Arbeitsblatt: Die schriftliche Multiplikation

Schriftliche Multiplikation Caroline Jockel 06/08 Die schriftliche Multiplikation In der Mathematikdidaktik wird seit einigen Jahren die Bedeutung der schriftlichen Rechenverfahren diskutiert, denn seit der Verbreitung des Taschenrechners spielen sie für die Alltagsbewältigung kaum noch eine Rolle. Trotzdem nehmen sie nach wie vor einen grossen Teil des Mathematikunterrichts in der 4. und 5. Primarstufe ein. Es ist festzuhalten, dass es durchaus wichtiger ist, die halbschriftlichen Verfahren und das Überschlagsrechnen gut zu beherrschen, da diese Rechenweisen für das mathematische Verständnis und im Alltag mehr von Nutzen sein können, als die strikt an Regeln und Vorgehensweisen gebundenen schriftlichen Rechenverfahren. Was ist die schriftliche Multiplikation? Die schriftliche Multiplikation ist ein mathematisches Verfahren, das eine Multiplikationsrechnung mit mehrstelligen Zahlen mit Hilfe von Ziffernaufteilung und anschliessender schriftlicher Addition stark vereinfachen kann. Es ist jedoch wichtig, dass das Prinzip des Vorgehens verstanden und nicht das Vorgehen an einem Beispiel auswendig gelernt wird, da sonst bei leichter Abweichung vom Beispiel schnell Fehler entstehen können. Mathematischer Hintergrund (Gesetze) Die einzelnen Zahlen in einer Multiplikationsrechnung können auf zwei verschiedene Arten benannt werden: · 19 · 81 1539 1. Faktor · Faktor Produkt 2. Multiplikant · Multiplikator Produkt Für die schriftliche Multiplikation ist vor allem das Kommutativgesetz wichtig. Es besagt, dass · · ist. Bei der folgenden Aufgabe ist es möglicherweise sinnvoll, die beiden Faktoren zu tauschen: 7382 · 56 56 · 7382, da man dadurch beim Addieren weniger Arbeit hat. Bei der schriftlichen Multiplikation ist zu beachten, dass die einzelnen Zwischenresultate nie direkt untereinander geschrieben werden dürfen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten (je nach dem wie man rechnet), in welche Richtung man die Resultate verschieben kann, doch wenn man es nicht tut, ist das Schlussresultat nicht korrekt. Historische Bezüge Adam Ries (1492-1559) war ein deutscher Rechenmeister und gilt bis heute als der „Vater des modernen Rechnens. Er hat mit seinen Forschungen und Werken (z.B. Rechnung auff der linihen, 1518) entscheidend dazu beigetragen, dass die römischen Zahlen als in der Praxis unhandlich erkannt und weitgehend durch die wesentlich strukturierteren arabischen Zahlen ersetzt wurden. John Napier (1550-1617) war ein schottischer Mathematiker und Naturgelehrter und wurde als Erfinder der Logarithmen bekannt. Er entwickelte eine Reihe von Seite 1 Schriftliche Multiplikation Caroline Jockel 06/08 Holzstäbchen, auf die er das kleine Einmaleins der Zahlen von 1 bis 9 notierte. Er fügte dabei transversale Linien zwischen zweistellige Zahlen, damit man die „zusammengehörigen Zahlen später leichter zusammenrechnen konnte. z.B. 9er-Reihe 1·9 9 2 · 9 18 3 · 9 27 4 · 9 36 5 · 9 45 6 · 9 54 7 · 9 63 8 · 9 72 9 · 9 81 Die Rechenstäbchen des John Napier Das clevere an diesen Rechenstäbchen ist, dass man sie beliebig kombinieren kann. Wenn man z.B. die 23er-Reihe braucht, nimmt man die 2er-Reihe und die 3er-Reihe und legt sie nebeneinander hin. Nun kann man in den „transversalen