Arbeitsblatt: Punkt- und Geradenspiegelung am Computer

Auftragsblatt zu 1. Suche dir zuerst einen Partner/eine Partnerin. Löst mindestens die Aufgaben 1-5. Im Programm Geogebra seht ihr drei verschieden farbige Fische. Der blaue Fisch lässt sich beliebig verändern. Probiert es aus und notiert in Stichworten Ihre Beobachtungen. Bsp.: Wenn ich die Schnauze beim blauen Fisch verändere, dann 2. Durch die Punkte und geht eine Gerade. ist ein freier Punkt. Auch sie lassen sich verschieben. Welcher Fisch reagiert auf welchen Punkt? 3. Überlegt euch, wie man solche Darstellungen konstruiert. Welche Hilfsmittel braucht man dazu? Wie geht man vor? 4. Studiert jetzt das separate Theorieblatt, vergleicht dabei die Theorie mit der Darstellung. 5. Zeichnet selber eine einfache geometrische Figur (es darf auch ein neuartiges Fischli sein) und wendet die Theorie auf beide Arten an. 6. a) Öffnet erneut das Geogebra-Programm. Wenn Punkt auf der Spiegelachse HI liegt, wie könnte man auch noch vom blauen Fisch zum grünen gelangen? b) Formuliert dazu die mathematische Gesetzmässigkeit (Beziehung zwischen Geradenund Punktspiegelungen). Lösungen und didaktischer Kommentar zu Spiegelungen Voraussetzungen: Geometrische Grundbegriffe kennen (Punkt, Gerade, Strahl, Original, Abbildung) Geometrische Konstruktionen beherrschen Umgang mit PC/Geogebra Lernziele: SuS erlangen durch Beobachtung und Exploration neue mathematische Erkenntnisse SuS können Geraden- und Punktspiegelungen selbständig konstruieren SuS kennen die Definitionen von Punkt- und Geradenspiegelungen SuS erkennen einen mathematischen Zusammenhang zwischen Geradenund Punktspiegelung (Zusatzaufgabe Nr. 6 a/b) Anmerkungen: Die Aufgabe ist vor allem für die Bezirksschule geeignet. Durch Weglassen der Aufgabe 6 und dem Aufteilen der Aufgabe 3 kann die Schwierigkeit angepasst werden. Das Abholen des Theorieblatts kann zur Zwischenkontrolle genutzt werden. Als Vertiefungsauftrag kann nach den zwei verschiedenen Arten der 180-Spiegelung gefragt werden, die durch Punkt- und Geradenspiegelung zustande kommen. Erstellt von Chantal Schneider und Beda Gygli, FHNW 2008 1. Im Programm Geogebra seht ihr drei verschieden farbige Fische. Der blaue Fisch lässt sich beliebig verändern. Probiert es aus und notiert in Stichworten Ihre Beobachtungen. Bsp.: Wenn ich die Schnauze beim blauen Fisch verändere, dann bewegen sich auch die Schwanzflossen der anderen Fische in derselben Weise Ansprechender Einstieg, indem SuS explizit zum Ausprobieren aufgefordert werden (wildes Ausprobieren des Programms ist hier sehr erwünscht) 2. Durch die Punkte und geht eine Gerade. ist ein freier Punkt. Auch sie lassen sich verschieben. Welcher Fisch reagiert auf welchen Punkt? Der rote Fisch reagiert auf und und wird entsprechend der Neigung der Spiegelachse gedreht, der grüne auf und wird nur verschoben. Verknüpfung von spielerischem explorieren und Theorie (es gilt einen mathematischen Sachverhalt zu entdecken) 3. Überlegt euch, wie man solche Darstellungen konstruiert. Welche Hilfsmittel braucht man dazu? Wie geht man vor? Siehe Theorieblatt; Bleistift, Geodreieck, Zirkel Durch mathematische Vermutungen nähern sich die SuS der Theorie an 4. Studiert jetzt das separate Theorieblatt, vergleicht dabei die Theorie mit der Darstellung. Beobachtungen werden mit der Theorie (Theorieblatt „Spiegelungen) falsifiziert bzw. verifiziert, es findet eine Kontrolle des Fortschritts statt. 5. Zeichnet selber eine einfache geometrische Figur (es darf auch ein neuartiges Fischli sein) und wendet die Theorie auf beide Arten an. Kriterien: Ist die Abbildung kongruent? Sind die Achsen Senkrecht/durch den Punkt? Umsetzung des kognitiven Lerngewinns durch eine praktische Übung 6. a) Öffnet erneut das Geogebra-Programm. Wenn Punkt auf der Spiegelachse HI liegt, wie könnte man auch noch vom blauen Fisch zum grünen gelangen? Man muss den Blauen zuerst an HI spiegeln (und erhält so den roten Fisch) und dann den roten Fisch an einer zweiten Spiegelungsgerade, die senkrecht zur ersten Spiegelungsachse durch Punkt geht, spiegeln b) Formuliert dazu die mathematische Gesetzmässigkeit (Beziehung zwischen Geradenund Punktspiegelungen). Eine Punktspiegelung lässt sich durch zwei senkrecht zueinander stehende Geradenspiegelungen ersetzen Knobelaufgabe ermutigt SuS mit logischem Denken und eigenen Ideen Verbindungen zwischen mathischen Regeln zu finden und diese in der „Mathematiksprache zu formulieren Spiegelungen Punktspiegelung Satz: Eine Punktspiegelung ist eine Spiegelung durch genau einen Punkt. Zu jedem Punkt gehört ein gespiegelter Punkt P, der Spiegelungspunkt liegt auf der Hälfte der Strecke PP. Konstruktion: Von jedem Punkt des Originals wird ein Strahl durch den Spiegelungspunkt gezeichnet. Mit dem Zirkel wird dann die Distanz vom Spiegelungspunkt zum Original abgenommen und auf dem Strahl der gespiegelte Punkt eingetragen. Anwendung: Sammellinsen machen mit den Lichtstrahlen eine Punktspiegelung. Bei einer Lupe ist der Brennpunkt, wo sich alle Strahlen treffen, gut sichtbar. Geradenspiegelung Satz: Eine Geradenspiegelung ist eine rechtwinklige Spiegelung an einer Gerade. Zu jedem Punkt gehört ein gespiegelter Punkt P, die Spiegelachse liegt rechtwinklig auf der Hälfte der Strecke PP. Konstruktion: Von jedem Punkt des Originals wird ein Strahl rechtwinklig durch die Spiegelachse gezeichnet. Mit dem Zirkel wird dann die Distanz vom Schnittpunkt des Strahls mit der Spiegelachse zum Original abgenommen und auf dem Strahl der gespiegelte Punkt eingetragen. Anwendung: Mit einem Spiegel kann man eine Geradenspiegelung nachvollziehen, in dem das Blatt bei der Spiegelachse umgefaltet und rechtwinklig an den Spiegel gehalten wird. Das Bild auf dem Spiegel entspricht der konstruierten Spiegelung. Das Ergebnis beider Spiegelungen ist zwar um 180 gedreht und verschoben, aber immer noch gleich gross wie das Original. Daher sind die Spiegelungen kongruent.