Arbeitsblatt: Mathlexikon 07

2007 Mike Stettler Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein Vorwort Das vorliegende Werk ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Mathematik-Kapitel der 7.-9. Klasse und soll als Nachschlagewerk dienen. Ich danke allen kritischen Leserinnen und Lesern, welche tatkräftig Fehler ausgemerzt und Verbesserungen angebracht haben. Dieses Heft ist meinen Schülerinnen und Schülern gewidmet. Spiez, 1. September 2007, Mike Stettler Seite 2 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon A. Allgemeines 7 1. Abkürzungen, Bezeichnungen. 7 2. Masseinheiten . 8 2.1. Längenmasse 8 2.2. Flächenmasse . 8 2.3. Raummasse 8 2.4. Grössenbezeichnungen und Potenzen . 8 3. Griechisches Alphabet . 9 4. Spezielle Zahlen 9 5. Gleitkommadarstellung 9 5.1. Darstellung von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise . 9 5.2. Mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise operieren . 10 B. Zahlenmengen 11 6. Begriffe. 11 7. Operationen . 11 7.1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). 11 7.2. Assoziativgesetz (Klammergesetz) . 11 7.3. Distributivgesetz (Ausklammerungsgesetz) 11 7.4. Begriffe 12 7.5. Operationsreihenfolge . 12 8. Zahlenmengen. 13 9. Natürliche Zahlen 14 9.1. Teiler und Vielfache. 14 9.2. Quersumme. 14 9.3. Teilbarkeitssätze . 14 9.4. Primzahlen 15 9.5. Zerlegung in Primfaktoren . 15 9.6. grösster gemeinsamer Teiler ggT und kleinstes gemeinsames Vielfache kgV . 15 10. Ganze Zahlen. 16 10.1. Addition und Subtraktion . 16 10.2. Multiplikation und Division . 16 11. Rationale Zahlen . 17 11.1. Übersicht rationale Zahlen 17 11.2. Operieren mit Dezimalbrüchen 17 11.3. Verwandlungen Dezimalbrüche Ù Gewöhnliche Brüche . 18 11.4. Wichtige Beziehungen Dezimalbruch Ù Gewöhnlicher Bruch . 18 11.5. Gewöhnliche Brüche . 19 11.6. Kürzen und Erweitern 19 11.7. Operieren mit gewöhnlichen Brüchen . 19 12. Reelle Zahlen . 20 13. Wurzeln und Potenzen 21 13.1. Definition Wurzeln . 21 13.2. Wurzelgesetze. 21 13.3. Definition Potenzen . 21 13.4. Potenzgesetze 21 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 3 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon C. Terme. 22 14. Zahlenterme. 22 15. Buchstabenterme 22 15.1. Auswerten von Buchstabentermen . 22 15.2. Vereinfachen von Buchstabentermen . 23 15.3. Gewinnung von Termen mit mehreren Variablen 24 16. Polynome . 24 16.1. Begriffe 24 16.2. Klammerregel: Polynome addieren und subtrahieren . 25 16.3. Mit Polynomen multiplizieren. 25 16.4. Binomische Formeln 26 16.5. Ausklammern 26 16.6. Zerlegen in Faktoren . 27 17. Doppelbrüche 27 18. Definitionsmenge 27 19. Gleichungen und Ungleichungen 28 19.1. Mögliche Aufgabentypen. 28 19.2. Lineare Gleichungen, Gleichungen 1. Grades 28 19.3. Äquivalenzumformungen. 29 19.4. Der Grad einer Polynomgleichung 30 19.5. Einfache quadratische Gleichung 30 19.6. Allgemeine Form der quadratischen Gleichung 31 19.7. Gleichungen mit Brüchen 31 19.8. Verhältnisgleichungen . 32 20. Funktionen und ihre Graphen 33 20.1. xy Koordinatensystem. 33 20.2. Dreidimensionales Koordinatensystem . 34 20.3. Allgemeines zu Funktionen . 35 20.4. Funktionen und ihre Graphen 35 20.5. Anforderungen an eine Funktion . 37 20.6. Term als Formel 37 20.7. Geradengleichung . 38 20.8. Umgang mit Formeln. 39 Seite 4 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon D. Sachrechnen. 40 21. Proportionalität . 40 21.1. Die Zweispaltendarstellung . 40 21.2. Fremdes Geld 40 21.3. Dreispaltendarstellung. 40 21.4. Proportionalität und umgekehrte Proportionalität 41 21.5. Zusammengesetzte Masseinheiten. 41 22. Durchschnitte und Mischungen 42 22.1. Durchschnitte berechnen 42 22.2. Mischungen berechnen . 42 23. Prozentrechnungen 43 23.1. Begriffe und Darstellung 43 23.2. Beispiele 43 23.3. Steigung und Gefälle. 43 23.4. Brutto – Netto – Tara. 44 23.5. Rabatt und Skonto. 44 23.6. Zinsrechnung. 45 E. Figuren 46 24. Dreiecke . 46 24.1. Begriffe 46 24.2. Flächenberechnung. 47 24.3. Spezielle Konstruktionen im Dreieck. 48 24.4. Der Satz von Thales 49 25. Der Satz von Pythagoras 50 25.1. Begriffe 50 25.2. Der Satz des Pythagoras 50 25.3. Der Höhensatz 50 25.4. Der Kathetensatz. 51 25.5. Spezielle Figuren. 51 26. Vierecke . 52 26.1. Parallelogramme . 52 26.2. Andere Vierecke 53 27. Vielecke 54 28. Kreis . 55 28.1. Begriffe und Berechnungen 55 28.2. Sehnenviereck 57 28.4. Peripheriewinkelsatz . 57 29. Körper 58 29.1. Würfel, Quader, Prisma und Zylinder 58 29.2. Pyramide und Kegel 59 29.4. Kugel . 60 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 5 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon F. Geometrie 61 30. Grundbegriffe 61 30.1. Abstand . 