Arbeitsblatt: Dreisatz, Proprtion und Antiproportion

Der Dreisatz Problem 1: 500 Blätter Kopierpapier wiegen 2,4 kg. Wie viel wiegen 17 Blatt? Problem 2: Zwei Bagger heben einen Graben in genau 48 Arbeitsstunden aus. Wie lange würde es dauern, wenn man stattdessen fünf Bagger für die Arbeit einsetzen würde? Problem 3: Eine Nachhilfestunde (45 Minuten) bei Frau Mohn kostet 30 Euro. Im letzten Monat wurde ihre Hilfe sechs Zeitstunden benötigt. Was ist zu zahlen? Die obigen 3 Aufgaben sind typische Dreisatzprobleme: Man hat jeweils zwei Größen, die sich gegenseitig beeinflussen: Vorüberlegung in Problem 1: die Anzahl der Blätter und ihre Masse in Problem 2: die Anzahl der Bagger und die benötigte Arbeitszeit in Problem 3: die beanspruchte Zeit und der zu zahlende Preis Eine jede Größe (auch „Maß genannt) setzt sich aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit zusammen. Bei Dreisatzaufgaben ist es typisch, dass die Größen, die sich gegenseitig beeinflussen, etwas Unterschiedliches messen und deshalb auch unterschiedliche Maßeinheiten haben. in Problem 1: 500 Blätter (1.Maß) und 2,4 kg (2.Maß) in Problem 2: 2 Bagger (1.Maß) und 48 Arbeitsstunden (2.Maß) in Problem 3: 45 Minuten (1.Maß) und 30 Euro (2.Maß) Man darf die Größen deshalb nicht gleichsetzen, also nicht durch ein Gleichheitszeichen verbinden. Stattdessen hat es sich eingebürgert, ein Gleichheitszeichen mit einem Dach darüber zu verwenden, das man als „entspricht bzw. „entsprechen liest. Der Computer kennt dieses Zeichen nicht, deswegen wird es hier hintereinander geschrieben, , obwohl das Dach eigentlich über dem Gleichheitszeichen stehen müsste. 1. Satz in Problem 1: 500 Blätter 2,4 kg in Problem 2: 2 Bagger 48 Arbeitsstunden in Problem 3: 45 Minuten Dreisatz – Stasch – Seite 1 30 Euro Damit ist schon der erste Teil des Dreisatzes erarbeitet. Als zweites sind die Problemstellungen unserer Aufgaben in dieses Schema einzufügen: 2. Satz in Problem 1: 17 Blätter ??? kg in Problem 2: 5 Bagger ??? Arbeitsstunden in Problem 3: 360 Minuten ??? Euro Zur Problemlösung schieben wir einen weiteren (den dritten, daher der Name) Arbeitsschritt ein: Problem 1: Wenn 500 Blätter 2,4 kg wiegen, dann wiegt 1 Blatt nur den 500sten Teil. Problem 2: Wenn 2 Bagger die Arbeit in 48 Stunden schaffen, braucht einer alleine doppelt so lange, denn er muss die Arbeit des zweiten noch zusätzlich machen, wenn er mit seiner eigenen fertig ist. Problem 3: Wenn 45 Minuten 30 Euro kosten, dann kostet 1 Minute nur den 45sten Teil. In Kurzschreibweise: 3. Satz Problem 1: 1 Blatt 2,4 kg 500 Problem 2: 1 Bagger 48 Arbeitsstunden · 2 Problem 3: 1 Minute 30 Euro 45 Jetzt sind wir schon fast am Ziel; dazu kehren wir zum zweiten Schritt zurück, in dem wir die Problemstellung aufgeschrieben haben. Problem 1: Wenn wir wissen, was 1 Blatt wiegt, dann wiegen 17 Blätter auch 17 mal so viel. Problem 2: Wenn wir wissen, wie viel Zeit ein Bagger alleine braucht, dann kann man sich schnell überlegen, dass die Arbeit schneller getan ist, wenn stattdessen 5 Bagger zupacken: die Arbeitszeit schrumpft auf ein Fünftel. Problem 3: Wenn bekannt ist, was 1 Minute kostet, dann weiß man auch, dass 360 Minuten 360 mal so teuer sind. Dreisatz – Stasch – Seite 2 Die kompletten Dreisätze: Problem 1: vollständiger Dreisatz 500 Blätter 2,4 kg also 1 Blatt 2,4 kg 500 2400 : 500 4,8 also 17 Blätter 4,8 · 17 81,6 2 Bagger 48 Arbeitsstunden also 1 Bagger 48 Arbeitsstunden · 2 96 Arbeitsstunden also 5 Bagger 96 Arbeitsstunden 5 19,2 Arbeitsstunden 45 Minuten 30 Euro also 1 Minute 30 Euro 45 also 360 Minuten Problem 2: vollständiger Dreisatz Problem 3: vollständiger Dreisatz 30 Euro 45 · 360 240 Euro Zwei unterschiedliche Typen von Dreisätzen: In Problem 1 und Problem 2 bestand zwischen den Größen, die einander zugeordnet werden, die Beziehung, dass entweder beide miteinander mehr werden oder beide miteinander weniger werden. Mathematisch exakt ausgedrückt (bitte jetzt nicht angewidert wegschauen – das ist wichtig!): • Multipliziert man eine Größe mit einer Zahl, dann muss man die andere Größe mit der gleichen Zahl multiplizieren. • Dividiert man eine Größe durch eine Zahl, dann muss man die andere Größe durch die gleiche Zahl dividieren. • Nur Multiplikation und Division sind als Umformung zugelassen. Größen, die sich so