Arbeitsblatt: Geometrische Körper – Theorie, Übungen und Lösungen

Geometrische Körper Name: Datum: Geometrische Körper nehmen Raum ein. Du kannst Modelle davon in die Hand nehmen und von verschiedenen Seiten betrachten. In diesem Skript beschreibst du Körper, untersuchst ihre Oberfläche und lernst Netze sowie Ansichten kennen. Das lernst du Du erkennst Würfel, Quader, Kugel, Zylinder und Pyramide. Du zählst Flächen, Kanten und Ecken und unterscheidest eine Form von einem Körper. Du untersuchst Würfelnetze und liest einfache Baupläne. Kegel, Prisma und Volumen sind als Vertiefung ergänzt. Form oder Körper Ebene Form Wo du diese Form am Körper findest Quadrat Fläche eines Würfels Rechteck Fläche eines Quaders Kreisfläche Grundfläche oder Deckfläche eines Zylinders Die Fläche an einer Seite eines Würfels ist ein Quadrat. Der ganze Würfel ist ein Körper. Auch wenn ein Körper auf Papier nur als Bild erscheint, stellen wir uns seine räumliche Form vor. Flächen Kanten und Ecken Eine Fläche ist ein Teil der Oberfläche. Bei einem Würfel oder Quader treffen zwei Flächen an einer Kante zusammen. Wo mehrere Kanten zusammentreffen, liegt eine Ecke. Verdeckte Kanten werden in Zeichnungen oft gestrichelt dargestellt. Eine Zeichnung zeigt nicht immer alle Teile. Beim Zählen musst du deshalb auch die Flächen, Kanten und Ecken berücksichtigen, die auf der Rückseite liegen. Geometrische Körper 1 Körper mit ebenen Flächen Körper Flächen Kanten Ecken Würfel 6 Quadrate 12 8 Quader 6 Rechtecke 12 8 Quadratische Pyramide 1 Quadrat und 4 Dreiecke 8 5 Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Beim Quader sind die gegenüberliegenden Flächen jeweils gleich gross und gleich geformt. Ein Würfel ist ein besonderer Quader; seine Rechtecke sind alle Quadrate. Eine Pyramide hat eine Vielecksfläche als Grundfläche. Die dreieckigen Seitenflächen treffen sich in einer gemeinsamen Spitze. Hier betrachten wir eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Pyramiden mit anderen Grundflächen haben andere Anzahlen von Flächen, Kanten und Ecken. Vertiefung Das Dreiecksprisma Ein Prisma besitzt zwei parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grund- und Deckfläche. Bei einem geraden Prisma sind die übrigen Flächen Rechtecke. Das abgebildete Dreiecksprisma hat insgesamt fünf Flächen. Auch Quader und Würfel gehören zu den Prismen. Geordnet zählen Zähle beim Quader zuerst die vier Ecken unten und dann die vier oben. Bei den Kanten zählst du vier unten, vier oben und vier Verbindungen. So übersiehst du nichts und zählst nichts doppelt. Geometrische Körper 2 Körper mit gekrümmten Flächen Die Kugel Eine Kugel hat eine durchgehend gekrümmte Oberfläche. Sie besitzt keine ebenen Flächen, keine Kanten und keine Ecken. Ein Ball ist annähernd kugelförmig. Eine Kugel kann in jede Richtung rollen. Der Zylinder Ein gerader Kreiszylinder hat zwei gleich grosse, parallele Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Er besitzt keine Ecken. Eine Konservendose ist annähernd zylinderförmig. Auf seiner Kreisfläche kann der Zylinder stehen; auf seinem Mantel kann er rollen. Vertiefung Der Kegel Ein gerader Kreiskegel hat eine Kreisfläche als Grundfläche, eine gekrümmte Mantelfläche und eine Spitze. Ein geschlossener Modellkegel ist ein gutes Beispiel. Eine echte Glacecornet-Waffel ist dagegen oben offen. Körper Ebene Flächen Gekrümmte Fläche Rundkanten Spitzen Kugel 0 1 0 0 Zylinder 2 Kreise 1 Mantelfläche 2 0 Kegel 1 Kreis 1 Mantelfläche 1 1 Sprachregel in diesem Skript: Eine Rundkante ist die kreisförmige Grenze zwischen einer ebenen und einer gekrümmten Fläche. Wir unterscheiden sie von geraden Kanten. Die Kegelspitze zählen wir gesondert als Spitze. So bleibt klar, was jeweils gezählt wird. Vergleiche im Alltag Alltagsgegenstände passen oft nur ungefähr zu einem