61 30.2. Punktmengen 62 30.3. Spezielle Punktmengen. 63 31. Winkel. 64 31.1. Winkelbezeichnungen . 64 31.2. Winkelbeziehungen . 65 31.3. Innenwinkelsummen von Vielecken 65 32. Kongruenzabbildungen 66 32.1. Achsenspiegelung . 66 32.2. Punktspiegelung 66 32.3. Translation (Schiebung) 67 32.4. Rotation (Drehung) 67 33. Ähnlichkeit. 68 33.1. Die zentrische Streckung 68 33.2. Der Begriff der Ähnlichkeit. 68 33.3. Proportionalsätze, Strahlensätze 69 33.4. Streckung im Raum. 70 33.5. Längen, Flächen und Volumen bei ähnlichen Figuren und Körpern . 70 34. Konstruktionen 71 34.1. Dreiecke 71 34.2. Kongruenz . 71 34.3. Tangentenkonstruktionen 72 Stichwortverzeichnis 74 Seite 6 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein A. Allgemeines 1. Abkürzungen, Bezeichnungen Kategorie Symbol Erklärung Punkte A, B, C, . Bezeichnung von Punkten Punktmengen AB Gerade durch die Punkte und Strecke von nach Linien (Geraden, Kreislinien, Vieleckseiten,.) Flächen Winkel bei AB a, b, c, . A, B, C, . ABC Grössen AB a, b, c, . d ha sa ma pa w hA S V ,. Seitenhalbierende der Seite Mittelsenkrechte der Seite Mittelparallele zur Seite Winkelhalbierende des Winkels zur Fläche gehörende Höhe Flächeninhalt Oberfläche Mantelfläche Volumen Streckungsfaktor Winkelgrössen parallel Beziehungen Abbildungen Länge der Strecke AB Platzhalter für Längen Kreisradius Kreisdurchmesser zur Seite gehörende Höhe senkrecht A, B, C, a, b, c, . Bilder der Punkte A, B, C, . Bilder der Linien a, b, c, . Translation, die in abbildet TPP AS PZ RZ , Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Achsenspiegelung an der Achse Punktspiegelung am Punkt Rotation um um den Winkel gegen den Uhrzeiger Seite 7 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 2. Masseinheiten 2.1. Längenmasse Längenmasse 1 km Anzahl Stellen Gewichtsmasse 1t Hohlmasse 1m 1 dm 1 cm 1 mm 1 kg 1 hl 1l 1 dl 1 cl 1 m 1g 1 g 1 ml 1 l 2.2. Flächenmasse Quadrat mit Seitenlänge 1 km km Bezeichnung Fläche Anzahl Stellen 100 2 10 ha 1m 1 dm 2 1 cm dm 2 1 mm 2 mm2 cm 2.3. Raummasse Würfel von 1m Kantenlänge m3 Bezeichnung Volumen Anzahl Stellen Würfel von 1 dm Würfel von 1 cm Würfel von 1 mm Kantenlänge Kantenlänge Kantenlänge dm3 hl Hohlmass entsprechend t Masse von Wasser cm3 dl cl ml kg mm3 mg 2.4. Grössenbezeichnungen und Potenzen Vorsilbe Bezeichnung Potenz Zahl Tera- Billion 1012 1000000000 GigaMegakilohektodeka- Milliarde 9 10000000 6 10 Million Tausend Hundert Zehn 10 103 102 101 100000 1000 100 10 Einheit 100 1 dezizenti milli- Zehntel Hundertstel Tausendstel 10-1 10-2 10-3 0.1 0.01 0.001 mikro- Millionstel 10-6 0.000001 Milliardstel -9 nano- Seite 8 10 0.00000001 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 3. Griechisches Alphabet Das Griechische Alphabet wird vor allem bei Bezeichnungen von Winkel verwendet: Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ipsilon Phi Chi Psi Omega 4. Spezielle Zahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quadratzahlen n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Kubikzahlen n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Quadratzahlen n2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 Kubikzahlen n3 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 3.14159265 35897932384626433832795. 2 1,4142135623730950488016887242097. 3 1.7320508075688772935274463415059. 5. Gleitkommadarstellung 5.1. Darstellung von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise Sehr grosse und sehr kleine Zahlen verbrauchen in der normalen Darstellung oftmals sehr viel Platz. Wir verwenden darum meistens die Gleitkommadarstellung. Man nennt sie auch wissenschaftliche Schreibweise. Die Gleitkommadarstellung besteht aus einem Dezimalbruch und einer Zehnerpotenz: grosse Zahlen kleine Zahlen 600‘000 6,0 10 6 0,003 3,0 10 3 145000‘000 1,45 10 9 0,000‘083 8,3 10 5 990000‘000 9,9 1010 0,0000255 2,55 10 6 Der Dezimalbruch besteht aus den ersten Ziffern, welche ungleich null sind. Die Anzahl Stellen um die das Komma nach links verschoben wurde, ergibt den Exponenten der Zehnerpotenz. Er ist positiv. Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Der Dezimalbruch besteht aus den ersten Ziffern nach dem Komma, welche ungleich null sind. Die Anzahl Stellen um die das Komma nach rechts verschoben wurde, ergibt den Exponenten der Zehnerpotenz. Er ist negativ. Seite 9 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 5.2. Mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise operieren Kommastellen verschieben Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise werden immer als Dezimalbruch zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben. Dadurch müssen wir oft Zahlen in diese Form umwandeln: 153.6 1012 1.536 1014 0.00156 1012 1.56 109 43.6 10 3 4.36 10 2 0.0436 10 3 4.36 10 5 Muss das Komma weiter nach links verscho- Muss das Komma weiter nach rechts verschoben werden, so vergrössert sich die Potenz ben werden, so verkleinert sich die Potenz um um die Anzahl der geschobenen Stellen. die Anzahl der geschobenen Stellen. Wird die Zahl vor der Zehnerpotenz kleiner, so Wird die Zahl vor der Zehnerpotenz grösser, muss die Zehnerpotenz selber grösser werden. so muss die Zehnerpotenz selber kleiner werden. Operationen Mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise kann nur direkt multipliziert, bzw. dividiert werden. Addieren und subtrahieren ist im allgemeinen Fall nicht direkt möglich. Addition Subtraktion 4.65 1012 1.25 1012 5.9 1012 9.42 1018 6.39 1018 3.03 1018 Bei der Addition werden die Dezimalbrüche vor Bei der Subtraktion werden die Dezimalbrüche der Zehnerpotenz zusammengezählt. Die Zeh- vor der Zehnerpotenz subtrahiert. Die Zehnernerpotenz bleibt gleich. potenz bleibt gleich. Müssen Zahlen mit unterschiedlichen Zehnerpotenzen addiert oder subtrahiert werden, so werden sie am einfachsten zuerst in gewöhnliche Zahlen umgewandelt. Multiplikation Division 2.5 10 6 3.5 10 9 8.75 1015 2.4 1015 3 10 9 0.8 10 6 8 10 5 6 10 6 7 1013 42 10 613 42 10 7 4.2 108 4.8 10 5 1.6 10 3 3 10 5( 3) 3 108 3 10 4 2 10 7 6 10 4( 7 6 10 11 5.6 10 8 7 10 3 0.8 10 8( 3) 0.8 10 5 8 10 6 10 10 ab 10 10 : 10 10 b Bei der Multiplikation werden die Dezimalbrü- Bei der Division werden die Dezimalbrüche vor der che vor der Zehnerpotenz miteinander mul- Zehnerpotenz miteinander dividiert und die Zehtipliziert und die Zehnerpotenzen zusam- nerpotenzen subtrahiert. mengezählt. Seite 10 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein B. Zahlenmengen 6. Begriffe Begriff Erklärung Unsere Zahlen lassen sich in 4 Zahlenmengen klassieren. Hinzu kommt noch Zahlenmengen eine 5. Menge, welche jedoch den Rahmen des obligatorischen Schulstoffes sprengt. Ziffer Es gibt 10 Ziffern: 0 bis 9. Die Aneinanderreihung von Ziffern nennen wir Zahlen Zahl Eine Aneinanderreihung von Zahlen Primzahl Zahl, welche nur durch 1 und durch sicher selber teilbar ist. Gegenzahl Die Gegenzahl von a ist –a; Die Gegenzahl von –a ist a Betrag Der Betrag einer ganzen Zahl ist die positive Grösse der Zahl Kehrwert Der Kehrwert von ist Dezimalbruch Eine gebrochene Zahl mit einem Komma Operation Eine Rechenvorschrift Addition Zusammenzählen, Plus-Rechnung Subtraktion Wegzählen, Minus-Rechnung Multiplikation Malnehmen, Mal-Rechnung Division Durchrechnung, Verhältnis zweier Zahlen 1 und umgekehrt. 7. Operationen 7.1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Addition Multiplikation b ba 35 53 ab ba 35 53 7.2. Assoziativgesetz (Klammergesetz) Addition Multiplikation (b c) (a b) (b c) (a b) c 3 (5 7) (3 5) 7 3 (5 7) (3 5) 7 7.3. Distributivgesetz (Ausklammerungsgesetz) Formal Beispiel (b c) a Mike Stettler Spiez, 2003 2007 3 (5 7) 3 5 3 7 36 Seite 11 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 7.4. Begriffe Beim Operieren geht man von zwei Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge aus. Addition 5 Summand Subtraktion 6 Summand Summe 11 Summe Multiplikation 5 Faktor 6 Faktor Produkt 12 Minuend 5 Subtrahend Differenz 7 Differenz Division 30 Produkt 25 Potenz 12 Dividend 3 Divisor Quotient 4 Quotient Potenz Exponent 2 5 Basis Alle Operationen haben immer ein Resultat, aber nie mehr als eines. Die Division durch null ist keine Operation und darf (und kann) nicht ausgeführt werden. Die Division durch 0 (null) hat kein Resultat. 7.5. Operationsreihenfolge Eine Aufgabe kann mehr als eine Operation aufweisen. Man kann aber die ganze Rechnung dennoch in einem einzigen Ausdruck festhalten. Darin muss aber deutlich ersichtlich werden, in welcher Reihenfolge gerechnet werden muss. Dazu dienen Klammern. Was in Klammern steht muss immer zuerst ausgerechnet werden. In einem Term ohne Klammer operiert man in folgender Reihenfolge: 1. Potenzieren 2. Punktoperationen (mal und durch) 3. Strichoperationen (plus und minus) 4. Innerhalb gleichwertiger Operationen von links nach rechts Seite 12 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 8. Zahlenmengen Symbol Name Beispiel Natürliche Zahlen N0 Natürliche Zahlen inkl. 0 Ganze Zahlen {1,2,3,4,5,6,7,.} {0,1,2,3,4,5,6,.} {.,3,2,1,0,1,2,3,.