zueinander verhalten, nennt man proportional, den entsprechenden Dreisatz nennt man einen proportionalen Dreisatz. Dreisatz – Stasch – Seite 3 In Problem 3 bestand zwischen den Größen, die einander zugeordnet werden, die Beziehung, dass eine (die Anzahl der Bagger) mehr wird und die andere (die Anzahl der Arbeitsstunden) dadurch weniger wird. Nimmt umgekehrt die erste Größe (die Anzahl der Bagger) zu, dann wird die zweite Größe (die Anzahl der Arbeitsstunden) weniger. Wiederum mathematisch exakt ausgedrückt: • Multipliziert man eine Größe mit einer Zahl, dann muss man die andere Größe durch die gleiche Zahl dividieren. • Dividiert man eine Größe durch eine Zahl, dann muss man die andere Größe mit der gleichen Zahl multiplizieren. • Nur Multiplikation und Division sind als Umformung zugelassen. Größen, die sich so zueinander verhalten, nennt man „umgekehrt proportional oder „antiproportional, den entsprechenden Dreisatz nennt man einen „antiproportionalen Dreisatz. Die entsprechenden Zuordnungen zwischen den Größen heißen „Proportionen und „Antiproportionen Beispiele für proportionale Zuordnungen: Aufgabe 1 Die Preise von Bahnfahrkarten werden häufig nach der Länge der gefahrenen Strecke berechnet. Eine Fahrkarte für eine Entfernung von 42 km kostet 10,08 €. Was würde eine Fahrkarte für eine 62 km lange Strecke kosten? Lösung: 42 km 10,08 € 1 km 10,08 € 42 0,24 € 62 km 0,24 € · 62 14,88 € Die Fahrkarte kostet 14,88 €. Aufgabe 2 In einem Geschäft wird eine bestimmte Sorte Knäckebrot in Packungen zu 400 und zu 250 angeboten. Die große Packung kostet 2,60 €, die kleine 1,75 €. Welche Packungsgröße ist preiswerter? Lösung: 400 2,60 € 1g 2,60 € 400 0,0065 € 250 0,0065 € · 250 1,625 € Beim Grammpreis der 400g-Packung würde die 250g-Packung nur gerundet 1,63 € kosten, bei der 400g-Packung erhält man also mehr für sein Geld. Dreisatz – Stasch – Seite 4 Aufgabe 3 Eine Verkäuferin erhält bei einem Monatsumsatz von 4 900 € zu ihrem Gehalt eine Prämie von 245 €. Wie hoch wird die Prämie bei einem Umsatz von 6780 € sein? [Lösung: 339 €] Aufgabe 4 Im Rezept einer „Reisschüssel für 4 Personen findet man die folgende Zutatenliste: (a) 2 Zwiebeln (b) 400 Hackfleisch (c) 140 Tomatenmark (d) 250 Reis Wie viel braucht man von den jeweiligen Zutaten für 7 Personen? [Lösung: 31/2 Zwiebeln, 700g Hackfleisch, 245g Tomatenmark, 437,5g Reis] Ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung: Aufgabe 5 Der Lebensmittelvorrat einer Raumstation reicht für drei Besatzungsmitglieder 32 Tage. Wie lange reicht dieser Vorrat für vier Besatzungsmitglieder? Lösung: 3 Bes.-M. 32 Tage 1 Bes.-M. 32 Tage · 3 96 Tage 4 Bes.-M. 96 Tage 4 24 Tage Der Vorrat reicht 24 Tage. Entscheide selbst: proportional oder antiproportional? Aufgabe 6 Für 2340 Stehplatzkarten nahm ein Fußballverein 37 440,- € ein. Wie viel € nimmt er für 3120 verkaufte Karten ein? Aufgabe 7 Ein Auszubildender spart auf ein Auto. Wenn er monatlich 220,- € zurücklegt, braucht er 26 Monate. Wie viel muss er monatlich zurücklegen, wenn er nach 20 Monaten fertig sein will? Aufgabe 8 8 Kiwis kosten 7,12 €. Wie teuer sind 12 Kiwis? Aufgabe 9 20 Liter Benzin kosten 23,80 €. Wie teuer sind 32 Liter Benzin? Aufgabe 10 Ein Auto fährt mit gleich bleibender Geschwindigkeit. Wie viel km legt das Auto in 5 Stunden zurück, wenn es in zwei Stunden 190 km fährt? Dreisatz – Stasch – Seite 5 Aufgabe 11 Ein Gewinn soll unter allen Mitspielern gleich verteilt werden. Spielen 14 Personen mit, so erhält jeder 595 €. Wie hoch ist der Gewinn pro Person bei 25 Mitspielern? Aufgabe 12 Die Wände von mehreren Klassenräumen sollen 8 Arbeiter in 15 Stunden renovieren. Drei von den 8 Arbeitern werden krank und arbeiten nicht mit. In welcher Zeit schaffen es die verbliebenen 5 Arbeiter? Aufgabe 13 Mit 5 Baggern plant man eine Baugrube in 13 Arbeitstagen auszuheben. Mit wie vielen Arbeitstagen sollte man rechnen, wenn nur 4 Bagger verfügbar sind? Wie viele Stunden sind am letzten Arbeitstag zu leisten, wenn ein Arbeitstag 8 Stunden dauert? Lösungen: (6) proportional, 49 920 € (7) antiproportional, 286 € (8) proportional, 10,68 € (9) proportional, 38,08 € (10) proportional, 475 km (11) antiproportional, 333,20 € (12) antiproportional, 24 Stunden (13) antiproportional, 16,25 Arbeitstage, 2 Stunden Dreisatz – Stasch – Seite 6