Arbeitsblatt: Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion Seite 1 Zusammenfassung: Die Exponentialfunktion: Beispiele: 1) f1: IR Æ IR Æ 2x 2) f2: IR Æ IR Æ (1/2)x 3) f3: IR Æ IR Æ (3/2)x 4) f4: IR Æ IR Æ (2/3)x Einige Eigenschaften der Funktionen: Unterschied zur Potenzfunktion f: Æ n: Nicht die Basis ändert sich laufend, sondern der Exponent. Die Definitionsmenge ID IR Die Wertemenge IR - Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen (Der Graph nähert sich im positiven oder negativen unendlichen Bereich der Ordinate) Der Graph Funktionen Æ x geht immer durch den Punkt (0,1) Für 1 ist die Funktion streng monoton steigend. Für 1 ist die Funktion streng monoton fallend. Die Funktionen Æ x und Æ -x liegen symmetrisch bezüglich der y-Achse. Reelle Funktionen der Gestalt: IR Æ IR Æ * ax c, IR heißen Exponentialfunktionen. Bsp.: Die Bakterien in einer Kultur vermehren sich um 45 in der Stunde. Wie groß ist ihre Anzahl A(n) nach Stunden, wenn die Anzahl zu Beginn Ao 1000 ist? Start: Ao A(n) Ao 1,45 Wie groß ist die Anzahl nach , 1/3, 8/3, Stunden Element aus IR? Erweiterung des Definitionsbereiches auf IR möglich. Die Exponentialfunktion Seite 2 Viele Vorgänge in der Wirtschaft, Natur usw. lassen sich näherungsweise mit Exponentialfunktionen beschreiben (Zinsen, Bevölkerungswachstum, Zerfall von Atomen, .). Exponentieller Wachstum bzw. exponentielle Abnahme. Bsp.: Angenommen die Weltbevölkerung wächst exponentiell. Im Jahr 900 lebten 320 Millionen Menschen auf der Welt. Im Jahr 1700 waren es bereits 600 Millionen. Wieviel Menschen müßten demnach im Jahr 1986 bzw. heute auf der Welt wohnen? N(900) No a 900 320 Mio N(1700) No a1700 600 Mio No a900 320 000 000 Î No 320 000000 a-900 No a1700 600 000 000 320 000 000 a-900 a1700 600 000 000 a800 1,875 1,00087607 No 1,00078607900 320 000 000 No 157 769 626,3 Prognose: 1986 sollten 751, 189 288 Mio Menschen leben. 1998 sollten 758, 305 852 Mio Menschen leben. Vergleich zwischen der linearen Funktion und der Exponentialfunktion: lineare Funktion: Der Zuwachs der Funktionswerte bei einer Vergrößerung des Arguments um ist unabhängig vom Ausgangsargument x. Exponentialfunktion: Die Exponentialfunktion Seite 3 Ein ähnlicher Sachverhalt kann hergeleitet werden. Rückblick: Bsp. („Weltbevölkerung) g(x) 1521,05 1,007366693 Î N(1600) No a 1600 191,55 Mio N(1800) No a 1800 No a1600 a200 831,38 Mio (2000) No a2000 No a1800 a200 No a1600 a200 a200 3 608, 44 Mio Prozentueller Anstieg von 1600 bis 1800 Jahren: 191,55 Mio . 100 831,38 Mio (191,55 100) Mio 1 831,38 (191,55 100) Mio 434,03 Der Anstieg in den 200 Jahren von 1600 bis 1800 beträgt 334,03 %. Prozentueller Anstieg von 1800 bis 2000 Jahren: 831,38 Mio 100 3 608, 44 Mio (831,38 100) Mio .1 3 608,44 (831,38 100) Mio 434,22 Der Anstieg in den 200 Jahren von 1600 bis 1800 beträgt 334,22 %. Î vgl.: a200 1, 007366693 200 4,340277512 Also: Der gleiche Zuwachs der Argumente um bringt immer den gleichen relativen Zuwachs der Funktionswerte um h Die Exponentialfunktion Seite 4 Zusammenfassung: Logarithmen: Bsp. 1.: Ein Tischfuß ist um 7mm zu klein. Ein Karton (0,35mm Dicke) soll untergelegt werden. Wie oft muß man ihn zusammenfalten? 