geometrischen Körper: Eine Dose hat einen Rand, ein Ball Nähte und eine Schachtel Laschen. Für das geometrische Modell lassen wir diese kleinen Einzelheiten weg. Geometrische Körper 3 Körpernetze untersuchen Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche eines Körpers aufgeklappt in der Ebene. Wenn du es passend faltest, entsteht der Körper. Bei einem richtigen Netz gibt es keine fehlenden Flächen und keine Flächen, die übereinanderliegen. Ein Würfelnetz Sechs gleich grosse Quadrate sind nötig, aber ihre Anordnung muss passen. Sechs Quadrate in einer geraden Reihe ergeben zum Beispiel keinen Würfel. Am Modell kannst du prüfen, ob sich der Körper schliessen lässt. Ein Quadernetz Ein Quadernetz enthält sechs Rechtecke. Gegenüberliegende Flächen sind gleich gross und gleich geformt. Bei einem Quader mit Länge a, Breite und Höhe brauchst du je zwei Rechtecke mit den Massen b, und c. Vertiefung Ein Pyramidennetz Ein Modell herstellen Übertrage ein Netz auf Papier. Schneide nur am äusseren Rand aus. Falte entlang der inneren Linien. Halte die Flächen mit Klebeband zusammen. Für ein Modell mit Leim ergänzt du vor dem Ausschneiden Klebelaschen; sie gehören nicht zur geometrischen Oberfläche. Geometrische Körper 4 Ansichten Baupläne und Rauminhalt Eine Ansicht zeigt einen Körper aus einer bestimmten Blickrichtung. Du kannst von vorne, von der Seite oder von oben schauen. Die Ansicht von oben heisst Aufsicht. Ein Schrägbild zeigt mehrere Seiten gleichzeitig und macht die räumliche Form sichtbar. Einen Bauplan lesen In einem Höhenplan steht in jedem Feld die Höhe des Würfelturms. Die Würfel stehen ohne Lücken aufeinander. Die reine Aufsicht zeigt nur, welche Felder besetzt sind. Mit Höhenzahlen erfährst du zusätzlich, wie hoch die Türme sind. Für die Vorderansicht schaust du von «vorne» auf den Plan. In jeder Spalte ist der höchste Turm sichtbar: im Beispiel 2, 2 und 1 Würfel hoch. Ein höherer Turm hinten ragt über einen niedrigeren Turm vorne hinaus. Vertiefung Das Volumen Das Volumen beschreibt, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 1 cm. Bei einem vollständig gefüllten Quader zählst du die Würfel einer Schicht und multiplizierst mit der Anzahl Schichten. Beispiel: Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Eine Schicht enthält 4 · 3 12 Einheitswürfel. Zwei Schichten enthalten 24 Einheitswürfel. Also ist 4 · 3 · 2 24 cm. Merke: Umfang wird in Längeneinheiten, Flächeninhalt in Quadrateinheiten und Volumen in Kubikeinheiten angegeben. Geometrische Körper 5 Übungen zu Körpern und Eigenschaften 1 Modelle im Alltag Welcher Körper passt ungefähr? a) Schuhschachtel: b) Spielwürfel: c) Fussball: d) Konservendose: 2 Flächen Kanten und Ecken Körper Flächen insgesamt Gerade Kanten Ecken Würfel Quader Quadratische Pyramide Dreiecksprisma Vertiefung. Hier ist ein gerades Dreiecksprisma gemeint. 3 Wer bin ich a) Ich habe keine Ecken und keine Kanten. Meine gesamte Oberfläche ist gekrümmt. b) Ich habe sechs Flächen. Jede davon ist ein gleich grosses Quadrat. c) Ich habe zwei ebene Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. d) Meine Grundfläche ist ein Quadrat. Meine vier Seitenflächen treffen sich in einer Spitze. 4 Aussagen begründen a) «Jeder Würfel ist ein Quader.» Stimmt das? Begründe. b) «Jede Pyramide hat fünf Ecken.» Stimmt das? Begründe. c) «Ein Kreis und eine Kugel sind dasselbe.» Stimmt das? Begründe. Geometrische Körper 6 Übungen zu Netzen und Bauplänen 5 Ein Würfelnetz finden Welches Netz lässt sich zu einem Würfel falten? Begründe und überprüfe deine Vermutung mit einer ausgeschnittenen Kopie. 6 Ein Würfelgebäude untersuchen a) Wie viele Würfel brauchst du? b) Wie viele Felder sind von oben besetzt? c) Notiere die Turmhöhen der Vorderansicht von links nach rechts: d) Zeichne auf Karopapier die Vorderansicht und die rechte Seitenansicht. Bei der rechten Seitenansicht liegt «vorne» links in deiner Zeichnung. 