Arbeitsblatt: Funktionen & Zuordnungen: Graphen prüfen, Punktprobe & Anwendungsaufgabe (inkl. Lösungen)

Funktionen Funktionale Zusammenhange Name: . . . . . . . . . . . . . Datum: . . . . . . . . . . . . . 1. Grundlagen: Was ist eine Funktion? In Naturwissenschaften und Mathematik beschreiben wir Zusammenhange dadurch, wie eine Große von einer anderen abhangt (z. B. die Flugstrecke eines Balls in Abhangigkeit von der Zeit). MERKSATZ: Funktionale Zuordnung Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert einer Eingangsgroße (aus der Definitionsmenge) genau einen Wert einer Ausgangsgroße (x) bzw. (aus der Wertemenge) zuordnet. • heißt Stelle (oder Argument unabhangige Variable). • (x) heißt Funktionswert an der Stelle (oder abhangige Variable y). Wichtig zur Eindeutigkeit: Zu einer x-Stelle gibt es immer nur einen (x)-Wert. Umgekehrt konnen aber zwei verschiedene x-Stellen denselben (x)-Wert besitzen. 2. Anwendungsbeispiel: Flugbahn eines Fußballs Ein Fußball wird abgeschlagen. Mathematisch gesehen setzt sich die Kurve nach links und rechts unendlich fort (gestrichelte Linie im Diagramm). Im physikalischen Sachkontext ist jedoch nur das Intervall ab dem Abstoß (x 0) bis zur Landung (x 24 m) sinnvoll, da der Ball nicht im Boden versinkt. (x) (Hohe in m) 7 S(12 5,8) 5.8 4 2 0 -2 -1 0 5 10 12 15 19 24 26 (Entfernung in m) Hinweis zur Eindeutigkeit: An der Stelle 5 erreicht der Ball genau eine Hohe von (5) 3,8 m. Derselbe Funktionswert von 3,8 wird jedoch an zwei verschiedenen Stellen erreicht (x 5 beim Steigen und 19 beim Sinken). 1 3. Aufgabenstellung Aufgabe 1: Eindeutigkeit von Graphen prufen (Senkrechten-Test) Entscheide bei den folgenden drei Darstellungen im Koordinatensystem, ob es sich um den Graphen einer Funktion (x) handelt. Begrunde deine Entscheidung kurz. a) b) c) . . . Funktion . . . Funktion . . . Funktion . . . Keine Funktion . . . Keine Funktion . . . Keine Funktion Aufgabe 2: Punkte an einem Funktionsgraphen prufen Gegeben ist der Graph einer Funktion 3. Grades (x) 0,5x3 2x. Im Koordinatensystem sind verschiedene Punkte eingezeichnet. Ein Teil dieser Punkte liegt auf dem Funktionsgraphen, andere liegen außerhalb. (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 a) Lies die Koordinaten der im Koordinatensystem eingezeichneten Punkte ab: A(· · · . . B(· · · . . C(· · · . . D(· · · . . b) Uberprufe fur jeden Punkt rechnerisch durch Einsetzen in (x) 0,5x3 2x, ob er exakt auf dem Funktionsgraphen liegt oder nicht. 2 Aufgabe 3: Zuordnungen und Punktproben Teil A: Eindeutigkeit der Schreibweise interpretieren Gegeben sind Punktangaben (x y) und Funktionswerte (x) y. Prufe jeweils, ob die Aussagen mathematisch aquivalent sind (Kreuze an): 1. Ist die Angabe (3) 4 gleichbedeutend mit dem Punkt (3 4) auf dem Graphen? ] Nein 2. Ist die Angabe (2) 21 gleichbedeutend mit dem Punkt (21 2)? Nein Ja Teil B: Rechnerische Uberprufung (Punktprobe) Uberprufe durch Rechnung, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion (x) liegt: a) (x) 2x2 mit Punkt (3 18) b) (x) 3x2 9 mit Punkt (2 21) c) (x) x2 4x 1 mit Punkt (2 3) d) (x) 0,5x2 5 mit Punkt (4 3) Aufgabe 4: Wertetabelle und Graph zeichnen Gegeben ist die Funktion (x) 1,7x2 3x. a) Vervollstandige die Wertetabelle: 1 0 1 2 3 (x) 1,7x2 3x b) Zeichne den Graphen der Funktion im Intervall [1; 3] in ein Koordinatensystem. 3 Ja 4. Ausfuhrliche Losungen Losung zu Aufgabe 1 • a) Parabel: Ja, eine Funktion. Jeder Stelle wird genau ein y-Wert zugeordnet. • b) Spirale: Keine Funktion! Eine senkrechte Linie schneidet die Spirale an mehreren Stellen. Dammit werden einer x-Stelle mehrere y-Werte zugeordnet (Verletzung der Eindeutigkeit). • c) Gerade Linie: Ja, eine Funktion. Jedem x-Wert wird eindeutig ein y-Wert zugeordnet. Losung zu Aufgabe 2 a) Abgelesene Punkte: A(2 0), B(1 2), C(2 2), D(1 1,5) b) Rechnerische Uberprufung mit (x) 0,5x3 2x: • (2) 0,5(2)3 2(2) 4 4 0 A(2 0) liegt auf dem Graphen. • (1) 0,5(1)3 2(1) 0,5 2 1,5 2 B(1 2) liegt nicht auf dem Graphen. • (2) 0,5(2)3 2(2) 4 4 0 2 C(2 2) liegt nicht auf dem Graphen. • (1) 0,5(1)3 2(1) 0,5 2 1,5 D(1 1,5) liegt auf dem Graphen. Losung zu Aufgabe 3 Teil A: 1. Ja. (3) 4 bedeutet: An der Stelle 3 ist der Funktionswert 4, somit (3 4). 2. Nein. Vertauschte Koordinaten! (2) 21 entspricht (2 21) und nicht (21 2). Teil B: Punktproben a) (3) 2 · (3)2 18 (3 18) liegt darauf. b) (2) 3 · (2)2 9 12 9 21 (2 21) liegt darauf. c) (2) (2)2 4(2) 1 4 8 1 3 (2 3) liegt darauf. d) (4) 0,5 · (4)2 5 8 5 3 (4 3) liegt darauf. Losung zu Aufgabe 4 a) Berechnete Tabellenwerte zu (x) 1,7x2 3x: • (1) 1,7(1)2 3(1) 1,7 3 4,7 • (0) 1,7(0)2 3(0) 0 • (1) 1,7(1)2 3(1) 1,3 • (2) 1,7(2)2 3(2) 6,8 6 0,8 • (3) 1,7(3)2 3(3) 15,3 9 6,3 1 0 1 2 3 (x) 4,7 0 -1,3 0,8 6,3 4