeld Sebastian Kollhoff, Universität Bielefeld Joachim Roß, QUA-LiS NRW, Soest Der Begleitartikel zur Unterrichtsreihe ist erschienen in SINUS.NRW: Motivation durch kognitive Aktivierung. Impulse zur Weiterentwicklung des Unterrichts in den MINTFächern (Beiträge zur Schulentwicklung Praxis), Roß, Joachim (Hrsg.), (2020). Bielefeld: wbv media. Frei verfügbar zum Download unter php?idcat3525&idart14156 Das Arbeitsheft ist frei verfügbar zum Download unter php?idcat5524. Diese Publikation mit Ausnahme der Grafiken der letzten Seite ist unter folgender Creative-Commons-Lizenz veröffentlicht: creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/de Für alle in diesem Werk verwendeten Warennamen sowie Firmen- und Markenbezeichnungen können Schutzrechte bestehen, auch wenn diese nicht als solche gekennzeichnet sind. Deren Verwendung in diesem Werk berechtigt nicht zu der Annahme, dass diese frei verfügbar seien. Liebe Schülerin, lieber Schüler, auf den Seiten dieses Arbeitsheftes wirst du viele neue und spannende Zusammenhänge aus der Welt der Mathematik kennenlernen. Nach und nach wirst du dabei die Welt der Brüche erkunden. Auf deiner Reise durch dieses Arbeitsheft helfen dir einige Symbole und Hinweise am Seitenrand, die dir hier noch genauer vorgestellt und erklärt werden: Die Brille Sie möchte dich darauf hinweisen, dass an dieser Stelle im Arbeitsheft eine wichtige Information steht, die du aufmerksam lesen solltest, damit du gut weiterarbeiten kannst. Das Licht An diesen Stellen im Arbeitsheft kannst du einen spannenden mathematischen Zusammenhang entdecken. Hier wird dir im wahrsten Sinne des Wortes „ein Licht aufgehen. Das Gehirn Das neu gelernte Wissen wird regelmäßig in Form von kurzen Infokästen noch einmal für dich zusammengefasst, so dass du es dir gut einprägen kannst. Das Symbol weist dich auf solche Wissensübersichten hin. Die Hand Mathematik passiert nicht nur, indem du mit Zettel und Stift rechnest – wann immer dir dieses Symbol begegnet wird es aktiv: Hier ist dein Forschergeist mal anders gefragt. Das Team Gemeinsam statt einsam! Wann immer dir dieses Symbol begegnet, ist Teamarbeit gefragt! Löse diese Aufgaben gemeinsam mit einer Partnerin/einem Partner! Der Rückblick An diesen Stellen sollst du als Forscher noch einmal kurz auf deiner weiteren Reise durch das Arbeitsheft Halt machen und auf all die mathematischen Inhalte und Zusammenhänge zurückblicken, die du bis zu diesem Zeitpunkt schon entdeckt und gemeistert hast. Die Sprechblasen An diesen Stellen sollt ihr als Klasse bzw. Kurs einmal gemeinsam über ein mathematisches Problem nachdenken, euch austauschen und über eure unterschiedlichen Meinungen, Lösungsstrategien und Denkweisen diskutieren. Anregende Impulse und Fragestellungen fürs Gespräch finden sich auf den letzten Seiten des Arbeitsheftes. Das Bonbon Du hast die anderen Aufgaben zu einem Thema bereits alle bearbeitet oder du suchst weitere Herausforderungen? Dann sind die Bonbon-Aufgaben genau das Richtige für