7 Vertiefung Einen Quader füllen Ein Quader ist 5 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele Würfel mit 1 cm Kantenlänge passen lückenlos hinein? Gib auch das Volumen an. 8 Vertiefung Ein Quadernetz planen Ein Quader hat die Kantenlängen 6 cm, 4 cm und 2 cm. Welche Rechtecke brauchst du für sein Netz? Notiere zu jeder Rechteckgrösse auch die Anzahl. Zeichne auf ein separates Blatt ein mögliches Netz. Geometrische Körper 7 Lösungen zu den Aufgaben 1 bis 5 1 Modelle a) Quader. b) Würfel. c) Kugel. d) Zylinder. Die Gegenstände müssen dem geometrischen Modell nur annähernd entsprechen. 2 Eigenschaften Körper Flächen Gerade Kanten Ecken Würfel 6 12 8 Quader 6 12 8 Quadratische Pyramide 5 8 5 Dreiecksprisma 5 9 6 Beim Dreiecksprisma: zwei Dreiecksflächen und drei Rechtecksflächen; je drei Kanten an den beiden Dreiecken und drei verbindende Kanten; je drei Ecken an den beiden Dreiecken. 3 Körperrätsel a) Kugel. b) Würfel. c) Zylinder. d) Quadratische Pyramide. 4 Aussagen a) Richtig. Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen. Quadrate sind besondere Rechtecke. Der Würfel erfüllt daher die Eigenschaften eines Quaders. b) Falsch. Nur eine Pyramide mit viereckiger Grundfläche hat fünf Ecken. Eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche hat drei Ecken an der Grundfläche und eine Spitze, insgesamt vier Ecken. c) Falsch. Ein Kreis ist eine ebene Form. Eine Kugel ist ein räumlicher Körper. 5 Würfelnetz Netz ist ein Würfelnetz. Vier Quadrate bilden den umlaufenden Mantel; die beiden übrigen schliessen den Würfel oben und unten. Netz ist kein Würfelnetz. Beim Falten würden Flächen überlappen. Sechs Quadrate allein genügen also nicht. Zusätzliche Kontrolle an Netz B: An den inneren Gitterpunkten treffen vier Quadrate zusammen. An einer Ecke eines Würfels treffen aber nur drei quadratische Flächen zusammen. Tipp zum Weiterüben Baue die Körper nach oder nimm eine passende Schachtel. Zeige beim Erklären auf jede gezählte Fläche, Kante und Ecke. So verbindest du das Bild auf dem Papier mit dem räumlichen Modell. Geometrische Körper 8 Lösungen zu den Aufgaben 6 bis 8 6 Würfelgebäude a) 2 0 1 1 3 1 8 Würfel. b) Fünf Felder sind besetzt. Das Feld mit der 0 bleibt frei. c) Vorderansicht von links nach rechts: 2, 3, 1. d) Rechte Seitenansicht von vorne nach hinten: 3, 2. 7 Quader Eine Schicht enthält 5 · 3 15 Einheitswürfel. Es gibt zwei Schichten: 15 · 2 30 Würfel. Das Volumen beträgt 30 cm. 8 Quadernetz Du brauchst zwei Rechtecke 6 cm 4 cm, zwei Rechtecke 6 cm 2 cm und zwei Rechtecke 4 cm 2 cm. Eine mögliche Anordnung: Vier Seitenrechtecke bilden einen Streifen mit Breiten 6, 4, 6 und 4 cm und Höhe 2 cm. An einem Rechteck 6 cm 2 cm liegt oberhalb und unterhalb je ein Rechteck 6 cm 4 cm. Hinweise für Lehrpersonen Einsatz: Theorie auf Seiten 1 bis 5, Aufgaben auf Seiten 6 und 7, Lösungen ab Seite 8. Modelle aus Schachteln, Würfeln und Papier erleichtern den Einstieg. Die Vertiefungen zu Prisma, Kegel und Volumen nach Lernstand auswählen. Beim Zählen gekrümmter Körper die Begriffe Rundkante und Spitze vorher vereinbaren; Lehrmittel verwenden hier unterschiedliche Zählweisen. Lehrplanbezug: Orientierung am Aargauer Lehrplan Volksschule, Fach Mathematik, Form und Raum: MA.2.A.1 (Begriffe und Körper), MA.2.C.1 (Ansichten, Schrägbilder und Netze), MA.2.A.3 (Würfel und Quader; Volumen als Vertiefung). Der Lehrplan ordnet Kompetenzen Zyklen zu; das Dossier ist keine verbindliche Jahresplanung. Quellen zur Einordnung: ag.lehrplan.ch, MA.2.A.1, MA.2.C.1 und MA.2.A.3; abgerufen am 24.10.2026. Texte, Aufgaben und Zeichnungen wurden für dieses Dossier neu erstellt. Keine Abbildungen oder Aufgaben aus Lehrmitteln übernommen. Geometrische Körper 9