} Rationale Zahlen alle gewöhnlichen Brüche: Reelle Zahlen alle rationalen und irrationalen Zahlen q p Z,q Die Natürlichen Zahlen sind in der Menge der Ganzen Zahlen enthalten. Die Ganzen Zahlen sind in der Menge der Rationalen Zahlen enthalten. Die Rationalen Zahlen sind in den Reellen Zahlen enthalten. 1 2 3 2 3 - 2 1 5 0.75 3 Z Q R C -3 Z- Q- R- C- 1 5 -0.75 2 1 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 13 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 9. Natürliche Zahlen 9.1. Teiler und Vielfache ist durch teilbar ist ein Teiler von wenn ein Vielfaches von ist Zu jeder natürlichen Zahl können Teiler und Vielfache gefunden werden. Während die Anzahl der Vielfache unbegrenzt ist, gibt es nur eine endliche Anzahl von Teilern. Die Anzahl der Teiler ist kleiner als die Zahl selber und ist meistens gerade. Nur bei den Quadratzahlen ergibt sich eine ungerade Anzahl Teiler. 9.2. Quersumme Die Quersumme einer natürlichen Zahl ermittelt man durch die Addition der einzelnen Ziffern. Bsp. Quersumme von 1385 beträgt 17 (1385) 9.3. Teilbarkeitssätze Jede Zahl ist durch 1 teilbar a:1 a Jede Zahl ist durch sich selber teilbar a:a 1 Ist durch teilbar, so ist auch jedes Vielfache : : von durch teilbar. Sind und durch teilbar, so sind auch ab c und c c und c und a-b durch teilbar Ist teilbar durch und teilbar durch c, so ist b und c c auch teilbar durch Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn die Zahl gerade ist 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbar sind 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist 8 teilbar, wenn drei letzten Ziffern durch 8 teilbar sind 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist 6 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar und Zahl gerade 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist 25 teilbar, wenn wenn die zwei letzten Ziffern durch 25 teilbar Für die Teiler 7, 11, 13, gibt es keine speziellen Teilbarkeitsregeln. Im Einzelfall muss die Division ausgeführt werden. Teilbarkeitsregeln können zum Teil auch kombiniert werden. So ist z.B. eine Zahl genau dann durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist. Seite 14 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 9.4. Primzahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen mit genau 2 Teilern. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl grösser als 1 (!), die nur durch 1 und durch sich selber teilbar ist. 1 ist keine Primzahl, weil sie nur 1 Teiler hat. Bis 100 ergeben sich 25 Primzahlen: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 2 ist die einzige gerade Primzahl. 9.5. Zerlegung in Primfaktoren Jede Zahl kann in ihre Primfaktoren zerlegt werden. Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren ist – bis auf die Reihenfolge – eindeutig. Bsp: 572400 in Primfaktoren zerlegen: 572400 100 4 9 3 53 2 4 33 5 2 53 9.6. grösster gemeinsamer Teiler ggT und kleinstes gemeinsames Vielfache kgV Werden Teiler und Vielfache von zwei oder mehreren natürlichen Zahlen gesucht, so sprechen wir genau dann von gemeinsamen Teilern bzw. gemeinsamen Vielfachen, wenn sie bei beiden natürlichen Zahlen Teiler, bzw. Vielfache sind. Bei gemeinsamen Teilern gibt es immer einen grössten (der kleinste ist immer 1) und bei gemeinsamen Vielfachen gibt es immer ein kleinstes (ein grösstes Vielfaches gibt es nicht). Mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung können der ggT und das kgV gefunden werden: grösster gemeinsamer Teiler ggT kleinstes gemeinsames Vielfache kgV 396 2 2 3 2 11 594 2 33 11 792 2 3 3 2 11 396 2 2 3 2 11 594 2 33 11 792 2 3 3 2 11 ggT 2 3 2 11 198 kgV 2 3 33 11 2376 Wir nehmen von jedem (bei allen Zahlen enthaltenen) Primfaktor die kleinste Anzahl und multiplizieren sie miteinander. Wir nehmen von jedem vorhandenen Primfaktor die grösste Anzahl und multiplizieren sie miteinander. Der ggT zweier teilerfremder Zahlen ist immer 1. Das kgV zweier teilerfremder Zahlen ist immer das Produkt der beiden Zahlen. Es gilt zudem: ggT (a, b) kgV (a, b) a Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 15 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 10. Ganze Zahlen 10.1. Addition und Subtraktion b) a b b (b) a b (b) a Eine negative Zahl wird subtrahiert, indem man ihren Betrag addiert Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren Betrag subtrahiert (2) (5) 2 5 (3) (5) 3 5 (2) (5) 2 5 (3) (5) 3 5 Damit ist ein neuer Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion entstanden. Jede Subtraktion kann durch eine gleichwertige Addition ersetzt werden und umgekehrt. 