dich! Sammle durch die Bearbeitung dieser Aufgaben im Arbeitsheft „Zusatzpunkte. Eine Übersicht über alle Vorhandenen Bonbon-Aufgaben findest du am Ende des Arbeitsheftes. Alles klar?! – Dann steht der Reise in die Welt der Brüche nichts mehr im Weg! Viel Spaß beim Forschen, Entdecken und Bonbons sammeln! Wurde gerecht aufgeteilt? Entscheide für jedes Bild und kreuze an. Die Schokolade wurde Der Käse wurde Das Brezel wurde gerecht geteilt. gerecht geteilt. gerecht geteilt. nicht gerecht geteilt nicht gerecht geteilt. nicht gerecht geteilt. Die Birne wurde Die Walnuss wurde Die Waffel wurde gerecht geteilt. gerecht geteilt. gerecht geteilt. nicht gerecht geteilt nicht gerecht geteilt. nicht gerecht geteilt. Vervollständige die Tabelle. Anzahl der Teile Name der Teile Anzahl der Teile drei Teile Drittel sieben Teile vier Teile neun Teile sechs Teile zehn Teile Name der Teile Die Kuchen in den Abbildungen sind in gleich große Teile geteilt. Gib an, welcher Bruchteil des Ganzen hier abgeteilt wurde. Ein Stück ist ein der Torte. Ein Stück ist ein der Torte. Ein Stück ist ein der Torte. Ein Stück ist ein der Torte. Ein Stück ist ein der Torte. 1 Die Torte im Bild soll mit dem Tortenteiler in gleich große Teile zerschnitten werden. Wie viele Teile werden es sein? Wie heißt eines dieser Teile einer ganzen Torte? Stell dir nun vor, du zerlegst das Ganze (z.B. eine Torte) in eine andere Anzahl gleich großer Teile (indem du z.B. verschiedene Tortenteiler benutzt). In wie viele gleich große Teile wurde das Ganze in den folgenden Abbildungen zerlegt? Wie heißt hier jeweils ein solcher Teil eines Ganzen? In so viele Teile ist das Ganze hier unterteilt: Ein Teil des Ganzen heißt hier: Wie viele Drittel, Viertel, ergeben jeweils einen ganzen Kuchen? Erkläre: 2 Im Fach Hauswirtschaft haben Deniz, Anna, Paula und Tom einen Kuchenteig vorbereitet. Nun überlegen sie, welche Form der Kuchen erhalten soll: Welche Kuchenform würdest du wählen? Wie würdest du den gebackenen Kuchen dann teilen? Zeichne einige Beispiele: Zeichne auch einige Beispiele dafür, wie viel vom Kuchen jeder bekommen würde, wenn es mehr oder weniger als vier Kinder sind: 3 Falte wie in der Abbildung den roten Kreis aus Papier (1.) in der Mitte (2.). Wiederhole den Schritt, indem du den Halbkreis nochmals in der Mitte faltest (3.). Wenn du das Gefaltete nun öffnest, hat dein Papier zwei Faltlinien (4.). Schneide nun ein Viertel der Kreisfläche des roten Papiers aus. Wiederhole die Faltschritte mit dem blauen Kreis und schneide die Hälfte ab. Wiederhole die Faltschritte mit dem grünen Kreis aber so, dass du insgesamt acht anstatt vier gleichgroßer Flächen erhältst. Schneide dann ein Achtel dieser Kreisfläche aus. Bestimme den Teil der Fläche, der dunkelblau eingefärbt ist. (1) (2) (3) (4) Auch ein Rechteck stellt ein Ganzes dar. Falte ein DIN-A4 Blatt wie in dem Bild 2. Falte es auf und beschrifte es wie im Bild 2. Falte das Blatt erneut, wie im Bild 3. Wie viele Teile hast du erhalten? Beschrifte die linke Faltlinie mit dem zugehörigen linksliegenden Bruchteil. Wiederhole den Faltvorgang noch einmal. Wie viele Teile hast du jetzt erhalten? Beschrifte die neu hinzugekommene linke Faltlinie, mit dem zugehörigen Bruch. 