Spalten die jeweilige Zahl ablesen. Wenn sich in einer Spalte zwei Zahlen befinden, werden diese addiert. Wenn es in einer Spalte 10 oder mehr gibt, wird die E-Zahl (Einer-Zahl) geschrieben und die Z-Zahl (Zehner-Zahl) in die nächste Spalte übertragen. z.B. 23er-Reihe 1 · 23 23 2 · 23 46 3 · 23 69 4 · 23 92 (8 1 9) 5 · 23 115 6 · 23 138 7 · 23 161 8 · 23 184 9 · 23 207 (8 2 10, schreibe 0, „behalte 1) Die Napierschen Rechenstäbchen sind leider in Vergessenheit geraten, obwohl sie einen bedeutenden Einfluss auf die Entwicklung der Rechenmaschine hatten. Ausserdem hat man bis zu Beginn des 19. Jh. damit gerechnet. Bis heute kennen wir jedoch das System, das John Napier vor über 400 Jahren entwickelt hat. Die Malstreifen, die noch heute in der Schule als Hilfe bei der Multiplikation dienen funktionieren genau nach demselben Schema, wie die damaligen Rechenstäbchen. Ein leerer Malstreifen Derselbe Malstreifen mit der Rechnung 19 · 81 Seite 2 Schriftliche Multiplikation Caroline Jockel 06/08 Weshalb rechnen wir so? Diese Frage zu beantworten finde ich äusserst schwierig. Für mich ist die schriftliche Multiplikation, so wie ich sie kenne und während meiner Primarschulzeit gelernt habe, das logischste Verfahren – eben weil ich es schon so lange kenne und auch oft geübt habe. Deshalb würde ich sagen, wir rechnen so, weil unser Vorgehen das einfachste und das am einfachsten verständliche ist. Doch seit ich mich mit dem Thema auseinander gesetzt habe, habe ich immer wieder neue Lösungsmöglichkeiten angetroffen und kennen gelernt. Es gibt viele spannende Ansätze und viele Verfahren der schriftlichen Multiplikation sind der unseren sehr ähnlich. Vor allem in Deutschland oder England sind die Grundideen dieselben. Wie rechnet man in anderen Kulturen? Eine ganz spannende Idee kommt aus Russland. Sie wird die Abessinische oder die Russische Bauernmultiplikation genannt. Dabei geht man wie folgt vor: 1. Schritt: Dividiere und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis ergibt. 2. 3. 4. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt. Schritt: Verdopple fortlaufend bis du gleich viele Zahlen wie bei hast. Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte eine gerade Zahl steht. Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt. Spalte Spalte Spalte 3 12 5 6 6 294 2 12 3 588 1 24 1 1176 11 · Summe: Beispiel 1: 33 11 · 3 Spalte · 147 Summe: Beispiel 2: 1764 12 · 147 Das verblüffende an dieser Methode ist, dass sie tatsächlich immer das korrekte Resultat liefert. Dieses Verfahren kann eine Rechnung vereinfachen, da man nur ·2 und :2 rechnen muss. Wenn es jedoch grössere Zahlen in der Rechnung hat, oder diese beim Verdoppeln entstehen, kann es doch recht schwierig werden und falls sich ein Fehler einschleichen sollte, zieht er sich durch die ganze Rechnung und kann durch die jeweilige Verdopplung schwerwiegende Folgen haben. In Indien gibt es eine Rechenart, welche die Vedische Multiplikation genannt wird. Dabei werden zuerst die Zahlen analysiert und danach wird ein passendes Verfahren für die jeweilige Rechnung gesucht. So existiert z.B. ein Verfahren, welches sich immer dann zu einer „Blitz-Multiplikation auch grosser Faktoren – eignet, wenn diese knapp unter derselben Zehnerpotenz liegen. Wie läuft das