10.2. Multiplikation und Division ( a) (b) (a b) ab ( a) (b) (a b) ab (a) (b) (a b) ab (a) (b) (a b) ab Das Produkt von zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv Das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ. Da die Division als Umkehrung der Multiplikation angesehen wird, gilt diese Gesetzmässigkeit auch bei der Division: a a b b a a (a) (b) b b ) ( b) Der Quotient zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist immer positiv Seite 16 a b a ) ( b) b ( a) (b) Der Quotient zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ. Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 11. Rationale Zahlen 11.1. Übersicht rationale Zahlen Mit rationalen Zahlen sind alle Zahlen gemeint, die als gewöhnliche Brüche dargestellt werden können. Als Dezimalbrüche sind sie entweder abbrechend oder dann aber periodisch. abbrechende Dezimalbrüche gewöhnliche Brüche rationale Zahlen periodische Dezimalbrüche 11.2. Operieren mit Dezimalbrüchen Addition Subtraktion Schreibe die Dezimalbrüche so untereinander, dass die Kommata untereinander stehen. Anschliessend kannst du addieren wie du es bereits kennst. Schreibe die Dezimalbrüche so untereinander, dass die Kommata untereinander stehen. Anschliessend kannst du subtrahieren wie du es bereits kennst. 15,203 7,63 7,573 2,56 13,3 5,475 21,335 Multiplikation Division Multipliziere Dezimalbrüche zuerst ohne das Komma zu beachten. Zähle zum Schluss alle Stellen nach dem Komma zusammen. So viele Stellen hat auch das Resultat Vergrössere Schrittweise mit dem Faktor 10 die beiden Zahlen, bis der Divisor kein Dezimalbruch mehr ist. Anschliessend kannst du ganz normal dividieren. 2, 3 5 • 1 2 3, 6 3 1, 4 5 7 5 9 9 5 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 1 1 2, 2 6 6 : -1 0 2 -2 0 5 1 1 0 0 0 0 3, 3 5 5 3, 6 Seite 17 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 11.3. Verwandlungen Dezimalbrüche Ù Gewöhnliche Brüche Jede rationale Zahl kann als gewöhnlicher Bruch oder als Dezimalbruch geschrieben werden. Die Darstellung als Dezimalbruch erfolgt durch das Dividieren von Zähler und Nenner. Geht die Division auf, so sprechen wir von einem abbrechenden Dezimalbruch. Abbrechende Dezimalbrüche können einfach in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Man muss einzig die entsprechenden Stellenwerte zusammennehmen. Der anschliessende Bruch muss nur noch vollständig gekürzt werden. Einige wichtige Dezimalbrüche sollte man aber auswendig kennen. 0,135 135 27 1000 200 Geht die Division nicht auf, so sprechen wir von einem nichtabbrechenden Dezimalbruch. In diesem Falle ist er aber periodisch. Verwandlung eines periodischen Dezimalbruches in einen gewöhnlichen Bruch 0,12 100 12,1212121212. 0,121212121212 Beispiel 1: reinperiodischer Dezimalbruch 99 12 12 99 4 33 0,1234 1000 1234,234234234 1,234234234 10 Beispiel 2: unreinperiodischer Dezimalbruch 9990 1233 z 1233 9990 137 1110 Es ist oftmals erheblich schwieriger einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Grundsätzlich können wir aber jeden gewöhnlichen Bruch mit Hilfe einer Division in einen Dezimalbruch umwandeln. 4 5 4 5 0,8 11.4. Wichtige Beziehungen Dezimalbruch Ù Gewöhnlicher Bruch 0,5 1 2 0,125 1 10 1 0,25 4 5 0,8333. 6 0,1 1 8 1 0,1666. 6 Seite 18 0,2 1 5 0,375 0,4 3 8 1 0,111. 9 2 5 0,6 0,333. 5 0,625 8 1 3 3 5 0,1666. 1 6 1 0,04 25 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 11.5. Gewöhnliche Brüche Zähler Bruchstrich Nenner 2 5 1 1 1 1 , ,. 2 3 4 5 gewöhnliche Brüche mit dem Zähler 1, heissen Stammbrüche gewöhnliche Brüche mit ganzen Zahlen vor dem Bruchstrich heissen gemischte Brüche 2 4 1 ,3 ,. 3 7 11.6. Kürzen und Erweitern Erweitern Kürzen Jeder gewöhnliche Bruch lässt sich erweitern. Beim Erweitern werden Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. An der Grösse des Bruches wird nichts geändert. Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert. Nicht jeder Bruch lässt sich kürzen. Resultate sind grundsätzlich in gekürzten Brüchen anzugeben. Bsp: 2 5 mit 3 erweitern: 2 3 6 5 3 15 Bsp: 12 18 vollständig kürzen: 12 6 2 18 6 3 11.7. Operieren mit gewöhnlichen Brüchen Addition Subtraktion Bei der Addition müssen die Brüche gleichnamig sein. Sind sie das nicht, werden sie vorgängig erweitert, bis sie gleichnamig sind. Anschliessend addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich. Bei der Subtraktion müssen die Brüche gleichnamig sein. Sind sie das nicht, werden sie vorgängig erweitert, bis sie gleichnamig sind. Anschliessend subtrahiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich. 2 4 10 12 22 7 1 3 5 15 15 15 15 5 2 25 12 13 6 5 30 30 30 Multiplikation Division Bei der Multiplikation von zwei Brüchen multipli- Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem zieren wir einfach die Zähler miteinander und die Kehrwert des zweiten Bruches. Das heisst, wir Nenner miteinander. vertauschen Zähler und Nenner beim zweiten Bruch und multiplizieren ganz normal. Es lohnt sich meistens vor dem Ausrechnen zu kürzen. 