Arbeitsblatt: Wahrscheinlichkeit 3. Sekundarstufe mit Lösung

Mathematikprüfung – Wahrscheinlichkeit 3. Sekundarstufe Niveau Sek / mittlerer bis anspruchsvoller Schwierigkeitsgrad Name: Datum: Zeit: 60 Minuten Total: 40 Punkte Erreichte Punkte: 40 Hinweise: Rechenwege und Begründungen aufschreiben. Brüche vollständig kürzen. Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert angeben. Taschenrechner gemäss Vorgabe der Lehrperson. Aufgabe 1: Grundbegriffe und Wahrscheinlichkeiten (5 Punkte) Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. a) Gib die Ergebnismenge an. (1 P.) b) Wie gross ist P(gerade Zahl)? (1 P.) c) Wie gross ist P(Zahl grösser als 4)? (1 P.) d) Wie gross ist P(keine 6)? (1 P.) e) Erkläre kurz, was ein sicheres Ereignis ist, und nenne hier ein Beispiel. (1 P.) Aufgabe 2: Ziehen aus einer Urne (5 Punkte) In einer Urne liegen 5 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln. Es wird zufällig eine Kugel gezogen. a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für Blau? (1 P.) b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für Rot oder Grün? (2 P.) c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, nicht Grün zu ziehen? (2 P.) Seite 1 Aufgabe 3: Zweimal würfeln (5 Punkte) Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Die Ergebnisse sind unabhängig. a) Wie viele geordnete Ergebnisse sind möglich? (1 P.) b) Bestimme P(zweimal eine 6). (2 P.) c) Bestimme P(bei beiden Würfen eine gerade Zahl). (2 P.) Aufgabe 4: Baumdiagramm ohne Zurücklegen (5 Punkte) In einer Schachtel liegen 3 rote und 2 blaue Bonbons. Es werden nacheinander zwei Bonbons gezogen, ohne Zurücklegen. a) Zeichne ein beschriftetes Baumdiagramm mit allen Ästen und Wahrscheinlichkeiten. (2 P.) b) Berechne P(beide rot). (1 P.) c) Berechne P(genau ein blaues Bonbon). (2 P.) Seite 2 Aufgabe 5: Vierfeldertafel relative Häufigkeit (5 Punkte) In einer Klasse mit 30 Jugendlichen spielen 18 ein Instrument. Von diesen 18 treiben 12 regelmässig Sport. Von den 12 ohne Instrument treiben 5 regelmässig Sport. a) Ergänze eine Vierfeldertafel mit den Merkmalen Instrument (ja/nein) und Sport (ja/nein). (3 P.) b) Wie gross ist P(Sport), wenn zufällig eine Person aus der Klasse gewählt wird? (1 P.) c) Wie gross ist P(Sport Instrument)? (1 P.) Aufgabe 6: Mindestens einmal (5 Punkte) Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 fällt. (2 P.) b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 fällt. (2 P.) c) Begründe, weshalb die Gegenwahrscheinlichkeit hier hilfreich ist. (1 P.) Seite 3 Aufgabe 7: Mit Zurücklegen – Kombinationen (5 Punkte) In einem Beutel liegen 4 schwarze und 6 weisse Kugeln. Eine Kugel wird gezogen, zurückgelegt und eine zweite gezogen. a) Berechne P(zweimal schwarz). (2 P.) b) Berechne P(verschiedene Farben). (2 P.) c) Sind die beiden Ziehungen unabhängig? Begründe. (1 P.) Aufgabe 8: Wahrscheinlichkeit beurteilen (5 Punkte) Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder: 3 rote, 2 gelbe und 3 blaue. Ein Spiel kostet CHF 2. Bei Rot erhält man CHF 4, bei Gelb CHF 2 und bei Blau CHF 0 (jeweils als gesamte Auszahlung). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für Rot, Gelb und Blau. (2 P.) b) Berechne die durchschnittliche Auszahlung pro Spiel (Erwartungswert). (2 P.) c) Ist das Spiel aus Sicht der spielenden Person auf lange Sicht fair? Begründe. (1 P.) Ende der Prüfung – viel Erfolg! Seite 4 Lösungen und Bewertungsschlüssel Aufgabe 1 (5 P.) a) {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (1 P.) b) 3/6 1/2 50 %. (1 P.) c) 2/6 1/3. (1 P.) d) 5/6. (1 P.) e) Sicheres Ereignis: tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 ein, z. B. «Zahl zwischen 1 und 6». (1 P.) Aufgabe 2 (5 P.) Insgesamt 10 Kugeln. a) 3/10 30 %. (1 P.) b) (5 2)/10 7/10 70 %. (2 P.) c) 1 2/10 8/10 4/5 80 %. (2 P.) Aufgabe 3 (5 P.) a) 6 · 6 36 geordnete Ergebnisse. (1 P.) b) (1/6) · (1/6) 1/36. (2 P.) c) (3/6) · (3/6) 1/4 25 %. (2 P.) Aufgabe 4 (5 P.) a) Erster Zug: 3/5, 2/5. Nach R: 2/4, 2/4. Nach B: 3/4, 1/4. (2 P.) b) P(RR) 3/5 · 2/4 3/10. (1 P.) c) P(RB oder BR) 3/5 · 2/4 2/5 · 3/4 3/10 3/10 3/5. (2 P.) Seite 5 Lösungen und Bewertungsschlüssel (Fortsetzung) Aufgabe 5 (5 P.) Sport ja Sport nein Total Instrument ja 12 6 18 Instrument nein 5 7 12 Total 17 13 30 a) Tafel vollständig richtig: 3 P. b) 17/30 56,7 %. (1 P.) c) 12/18 2/3 66,7 %. (1 P.) Aufgabe 6 (5 P.) a) P(keine 6) (5/6) 125/216 57,9 %. (2 P.) b) P(mindestens eine 6) 1 125/216 91/216 42,1 %. (2 P.) c) Viele mögliche Fälle für mindestens eine 6; das Gegenereignis ist einfacher zu berechnen. (1 P.) Aufgabe 7 (5 P.) a) 4/10 · 4/10 4/25 16 %. (2 P.) b) 4/10 · 6/10 6/10 · 4/10 48/100 12/25 48 %. (2 P.) c) Ja, mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert. (1 P.) Aufgabe 8 (5 P.) a) P(Rot) 3/8, P(Gelb) 2/8 1/4, P(Blau) 3/8. (2 P.) b) Erwartete Auszahlung 3/8 · 4 2/8 · 2 3/8 · 0 CHF 2. (2 P.) c) Ja, im Mittel entspricht die Auszahlung von CHF 2 genau dem Einsatz von CHF 2; der erwartete Gewinn beträgt CHF 0. (1 P.) Bewertung: Total 40 Punkte. Teilpunkte für nachvollziehbare Rechenwege möglich. Seite 6