4 Falte ein rechteckigen Blatt Papier so, dass du (1) ein Viertel (2) ein Achtel . (3) ein Drittel . (4) ein Sechstel . anschließend färben kannst. In wie viele gleich große Teile ist das Ganze zerlegt? Wie heißt ein solcher Teil? Schreibe unter die Abbildung. (1) (2) (3) (4) (5) (6) In wie viele gleich große Teile wurden die Quadrate gefaltet? Notiere den Bruch, der den gefärbten Bruchteil beschreibt unter den Abbildungen. Blatt 1: Blatt 2: Blatt 4: Blatt 5: Blatt 3: Blatt 6: Falte und färbe selbst quadratische Blätter wie oben abgebildet und klebe sie in dein Heft. 5 1. 2. Stelle jeweils die beiden Brüche auf zwei verschiedene Arten dar. Falte dafür zu jedem Bruch zwei quadratische Blätter. Klebe die Blätter anschließend in dein Heft. 1 1 (1) (2) 4 8 Falte zwei quadratische Blätter so, dass du 16 gleich große Teile erhältst. Zeichne auf diesen Blättern die folgenden Brüche ein: (1) Blatt 1: (2) Blatt 2: 1 Vorderseite: 16 1 Vorderseite: 4 Rückseite: Rückseite: 1 8 1 2 In wie viele gleich große Teile ist das Ganze zerlegt? Wie heißt ein solches Teil? Schreibe unter die Abbildung. Anzahl Teile: Ein Teil heißt Anzahl Teile: Ein Teil heißt 6 Die Klasse 5c möchte die Pflege eines Beetes im Schulgarten übernehmen. Ergänze die Tabelle wie im Beispiel. Anzahl Bild Beet Skizze Beet Teile gerecht auf. Anteil Beetpflege für ein Kind 1 Beet gepflegt von 2 Kindern 1 Beet gepflegt von 4 Kindern 1 Beet gepflegt von 8 Kindern Wie verändert sich der Anteil der Beetpflege, wenn die Pflege auf doppelt so viele Kinder aufgeteilt wird? Beschreibe die Größe des Anteils, wenn immer mehr Kinder dazu kommen? In den folgenden Abbildungen siehst du vier verschiedene Beete des Schulgartens. Ben, Leona, Laura und Kilian bepflanzen jeweils das markierte Stück. Bestimme den jeweiligen Anteil vom Beet. Bens Anteil: Leonas Anteil: Lauras Anteil: Kilians Anteil: Vergleiche das 1. Bild mit dem 4. Bild: Das Beetstück von Ben ist genau so groß wie das von Kilian. Sind ihre Anteile an den Beeten auch gleich groß? Vergleiche auch Leonas und Lauras Beetstücke miteinander. Was gilt hier für den Anteil? Was fällt dir auf? Beschreibe. 7 Wie groß ist der blaue Anteil in jedem Bild? Die Bilder verändern sich nach einem Muster. Wie könnte es in Bild 4 weitergehen? Bild 1 Bild 2 Anteil: Bild 3 Anteil: Bild 4 Anteil: Anteil: Zeichne für Bild 1 bis 3 den Anteil passend ein. Welchen Anteil könnte man in Bild 4 mit Hilfe der Markierungen einzeichnen? Zeichne diesen Anteil. Bild 1 Anteil: Bild 2 1 Anteil: 6 Bild 3 Anteil: 1 10 Bild 4 1 Anteil: 8 Zeichne für jedes Bild den Teil ungefähr passend ein. Ergänze ein viertes Bild. Anteil: 1 8 Anteil: 1 8 Anteil: 1 8 Anteil: 1 8 8 Zerlegt man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, gleich große Teile, dann erhält man Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel, In der Silbe „– tel steckt das Wort „Teil. Man schreibt 1 1 1 1 für ein Halbes, 3 für ein Drittel, für ein Viertel, für ein Fünftel, 2 4 5 1 2 1 3 1 4 ist die Hälfte eines Ganzen. 