Arbeitsblatt: Arbeitsblatt: Die 1. Binomische Formel (Theorie, Beispiele & Übungen)

DIE 1. BINOMISCHE FORMEL Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klasse: . . . . . Datum: . . . . . . . . Lernziele Motivation Warum brauchen wir das? Die binomischen Formeln sind Abkurzungen beim Ausmultiplizieren. Sie sparen Zeit und helfen dir spater beim Losen von schwierigen Gleichungen! Nach dieser Lerneinheit kannst du: Die 1. binomische Formel anwenden, Terme ausmultiplizieren und Lucken erganzen. 1. Erklarung Allgemeine Formel Die 1. Binomische Formel hilft dir dabei, ein Quadrat einer Summe schnell auszumultiplizieren, ohne jedes Mal die Klammern einzeln verrechnen zu mussen. Allgemeine Formel (a b)2 a2 2 · · b2 Merke: 1. Quadriere den ersten Term (a)2 1. Multipliziere beide Terme miteinander und verdopple das Ergebnis (2 · · b). 2. Quadriere den zweiten Term (b2 ). 2. Geometrische Veranschaulichung Bedeutung Stell dir ein großes Quadrat mit der Seitenlange (a b) vor. Die Gesamtflache besteht aus vier Teilflachen: • Einem großen Quadrat mit der Flache a2 • Zwei gleichen Rechtecken mit der Flache · • Einem kleinen Quadrat mit der Flache b2 3. Schritt-fur-Schritt-Beispiele Beispiel 1: Einfache Zahl Berechne: (a 5)2 (a 5)2 a2 2 · · 5 52 (1. Formel anwenden) a2 2 · 5 · 25 (Mitte zusammenfassen 52 ausrechnen) a2 10a 25 1 Beispiel 2: Mit Koeffizienten Berechne: (5x 7)2 (5x 7)2 (5x)2 2 · (5x) · 7 72 (1. Formel anwenden) 52 · x2 2 · 5 · 7 · 49 (Quadrat auf 5 und anwenden) 25x2 70x 49 Beispiel 3: Zwei verschiedene Variablen Berechne: (11u 13v)2 (11u 13v)2 (11u)2 2 · (11u) · (13v) (13v)2 112 · u2 2 · 11 · 13 · · 132 · 2 121u2 286uv 169v2 Achtung: Typischer Fehler! Haufiger Falsch-Ansatz Falsch: (a b)2 a2 b2 (Das mittlere Element 2ab wurde vergessen!) 2 2 Richtig: (a b) a 2ab b2 4. Umkehrung: Aus der ausmultiplizierten Form die Klammer bilden Manchmal sollst du aus dem Ergebnis wieder die Ursprungsklammer (a b)2 machen. Musterbeispiel: Wandle 9x2 24x 16 in ein Binom um. 9x2 24x 16 9x2 · · · · · · 16 (Wurzel aus erstem und letztem Term ziehen) (3x)2 2 · (3x) · 4 42 (Probe fur den mittleren Term: 2 · 3x · 4 24x) (3x 4)2 —- 5. Aufgaben zum Selbstlosen Aufgabe 1: Multipliziere mit der 1. Binomischen Formel aus. 1. (x 3)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (m 8)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (a 12)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4. (25 y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. (3a 4)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (37 2b)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. (6p 5q)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. (7x 9y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. (10ab 0, 5)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. ( 3 8y 4 )2 Aufgabe 2: Schreibe als Quadrat einer Summe (Klammerform). 1. 2 12y 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 16x2 40x 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 81a2 180ab 100b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3: Finde die fehlenden Zahlen in den Lucken: )2 16x2 1. (4x 2. 11)2 25a2 3. 144 4. 256a2 76x ( 9, 6a ( 49 121 )2 )2 Aufgabe 4: Textaufgabe (Geometrie) Ein quadratisches Grundstuck hat eine Seitenlange von Metern. Es wird auf einer Seite um 4 Meter und an der angrenzenden Seite ebenfalls um 4 Meter vergroßert. 1. Stellen Sie den Term fur den Flacheninhalt des neuen, vergroßerten Grundstucks als Produkt auf. 2. Multiplizieren Sie diesen Term mithilfe der ersten binomischen Formel aus. 3 6. Losungen (Zur Selbstkontrolle) Zu Aufgabe 1 (Ausmultiplizieren): 1. x2 6x 9 2. m2 16m 64 3. a2 24a 144 4. 625 50y y 2 5. 9a2 24a 16 6. 1369 148b 4b2 7. 36p2 60pq 25q 2 8. 49x2 126xy 81y 2 9. 100a2 b2 10ab 0, 25 10. 9 2 16 12xy 64y 2 Zu Aufgabe 2 (Klammerform): 1. (y 6)2 2. (4x 5)2 3. (9a 10b)2 Zu Aufgabe 3 (Lucken fullen): 1. (4x 7)2 16x2 56x 49 2. (5a 11)2 25a2 110a 121 3. 144 24x x2 (12 x)2 *(Hinweis: Der mittlere Term bei 144 und x2 ist 24x)* 4. (16a)2 0, 6a (0, 3)2 . *(Losung fur Lucken: 9, 6a und (16a 0, 3)2 )* Zu Aufgabe 4 (Textaufgabe): 1. Produkt: (x 4) · (x 4) (x 4)2 2. Ausmultipliziert: x2 8x 16 4