12 5 12 5 2 1 2 15 6 15 6 3 1 3 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 13 26 13 5 13 5 1 1 1 15 5 15 26 15 26 3 2 6 Seite 19 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein rationale Zahlen irrationale Zahlen gewöhnliche Brüche Reelle Zahlen 12. Reelle Zahlen abbrechende Dezimalbrüche 0.75 3 4 periodische Dezimalbrüche 0.016 1 60 nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalbrüche 2 1.414 Alle Zahlen, die nicht als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden können, stammen aus der Menge der irrationalen Zahlen. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge der reellen Zahlen R. Irrationale Zahlen sind meistens sehr schwierig zu schreiben. Für einige wichtige haben wir daher ein Symbol eingeführt: 2 3 . Andere irrationale Zahlen lassen sich nur gerundet angeben oder als unvollständige Zahl. Seite 20 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 13. Wurzeln und Potenzen 13.1. Definition Wurzeln Mit (a 0) bezeichnen wir eine bestimmte, nicht negative Zahl, welche quadriert ergibt. Die Wurzel aus einer bestimmten Zahl ist also immer positiv. 13.2. Wurzelgesetze Gesetzmässigkeit Gültigkeit Beispiel b a für alle a, R0 4 9 4 9 2 3 6 36 a b für alle a, R0 b 0 48 48 42 12 12 ab für alle a, R0 4 9 4 9 2 3 5 13 13.3. Definition Potenzen n (für alle a) heisst n-te Potenz von a. heisst Basis und kann eine beliebige Zahl der reellen Zahlenmenge annehmen. heisst Exponent und ist eine ganze Zahl (Sek-Stufe 1). 13.4. Potenzgesetze Gesetzmässigkeit Gültigkeit Beispiel n m a m für alle a, m, 35 36 311 an nm a am für alle a, m, 46 6 2 4 4 4 42 für alle a, m, 3 4 (3 4 5 3 45 3 20 nm (a n a0 1 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 nm 5 für alle Seite 21 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein C. Terme 14. Zahlenterme Eine Aufgabe kann in Form eines Textes gegeben sein. Viel einfacher und kürzer wird sie aber in Form von mathematischen Symbolen, von Termen. Textaufgabe Zahlenterm 3 1,2 4 0,2 Zähle vom Dreifachen von 1,2 das Vierfache von 0,2 ab Zahlenterme sind die einfachste Art von mathematischen Aufgaben. Nur Zahlenterme liefern ein eindeutiges Ergebnis. 15. Buchstabenterme Buchstabenterme sind grundsätzlich dasselbe wie Zahlenterme, nur dass eine oder mehrere Zahlen durch Buchstaben ersetzt werden. Als Variable bezeichnet man einen Buchstaben, an dessen Stelle eine beliebige Zahl aus einer gegebenen Menge eingesetzt werden kann. Textaufgabe Wähle eine Zahl, verdreifache sie und addiere 6; multipliziere das Ergebnis mit einer andern Zahl. Buchstabenterm (3 6) Buchstabenterme kann man grundsätzlich nicht ausrechnen. Man kann sie vereinfachen oder auswerten. 15.1. Auswerten von Buchstabentermen Buchstabenterme können ausgewertet werden, indem man für jede Variable Zahlen einsetzt. Dabei muss beachtet werden, dass wir für die gleiche Variable dieselbe Zahl einsetzen. Der nun entstandene Zahlenterm kann ausgerechnet, ausgewertet werden. Beispiele: 3 aa2 (3 a) 2 (a 12 0 -3 0 1,5 0 4,5 1,5 40,5 -0,75 18 Seite 22 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 15.2. Vereinfachen von Buchstabentermen Beim Vereinfachen von Buchstabentermen müssen wir uns an folgende Abmachungen halten. Addition Subtraktion 1 Die Zahlen vor den Variablen heissen Koeffizienten. Das Malzeichen zwischen Koeffizient und Variable muss nicht geschrieben werden. 2 2x Potenz 3 3x x1 x x2 x x3 x Vertauschen von Termen ab ba Das Vertauschen von Termen ist gestattet, sofern die Vorzeichen mitgenommen werden. Steht kein Vorzeichen, so ist es positiv. b ba b a Vereinfachen von Summen 12 2 3 2 15 2 Summen können vereinfacht werden, indem die Koeffizienten addiert oder subtrahiert werden. Die Exponenten der Variablen müssen aber gleich sein und bleiben unverändert. 4ab 3ab 6ab 5ab 8ab Vereinfachen von Produkten Produkte können vereinfacht werden, indem die Koeffizienten multipliziert werden. Die Exponenten der Variablen werden zusammengezählt. 