Arbeitsblatt: Analytik

MATURABEISPIELE: ANALYTISCHE GEOMETRIE 1) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenkelig, rechtwinkelig ist und errichte darüber einen Würfel ABCDEFGH (2 Lösungen). Berechne die fehlenden Eckpunkte! A(10/4/13), B(7/8/1), C(87/5; 79/5; 1) 2) A(1/3/11), B(5/2/3), D(d1/11/12) sind Eckpunkte einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundfläche ABCD. Die Höhe der Pyramide ist 18 LE. Berechne die Spitze der Pyramide (2 Lösungen), den Neigungswinkel einer Seitenkante gegen die Grundfläche sowie die Entfernung des Punktes P(-8/3/2) von der Grundfläche ABCD. 3) Von einer geraden quadratischen Pyramide ABCDS kennt man C(4/-5/4), S(-8/y/10) und die Ebene e(BDS): – 2y 2z 4. Berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte A, B, D, S, das Volumen der Pyramide, den Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Basisfläche sowie den Winkel zwischen einer Seitenkante und der Basisfläche. 4) Das Parallelogramm ABCD: A(1/2/z), B(x/11/3), das in der Ebene e: 6x –4y 3z 1 liegt, ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S(16/-3/5). Berechne die Koordinaten von und D. Wie groß sind Höhe und Volumen der Pyramide? Welchen Winkel schließen die Seitenkanten mit der Grundfläche ein? 5) Zeige, dass die Geraden und einander schneiden. Ihr Schnittpunkt soll die Spitze eines Tetraeders sein, dessen Grundfläche die Eckpunkte ABC hat. Berechne die Gleichung der Ebene durch ABC, den Fußpunkt der Höhe in der Ebene ABC; das Volumen des Tetraeders; den Winkel, den die Kante BS mit der Grundfläche ABC einschließt. A(2/3/1), B(-2/1/4), C(3/-3/-3) g:x (8/2/6) t.(4/1/3), h:x(6/7/5) s.(3/-2/2) 6) Die Ebene e: 3x 2y –4z -70 wird von der Geraden g:x(13/3/28) t.(3/1/2) im Punkt geschnitten. Dieser Punkt ist Spitze einer dreiseitigen Pyramide mit den Basiseckpunkten A(6/-4/0), B(8/12/6) und C(12/4/-2). Berechne die Körperhöhe der Pyramide, ihr Volumen und ihre Oberfläche! 7) Gegeben ist das Dreieck ABC: A(-4/-9), B(5/3), C(-9/3). Ermittle die Koordinaten von H, S, und die Gleichung des Umkreises. Zeige, dass U, H, auf der Eulerschen Geraden liegen! 8) In den Eckpunkten des Dreiecks ABC: A(-9/-5), B(5/-5), C(12/16) werden an den Umkreis Tangenten gelegt. Jede Tangente wird mit der Trägergeraden der gegenüberliegenden Dreiecksseite geschnitten. Zeige rechnerisch und zeichnerisch, dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen. (E: 4mm) 9) Gegeben ist die dreiseitige Pyramide ABCS: A(3/1/3), B(6/4/5), C(7,5/1/6), S(4/1/8). Bestimme den Fußpunkt des Lotes von auf die Grundfläche ABC, das Spiegelbild von an der Ebene ABC, den Flächeninhalt der Grundfläche und das Volumen. Ist die Pyramide gerade oder schief? 10) Zeige, dass die drei Ortsvektoren die Kanten eines Würfels bilden und berechne sein Volumen: a(10/-5/10), b(-11/-2/10), c(-2/-14/-5) 11) Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-4/-4), B(12/4), C(2/14)]. Ermittle die Koordinaten des Umkreismittelpunktes U, des Höhenschnittpunktes und der Seitenmittelpunkte D, und F. Zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke UH von D, und gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt des Dreiecks DEF). Fertige eine exakte Zeichnung an (Einheit 0,5cm) U(2/4), H(6/6)) 12) A(3/-3/3), B(5/1/-1) und C(1/5/1) sind drei Eckpunkte eines Quadrats ABCD. Zeige, dass die Vektoren AB und BC aufeinander normal stehen und gleich lang sind. Gib die Gleichung der Ebene E, in der dieses Quadrat liegt, in Parameter- und Normalvektorform an.Berechne die Koordinaten von D! Verbindet man jeden Eckpunkt des Quadrats mit dem Koordinatenursprung, so entsteht eine quadratische Pyramide. Zeige, dass es eine gerade Pyramide ist. Welchen Winkel schließen die Seitenflächen mit der Grundfläche ein? Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide! (D(-1/1/5); 45; V 36; O 86,91) 13) Gegeben sind die Punkte A(-3/7/-6), B(b0/11/-12), C(13/17/0). Für welche(s) hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel in ? Zeige, dass das Dreieck auch gleichschenkelig ist und bestimme einen Punkt so, dass ein Quadrat ABCD entsteht. Über dem Quadrat ABCD wird eine gerade Pyramide mit h14 errichtet. Ermittle die Koordinaten der Spitze (2Lösungen) und das Volumen der Pyramide. b9; D(1/13/6), S(11/0/1) bzw. (-1/24/-7), V 914,67)