Arbeitsblatt: Mathematik Funktionen 1a/b

Geradengleichung: Die Steigung ablesen Eine lineare Funktion wird in der Regel in der Form yaxby angegeben, wobei: die Steigung (oder der Anstieg) der Geraden ist. der y-Achsenabschnitt ist, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Um die Steigung einer Geraden aus ihrer Gleichung abzulesen, schaut man einfach auf die Zahl, die vor dem steht. Ist die Geradengleichung beispielsweise y2x3, so beträgt die Steigung a2. Gerade durch den Nullpunkt: Steigung ablesen und berechnen Eine Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft, hat die Form Delta über Delta x, da der y-Achsenabschnitt b 0 ist. Um die Steigung zu berechnen, kann man zwei Punkte auf der Geraden wählen, beispielsweise y 4 und x6. Die Steigung wird dann berechnet mit: Delta 4 ---------- ----- 2/3 oder 0.666 (Steigung) Delta 6 Geradengleichung mit positiver Steigung angeben Eine Geradengleichung mit positiver Steigung bedeutet, dass die Gerade von links unten nach rechts oben verläuft. Ein Beispiel wäre y3x1 (Steigung 3 also ). Hier ist die Steigung 3 positiv, was bedeutet, dass die Gerade pro Einheit in xRichtung drei Einheiten in y-Richtung nach oben geht. Wo die y-Achse von der Gerade getroffen wird Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet, ist der y-Achsenabschnitt in der Geradengleichung yaxb. Um diesen Punkt zu bestimmen, setzt man x0 in die Gleichung ein. Der Wert von ist dann der y-Achsenabschnitt. Beispielsweise bei y2x3 ist der y-Achsenabschnitt 3. Die Gerade schneidet also die y-Achse im Punkt (0,3). Aus einer gegebenen Geraden die Gleichung angeben Wenn eine Gerade durch zwei Punkte bekannt ist, lässt sich die Geradengleichung bestimmen. Man berechnet zunächst die Steigung wie oben beschrieben. Aus einer Geradengleichung die Gerade einzeichnen Um eine Gerade einzuzeichnen, benötigt man die Steigung und den yAchsenabschnitt aus der Gleichung yaxb. Man markiert den Punkt (0,b) auf der y-Achse und verwendet dann die Steigung, um weitere Punkte zu finden. Wenn beispielsweise a2, geht man vom Punkt (0,b) zwei Einheiten nach oben und eine Einheit nach rechts, um den nächsten Punkt zu finden. (Werte-)Tabelle einer Geraden ausfüllen und den Graph einzeichnen Eine Wertetabelle wird verwendet, um verschiedene Punkte einer Geraden zu bestimmen. Man wählt einige Werte für x, setzt diese in die Geradengleichung ein, und berechnet die entsprechenden y-Werte. Diese Punkte werden dann in das Koordinatensystem eingezeichnet, und die Punkte werden zu einer Geraden verbunden. Identische Gerade in ein anderes skaliertes Koordinatensystem erkennen Wenn das Koordinatensystem eine andere Skalierung hat, bleibt die Steigung der Geraden gleich, aber die visuelle Darstellung kann sich ändern. Um zu erkennen, ob es sich um dieselbe Gerade handelt, vergleicht man die Steigung und den yAchsenabschnitt, unabhängig von der Skalierung der Achsen. 1b Nicht lineare Funktionen Eine lineare Funktion Sie beschreibt eine konstante Veränderung. Das bedeutet, dass für jede Erhöhung von um eine Einheit, sich um den gleichen Wert verändert. Graphisch dargestellt sind lineare Funktionen immer Geraden. Nicht-lineare Funktionen Sie sind alle Funktionen, die nicht als Gerade im Koordinatensystem dargestellt werden können. Sie haben oft Kurvenverläufe. Ein häufig vorkommender Typ nicht-linearer Funktion ist die exponentielle Funktion. Unterschied zwischen linearen und exponentiellen Funktionen erkennen Graphisch: Lineare Funktionen erscheinen als gerade Linien, exponentielle Funktionen als Kurven. Anhand der Steigung: Bei linearen Funktionen ist die Steigung konstant. Bei exponentiellen Funktionen ändert sich die Steigung stetig. Anhand einer Wertetabelle: In einer Wertetabelle zeigt eine lineare Funktion eine gleichmäßige Zunahme oder Abnahme. Eine exponentielle Funktion zeigt dagegen eine zunehmend größere oder kleinere Veränderung. Anhand einer (Werte-)Tabelle: Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum/Zerfall erkennen und begründen Lineare Funktion: Bei jedem Schritt in nimmt der Wert von um eine konstante Differenz zu. Beispiel: Wenn x1,2,3,4x und die Differenz in bei jedem Schritt 5 ist, dann ist die Veränderung linear (z.B y5x) Exponentielle Funktion: Die Werte von ändern sich durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor (nicht durch Addition oder Subtraktion). Beispiel: Wenn x1,2,3,4x und die Werte von sich bei jedem Schritt verdoppeln, dann handelt es sich um exponentielles Wachstum (z.B y2x) Einfache Sachaufgaben und Beurteilung, ob es sich um linearen oder exponentiellen Wachstum/Zerfall handelt Lineare Wachstums- und Zerfallsprobleme: Beschreiben eine konstante Veränderung. Beispiel: Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 60 km/ h; die Distanz ist eine lineare Funktion der Zeit. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprobleme: Beschreiben eine prozentuale Veränderung pro Zeiteinheit. Beispiele: Bakterien, die sich jede Stunde verdoppeln (Wachstum), oder radioaktive Substanzen, die mit einer Halbwertszeit zerfallen (Zerfall). Sachsituationen: Wachstum/Zerfall mithilfe einer (Werte-)Tabelle, Graphiken und im Koordinatensystem untersuchen Wertetabelle erstellen: Berechne die Werte für verschiedene x-Werte und notiere die Ergebnisse. Dies hilft, die Funktion zu verstehen und die Art des Wachstums oder Zerfalls zu identifizieren. Graphen zeichnen: Zeichne die Punkte der Wertetabelle in einem Koordinatensystem ein. Bei einer linearen Funktion sollten die Punkte auf einer Geraden liegen, bei einer exponentiellen Funktion auf einer Kurve. Untersuchung im Koordinatensystem: Analysiere den Verlauf der Graphen. Exponentielles Wachstum steigt schneller als lineares Wachstum und wächst unbegrenzt, während exponentieller Zerfall schnell abfällt. Zuwachs Formel q 1 p/100