0,25 2 32 : 0.25 2 128 n7 Allgemeines Problem: (a, IR) Der Exponent ist gesucht, mit dem potenziert werden muss um zu erhalten. wird genannt „der Logarithmus von zu Basis a. (Bsp.: „Der Logarithmus von 128 zur Basis 2 „2-Logarithmus; Duallogarithmus) Symbolisch: log (y) 2 log (128) ? 10 Problem: log (1000) Î 3 Nur 10er-Logarithmus ist mit dem Taschenrechner kein Problem: log-Taste x 10 log (67.43) 1.82885316 2 Für log gibt es keine Taste am Taschenrechner Satz: Für alle a, IR und IR gilt: log (b * log (b) 2 128 (Die Gleichung ist auszurechnen, indem man beide Seiten „logarithmiert!) Die Exponentialfunktion Seite 5 2 128 log (2 log log (128) x* log (2) log (128) log (128) log (2) Welche Basis gewählt wird, ist gleichgültig. Daher kann die Taste log (10erLogarithmus) verwendet werden. Tastenfolge: 128 log 2 log 7 Bsp.: Lebende Organismen nehmen im Zuge ihres Stoffwechsels u. a. auf und geben ihn wieder ab. Daher findet man einen konstanten Anteil des radioaktiven C-Isotops C14 (Halbwertszeit ca. 5760 Jahre) Bei Ausgrabungen einer babylonischen Stadt, die zur Zeit Hammurabis gebaut wurde, fand man 1950 in einem Holzstück nur mehr 64 des ursprünglichen 14. Wann hat Hammurabi gelebt? Exponentialfunktion: N(t) No a 0.5 No No a 5760 : No 0.5 a5760 5760 0.999879669 N(t) No 0.999879669 0.64 *No 0.999879669 0.64 : No log * log (0.999879669) log (0.64) log (0.64) log (0.999879669) Die Exponentialfunktion Seite 6 3708.605855 1558 v. Chr. hat Hammurabi gelebt. RECHENGESETZE: 1) alog (bx) x alog (b) 2) alog (xb) 1/x alog(b) 3) alog (x y) alog (x) alog (y) 4) alog(x/y) alog(x) alog(y) Leitsatz Der Logarithmus erniedrigt die Rechenoperation um einen Grad. Die Exponentialfunktion Seite 7 Zusammenfassung: Eulersche Zahl e: Wenn der Zinsfuß 100% beträgt und augenblicklich kapitalisiert wird, beträgt das Kapital K1 nach einem Jahr: K1 Ko (1 /k)k Ko e stetige Verzinsung nach zwei Jahren: K2 K1 (1 /k)k Ko e e Ko e2 K(t) Ko e . Wachstumskonstante/ Zerfallskonstante Bisher sind Wachstumsfunktionen in folgender Form angeschrieben worden: N(t) No a a . Faktor mit dem der Ausgangswert nach einer bestimmten Zeiteinheit multipliziert wird! Nun kann man zu jedem ein finden sodass gilt: Damit kann man schreiben: N(t) No e Def.: Die Exponentialfunktion -- ex IR -- IR heißt natürliche Exponentialfunktion. Ihre Umkehrfunktion heißt der natürliche Logarithmus und wird mit ln bezeichnet. BSP.: Bakterienanzahl nach 4 Jahren: 11255 Bakterienanzahl nach 7 Jahren: 12298 Exponentielles Wachstum: N(t) No at Die Exponentialfunktion N(4) No a4 11255 Seite 8 -- No 11255 a-4 N(7) No a7 12298 12298 11255 a-4 a-7 11255 a3 a3 12298 1,029982067 No 10000,61819 N(t) No e *t N(4) No e *4 11255 N(7) No e *7 12298 No 11255 e*4 12298 11255 e*4 e*7 1,092669924 e*3 ln(1,092669924) 3 ln(e) 0,029541391 No 10000,61819 N(t) 10000,61819 e0,029541391*t BSP.: Drücke den Wachstum der Weltbevölkerung durch die natürliche Exponentialfunktion aus. N(t) No at 1521 1,007366693 N(t) No et also: e 1,007366693 e ln (1,007366693) ln(e) Die Exponentialfunktion 0.007339691 N(t) No et 1521 e 0.007339691 t (1998) 1521 e 0.007339691 1998 3555 Mio Seite 9