1 Ganzes hat 2 Teile. 2 1 1 1 ist der 3. Teil eines Ganzen. 1 Ganzes hat 3 Teile. 3 4 Hier ist ein Sechstel von meinem Kuchen. Aber unsere Stücke sind doch gleich groß! Das kann doch gar nicht sein! Ein Sechstel ist doch kleiner als ein Viertel! Was meinst du dazu? Erkläre: Ben unterteilt zwei Streifen in jeweils drei gleich 1 große Teile und beschriftet sie mit 3. Er wundert sich: „Das eine Drittelstück ist kleiner als das Andere! Was meinst du dazu? Erkläre: 9 1 3 ist der 4. Teil eines Ganzen. 1 Ganzes hat 4 Teile. Das ist ein Viertel von meinem Kuchen. Hat er alles richtig gemacht? 1 2 1 4 Entscheide, ob ein Drittel oder ein Halbes von dem gleichen Ganzen größer ist. Begründe zeichnerisch: Entscheide, ob ein Drittel oder ein Viertel von dem gleichen Ganzen größer ist. Begründe schriftlich: Verallgemeinere deine Erkenntnis. Formuliere eine Regel. Regel: 10 In der Auslage einer Bäckerei siehst du diese drei verschiedenen Torten. Wie viel ist von jeder Torte noch übrig? Eine Pizza ist in fünf gleich große Stücke aufgeschnitten. Sarah nimmt zwei von diesen Stücken. Das sind dann zwei Fünftel der ganzen Pizza. Statt „zwei Fünftel schreibt 2 man auch 5 5 2 Erkläre, wie 5 Erkläre, wie 3 2 5 des Ganzen entstehen und zeichne sie in die 8 Kreisfläche ein. des Ganzen entstehen und zeichne sie in die 8 Rechteckfläche ein. 11 1 2 1 1 3 5 , , 4 8 4 8 7 10 5 8 usw. sind Brüche. Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Er benennt die Teile. Der Zähler gibt an, wie viele der gleich großen Teile vorhanden sind. Er zählt die Teile. Zähler Bruchstrich Nenner Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn zwei Ganze in gleich viele Teile zerlegt wurden, das heißt also: ihre Nenner sind bei der Bruchdarstellung gleich. Das Ganze ist nun jeweils ein Rechteck. Welche Brüche sind dargestellt? Erkläre für zwei der Brüche auch, wie sie entstanden sind. (1) (2) Bruch: (3) Bruch: (4) Bruch: Bruch: Erklärung: Gib jeweils Nenner und Zähler an. Schreibe als Bruch. (1) (2) Nenner: Zähler: Bruch: Nenner: Zähler: Bruch: Schreibe als Bruch. (1) sieben Achtel: (2) vier Zehntel: (3) drei Neuntel: (4) fünf Siebtel: (5) fünf Sechstel: (6) zwei Elftel: (7) zweiunddreißig Einundsiebzigstel: 12 Welche Brüche werden durch die Kreise dargestellt? Kreis Bruch 3 1 3 5 1 2 Lösungen zur Aufgabe: 4, 2, 10, 8, 8, 6 Welcher Bruchteil ist blau gefärbt? Ergänze wie im Beispiel. (1) (2) 2 von 6 Flächen sind blau, also (3) von Flächen sind blau, also 2 6 von Flächen sind blau, also (4) von Flächen sind blau, also Aus wie vielen gleichen Teilen besteht die Figur jeweils? Wie viele Teile sind jeweils gefärbt? Notiere den gefärbten Bruchteil! Es gibt mehrere Schreibweisen, um den markierten Bruchteil anzugeben! Notiere zwei Möglichkeiten