3y3 5y2 6 y3 2 y2 9 y3 7 y2 3 4 50 2 1200 2 3h 2 6h 3 18h 5 Vereinfachen von Quotienten Divisionen können vereinfacht werden, indem die Koeffizienten dividiert werden. Die Exponenten der Variablen werden subtrahiert. Mike Stettler Spiez, 2003 2007 24 5 8 3 3 2 36 ab 5 3 4ab 2 2 9b 3 Seite 23 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 15.3. Gewinnung von Termen mit mehreren Variablen Beim Auswerten von Buchstabentermen mit mehr als einer Variablen ist darauf zu achten, dass verschiedene Variablen durch gleiche Zahlen ersetzt werden dürfen. Normalerweise sind zwei verschiedene Variablen aber durch unterschiedliche Zahlen zu ersetzen. Textaufgabe Addiere zu einer Zahl eine beliebige zweite Zahl Multipliziere die Summe zweier Zahlen mit ihrer Differenz Subtrahiere das Dreifache einer Zahl vom Produkt zweier weiterer Zahlen. Buchstabenterm ab (a b) (a b) 3a Beispiele: Werte den Term 2 2 xy aus: yÆ Èx 1 2 0 1 1 1 0 1 2 4 6 2 4 11 2 7 16. Polynome 16.1. Begriffe Begriffe Erklärung Monome sind keine Summen, sondern einfache Terme Binome spezielle Summen mit genau zwei Summanden Polynome Seite 24 Summen mit beliebig vielen Summanden Beispiel 1 2 x3 2x 2 4 3 3x 2 4 2 3x 4 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 16.2. Klammerregel: Polynome addieren und subtrahieren Summen und Differenzen Produkte und Quotienten 1. Fall 5 (3 4) 5 3 4 5 (3 4) 5 3 4 (b c) a b c (b c) a Assoziativgesetz bezüglich Addition Assoziativgesetz bezüglich Multiplikation 2. Fall 2 (7 4) 2 7 4 7 (6 2) 7 6 2 (b c) a b (b c) a : 3. Fall 5 (2 9) 5 2 9 8 (2 4) 8 2 4 (b c) a : (b c) a b c 4. Fall 9 (6 2) 9 6 2 9 (6 2) 9 6 2 (b c) a : (b c) a.b Enthält ein Term nur Strichoperationen und steht vor einer Klassem das Zeichen (plus), so kann man die Klammer weglassen. Enthält ein Term nur Punktoperationen, und steht vor einer Klammer das Zeichen · (mal), so kann man die Klammer weglassen. Ist vor einer Klammer das Zeichen -, so kann man die Klammer weglassen, wenn in der Klammer sämtliche Operationszeichen und – vertauscht werden. Ist vor einer Klammer das Zeichen , so kann man die Klammer weglassen, wenn in der Klammer sämtliche Operationszeichen (mal) und vertauscht werden. 16.3. Mit Polynomen multiplizieren Das Distributivgesetz kann auf alle Polynome ausgeweitet werden und führt uns zum Ausmultiplizieren von Binomen und Polynomen: (a b)(c d ac ad bc bd (a b)(c ) ac ad bc bd (a b)(c ) ac ad bc bd (a b)(c d ac ad bc bd Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 25 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 16.4. Binomische Formeln Häufig treten beim Ausmultiplizieren folgende Spezialfälle auf. Diese drei folgenden binomischen Formeln sind die wichtigsten in der ganzen Algebra. : (a b)(a b) (a b) 2 a 2 2ab b 2 II (a b)(a b) (a b) 2 a 2 2ab b 2 III (a b)(a b) a 2 2 Beim Ausmultiplizieren von zwei Polynomen wird jeder Summand des einen Polynoms mit jedem Summanden des andern Polynoms multipliziert und die Summe gebildet. Produkte von mehr als zwei Polynomen müssen schrittweise durchgeführt werden. (a b c)(a b)(b c) (a 2 ab ab 2 ac bc)(b c) 16.5. Ausklammern Das wichtigste Verfahren bei Termumformungen ist das Ausklammern. Aus einem Term kann man immer den grössten gemeinsamen Teiler ausklammern. Zum Lösen einer einfachen Gleichung ist dies unerlässlich. Beim Schlussresultat hat es sich eingebürgert, dass man normalerweise ausklammert, wenn man kann. 6 6 6( ) 14 4 21x 3 7 3 (2 3) 3 y 2 1( 3 3 Wir können aber auch Polynome ausklammern: x( 7 ) 2 ( 7 ) x 7 )( 2 ) x( 2 )[(3x y x 2 )] x( 2 )(2 3 ) x(3x y )( 2 ) x( 2 ) 2 (6 5) (4 3) (6 5)(4 3) (6 5)(4 3)[(6 5) (4 3)] (6 5)(4 3)(2 2) 2 Seite 26 2 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 16.6. Zerlegen in Faktoren Ein spezielles Ausklammern ist das Zerlegen in Faktoren. Es bedingt aber die Beherrschung der 3 Binomischen Formeln. 2 2ab b 2 a b) 2 a2 b2 (a b)(a b) 2ab b a b) 16 x 2 4 )( 2 4 ) 2 2 2 4 2 Die binomischen Regeln können aber nicht immer angewendet werden. Man muss daher nach den beiden Klammerausdrücken suchen: 2 8 15 x 3)( 5) 2 2 24 x 6)( 4) 2 5x 6 x 3)( 2) 2 12 x 4)( 3) 4 24 64 4( 6 16) 2 2 4( 2)( 8) 17. Doppelbrüche Bei einer Division zweier Bruchterme entstehen Doppelbrüche. Zu ihrer Vereinfachung stehen zwei Wege offen: 2 Beispiel 1: x 3 2 x 2 (3 2 )(2) 3x 2 ) ( y) : 3 2 6 2 6( 2 ) 3( 2 ) y x 2 3 Æ erweitern mit 6 Æ 6( 2 3 3 2 Beispiel 2: 6( 2x y 3 6 y 2 18. Definitionsmenge Als Definitionsmenge eines Terms bezeichnet man die Menge aller in Betracht gezogenen Zahlen, für welche der Term definiert ist, d.h. ausgerechnet werden kann. Insbesondere ist darauf zu achten, dass der Nenner nicht null wird, da eine Division durch null unmöglich ist. Definitionsmengen sind auch bei Gleichungen notwendig. Mit ihnen wird festgelegt, welche Zahlen überhaupt bei Gleichungen als Lösung in Betracht kommen. Beispiel: Gleichung: 2x 1 Lösung der Gleichung: 0.5 Lösung bei