Verfahren ab? Ich beschränke mich in diesem Teilkapitel auf die Schreibweise und das Vorgehen, das ich in der Schule gelernt habe und gehe nicht auf andere Schreibweisen aus z.B. Deutschland oder England ein. Als Beispielsrechnung nehme ich zum Anfangen die Multiplikation 3 · 29 ?. Diese Rechnung ist sinnvoll, da sie als Multiplikant eine einstellige Zahl hat, was einerseits einfacher ist, weil man nicht so viele Einzelrechnungen durchführen muss und andererseits, weil man am Schluss nicht zusammenaddieren muss. Seite 3 Schriftliche Multiplikation Caroline Jockel 06/08 Das Vorgehen bei diesem noch sehr einfachen Beispiel ist folgendermassen: Zuerst schreibe ich die Rechnung auf ein Blatt. Am besten schreibe ich pro „Häuschen eine Zahl, so dass ich alles schön sauber untereinander notieren kann. Als erstes multipliziere ich 3 · 9. Dies ergibt 27. Nun schreibe ich die 7 unter die 9 und behalte die 2 (d.h. ich merke sie mir im Kopf). Dann rechne ich die nächste Teilrechnung aus und zwar 3 · 2, was 6 ergibt. Dazu rechne ich noch die 2, die ich mir vom vorherigen Resultat behalten habe, daher ist die nächste Zahl 8. Dies notiere unter der 2. Ich gehe also beim Notieren der Zwischenresultate immer von rechts nach links. 3 · 2 9 8 7 Das nächste Beispiel zeige ich an der Rechnung 53 · 46 ?. Nun wird es ein bisschen schwieriger, da die einzelnen Zwischenresultate am Schluss noch addiert werden müssen. Dafür ist zu beachten, dass das zweite Zwischenresultat eine Stelle nach links einrückt. Das dritte Zwischenresultat würde um zwei Stellen nach links einrücken, usw. Bei diesem Beispiel ist das Vorgehen wie folgt: Nachdem ich die Rechnung schön übersichtlich auf ein Blatt Papier geschrieben und unterstrichen habe, beginne ich mit der ersten Rechnung. Ich rechne zuerst 3 · 6, was 18 ergibt. Ich schreibe die 8 unter die 6 und behalte die 1 im Kopf. Dann rechne ich 3 · 4, was 12 ergibt. Da ich aber noch die 1 im Kopf habe, rechne ich die dazu und erhalte 13, was ich links neben die 8 schreibe. Nun zeichne ich einen Punkt (oder ein Kreuz, eine 0) unter die 8, damit ich nicht vergesse, dass das nächste Zwischenresultat eingerückt wird. Die nächste Rechnung ist 5 · 6, was 30 ergibt. Ich schreibe die 0 und merke (behalte) mir die 3. Als letztes rechne ich 5 · 4, dies gibt 20, plus die 3, die ich behalten habe ergibt das 23. Dies schreibe ich hin. Dann ziehe ich erneut eine Linie unter die Rechnung. Die senkrechten Spalten werden nun zum Schluss addiert, um das Schlussresultat zu erhalten: 8 0 8, 3 0 3, 1 3 4, 0 2 2 5 3 · 4 6 1 3 8 2 3 0 · 2 4 3 8 Bei Rechnungen mit mehrstelligeren Zahlen wird genau gleich vorgegangen. Wichtig ist, dass man das Einrücken nicht vergisst und in der richtigen Reihenfolge zu multiplizieren beginnt. Wie bringe ich es den Kindern bei? Als Grundlage für das schriftliche Verfahren dienen halbschriftliche Lösungsüberlegungen. Die Kinder sollen eine Aufgabe auch ohne die schriftliche Rechenweise ausrechnen können. Denn nur dann sind sie sicher im Umgang mit der Multiplikation. Für mich sind Farben immer sehr wichtig. Ich zeichne das Schema anhand eines einfachen Beispieles mit Farben und Pfeilen an die Wandtafel. Die Kinder sollen dann mit einfachen Rechnungen ins Thema eintauchen. (Beispiele mit realem Bezug!) Seite 4