zu jedem Bild, wie im Beispiel. z.B.: 13 12 24 1 2 Ben behauptet: „Ich habe ein Drittel des Gartenbeetes mit Tomaten, ein Drittel mit Gurken, ein Drittel mit Radieschen und ein Drittel mit Paprika bepflanzt. Kann das sein? Begründe mit Hilfe einer Zeichnung: 1 1 Von einem Gartenbeet bearbeitet Leona 5 und Laura bearbeitet 4. Wer von beiden hat die größere Fläche des Beetes bearbeitet? Begründe durch zwei Zeichnungen: Ergänze den Lückentext mit Hilfe der Begriffe auf den Karten. In dem Bild sind des Streifens markiert. Der beschreibt den Anteil, der gefärbt wurde. Die Zahl 8 ist der des Bruches und gibt an, in wie viele gleich große das geteilt wurde. Die Zahl 3 ist der des Bruches und gibt an, wie viele Felder zum Anteil gehören. 14 Zeichne jeweils den Anteil ein. Vergleiche die Bilder miteinander. 4 5 4 4 10 15 Bestimme die Anteile und vergleiche sie. (1) (2) (3) Was fällt dir auf? Welcher Bruch wird durch die dunkle Fläche dargestellt? Welcher Bruch beschreibt die helle Fläche? Figur Bruch (dunkle Fläche) Bruch (helle Fläche) 15 Der Anteil ist dargestellt. Ergänze zu einem Ganzen. Ben überlegt: Wieso soll der blau gefärbte Anteil 1 3 sein und nicht 1 5 Der Kreis wurde doch in insgesamt fünf Teile geteilt und nicht in drei?!! Erkläre deinem Mitschüler, was Ben beim Bestimmen von Anteilen nicht richtig überlegt hat. Diskutiere hierfür zunächst mit deinem Tischnachbarn. Formuliert dann gemeinsam eine Erklärung: Welcher Bruch ist gefärbt? Ergänze die Sätze: Das Rechteck wurde in gleich große Teile unterteilt. Teile sind dunkel gefärbt. Also sind des Rechtecks dunkel gefärbt. Teile sind weiß gefärbt. Also sind des Rechtecks weiß gefärbt. 16 Gib für jede Figur den Bruchteil an, der gefärbt ist. Ordne die vier Bruchteile anschließend für jeden Aufgabenteil der Größe nach, wie im Beispiel. Beginne mit dem kleinsten Bruchteil. (1) Ordnung der Größe nach: (2) Ordnung der Größe nach: (3) Ordnung der Größe nach: Gib als Bruchteil an, wie viel jeweils zu einem Ganzen fehlt. 3 5 1 2 (1) (2) (3) (4) 4 8 3 6 (5) Zum Ganzen fehlt: Um zur Lösung zu gelangen, darfst du hier auch gerne Zeichnungen anfertigen: 17 3 10 Die Fläche stellt den angegebenen Anteil eines Ganzen dar. (1) 3 6 (2) (3) 2 3 5 9 (4) Zeichne die Anteile ab und ergänze sie jeweils zu einem Ganzen: Der Bruchteil 1 6 2 3 ist falsch dargestellt. Erkläre, was an der Darstellung falsch ist: 18 Im Schaufenster einer Bäckerei stehen noch Reste der Torten des Tages. Gib auf verschiedene Weisen an, wie viel Orangentorte, Himbeertorte und Kirschtorte noch vorhanden ist. Ben und Leona haben Waffeln gebacken. Leona isst eine ganze Waffel und drei Fünftel einer zweiten Waffel. Ben isst drei ganze Waffeln. Stelle als Bruch dar, wie viel Leona uns Ben jeweils gegessen haben. Leona: Ben: 5 und 5 5 1 5 5 5 und 5 5 5 und Brüche, die kleiner als ein Ganzes sind, nennt man echte Brüche: 1 2 5 3 , 7 usw. 2 3 4 9 Brüche können aber auch größer als ein Ganzes oder gleich groß wie ein Ganzes sein. 3 5 3 27 Solche Brüche nennt man unechte Brüche , , usw. 2 2 3 16 Unechte Brüche kann man auch in der gemischten Schreibweise notieren: (1) Zuerst schreibt man auf, wie viele Ganze in dem Bruch stecken. (2) Dahinter schreibt man den Bruch, der dann noch übrig bleibt. Beispiele: 3 2 2 2 1 5 2 3 3 3 2 3 Die gemischte Schreibweise ist also eine Kurzschreibweise für eine Summe aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch. Manche unechten Brüche lassen sich sogar ganz einfach als natürliche Zahl schreiben: Beispiel: 19 6 2 3 ( 2 2 2 2 2 2 Hier wurden Brüche dargestellt. Notiere die Brüche in der gemischten Schreibweise und als unechten Bruch. (1) (2) (4) (3) Färbe die Bruchteile ein und schreibe als gemischte Zahl wie im Beispiel. Beispiel: (1) 13 (2) 9 15 6 (3) 10 6 . 2 Ganze So viele Halbe sind So viele Drittel sind So viele Achtel sind . § 2 § 3 3 Ganze § 2 21 5 5 Ganze 7 Ganze § 2 § 2 10 Ganze § 2 So viele Sechstel sind So viele Zwölftel sind 20 Gib die Brüche in gemischter Schreibweise an. 7 (1) (3) (1) (3) 5 7 17 (3) 2 36 12 10 Nebenrechnungen: 1 34 (2) 28 8 Gib die Brüche als unechte Brüche an. 3 3 17 (4) 15 (1) 10 (2) 3 Nebenrechnungen: (4) 5 7 10 Schreibe den unechten Bruch als natürliche Zahl. Nebenrechnungen: (2) (4) 32 4 39 13 Notiere, wie viel zum nächsten Ganzen fehlt. (1) 1 23 (2) 2 35 Wozu braucht man eigentlich die gemischte Schreibweise? Keine Ahnung, eigentlich kann man jeden Bruch auch in gewöhnlicher Schreibweise darstellen! Fffff Stimmt, aber das hatte doch auch einen Vorteil?! 21 (3) 13 2 (4) 25 8 Nimm Stellung zu der Diskussion: Leona möchte eine Pizza backen. Im Rezept steht, dass sie dafür Mehl benötigt. 3 4 kg Ihre Waage kann aber das Gewicht nur in Gramm anzeigen. Leona rechnet so: Erkläre, wie Leona gerechnet hat. Für den Teig braucht Leona außerdem noch nur eine Milliliter-Einteilung. 3 8 (Liter) Milch. Ihr Messbecher hat jedoch Berechne wie viel Milliliter (m) Wasser Leona benötigt: Auch bei Größen wie Längen, Gewichten, Rauminhalten oder Zeitspannen können Brüche als Maßzahlen auftauchen. Beispiele: 1 2 m, 3 4 kg, 3 8 Berechnung (Beispiel 1): , 1 4 2 5 1m 2 1 2 5 5 5 4 100 cm 20 cm 40 cm 5 1 Berechnung (Beispiel 2): 1m 22 Gib die Länge der blauen Strecke mit einem Bruch in und ohne Bruch in cm an. (1) (2) 1m 1m Länge der blauen Strecke: m. Länge der blauen Strecke: m. Länge der blauen Strecke: cm. Länge der blauen Strecke: cm. Rechnung: Rechnung: (3) (4) 1m 1m Länge der blauen Strecke: m. Länge der blauen Strecke: m. Länge der blauen Strecke: cm. Länge der blauen Strecke: cm. Rechnung: Rechnung: Wandle in die angegebenen Einheiten um. (1) in g: (4) in h: 23 1 2 1 2 kg; 3 8 Tag; kg 3 4 Tag; 11 12 Tag 3 5 (2) in g: 1 4 kg; 3 8 kg (5) in m: 5 8 ; 1 (3) in min: 9 ; 2 10 100 3 2 h; 1 3 4 2 Von 10 Bonbons bekommt Ben 5. Wie viele Bonbons bekommt Ben? (1) Das Ganze besteht aus 10 Bonbons. (2) Dazu werden die 10 Bonbons zuerst in 5 gleiche Teile aufgeteilt. (3) 1 dieser 5 gleichen Teile wird betrachtet, 1 also ist 5