Definitionsmenge }, da 0.5 nicht zu gehört Lösung bei Definitionsmenge 0.5 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 27 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 19. Gleichungen und Ungleichungen 19.1. Mögliche Aufgabentypen Wir suchen Zahlen, die eine gewisse Bedingung erfüllen. Diese kann mit Worten oder mit mathematischen Zeichen formuliert sein. Dabei setzen wir an die Stelle der gesuchten Zahlen eine Variable, meistens x. In Termen kann eines der folgenden Zeichen stehen: gleich kleiner als grösser als ungleich grösser oder gleich kleiner oder gleich Eine Gleichung liegt vor, wenn zwischen zwei Termen das Zeichen steht. Eine Ungleichung liegt vor, wenn zwischen zwei Termen eines der fünf andern Zeichen steht. Eine Gleichung oder Ungleichung lösen heisst, alle (!) Zahlen angeben, welche die gestellte Bedingung erfüllen. Die Zahlen, die wir dafür in Betracht ziehen, bilden die Grundmenge G. Wird nichts besonderes vermerkt, setzen wir alle jene Zahlen voraus, mit denen wir rechnen können (in der Regel sind das alle rationalen Zahlen Q) Als Lösung bezeichnen wir jede Zahl aus G, welche die Bedingung erfüllt. Die Lösungsmenge umfasst sämtliche Lösungen. Besitzt die (Un-)gleichung keine Lösung, so ist die Lösungsmenge die Leere Menge }. 19.2. Lineare Gleichungen, Gleichungen 1. Grades Kleine Grundmenge Æ Einsetzmethode Bei kleinen Grundmengen genügt es, wenn jede Zahl in die Gleichung eingesetzt wird um nachzusehen, welche Zahlen die Bedingungen erfüllen. Bedingung sehr einfach Sind die Bedingungen so einfach gestellt, dass auf den ersten Blick die Lösungsmenge klar ist, brauchen wir nur die Lösungsmenge aufzuschreiben. umfangreichere Bedingungen Æ Äquivalenzumformung Normalerweise umfasst die Grundmenge unendlich viele Zahlen und die Bedingungen sind nicht so einfach, dass die Lösungsmenge offensichtlich ist. Durch Umformen der Gleichung mit Hilfe der Äquivalenzumformungen, gelingt es uns, schrittweise eine einfachere Gleichung zu erhalten. Seite 28 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 19.3. Äquivalenzumformungen Man ersetzt die Gleichung oder Ungleichung schrittweise durch äquivalente, bis die Lösungsmenge offensichtlich ist. Gleichungen oder Ungleichungen heissen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben. Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivalente, wenn man den Term auf der einen und/oder andern Seite umformt. 2x 4x 6 6x 6 3x 6 2 2x 8 umformen, vereinfachen Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivalente, wenn man auf beiden Seiten den gleichen Term addiert oder subtrahiert. 6x 6 4x 2x 8 14 6 -2x Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivalente, wenn man beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder dividiert. 4x 14 14 4 :4 3,5 Achtung: Wenn wir bei Ungleichungen durch eine negative Zahl teilen müssen, so müssen wir auch das Ungleichheitszeichen umdrehen. 4x 14 :(-4) -3,5 Beim Lösen von Gleichungen Ungleichungen 1. Grades geht es darum, die Unbekannte auf der einen Seite zu isolieren und die reinen Zahlen auf die andere Seite zu bringen. Die grössten Schwierigkeiten bietet aber vielfach nicht das mathematische Lösen der Gleichung, sondern viel mehr die Gewinnung einer Gleichung aus einem sprachlichen Zusammenhang. Hier zeigt es sich wieder einmal, wie kompliziert die deutsche Sprache sein kann und Mathematik so einfach: Textgleichung Addiert man zum 6-fachen einer Zahl 8, so erhält man gleichviel, wie wenn man vom 9fachen der Zahl 4 subtrahiert. Mike Stettler Spiez, 2003 2007 mathematische Gleichung 6x 8 9x 4 Seite 29 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 19.4. Der Grad einer Polynomgleichung Wenn eine Gleichung mit einer Variablen eine der folgenden Formen annimmt, so ist sie vom 1. Grad ax b 0 vom 2. Grad ax 2 bx c 0 vom 3. Grad ax 3 bx 2 cx d 0 vom 4. Grad ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 vom n-ten Grad usw. 1 oder keine Lösung 2, 1 oder keine Lösung 3, 2, 1 oder keine Lösung 4, 3, 2, 1 oder keine Lösung max. Lösungen ax bx 1 cx 2 . yx z 0 a, b, c,. heissen Koeffizienten und sind meistens natürliche Zahlen Das Lösen einer Polynomgleichung ist nur für den Grad 1 und 2 einfach und genau durchführbar. Wenn wir Polynomgleichungen höheren Grades nicht in Faktoren zerlegen können, so ist es unter Umständen schwierig eine Lösung zu finden! 19.5. Einfache quadratische Gleichung Grundlegend für das Lösen von quadratischen Gleichungen sind die Äquivalenzumformungen sowie die Technik des Ausklammerns und des Faktorisierens. Weiter ist folgende Zahleneigenschaft wichtig: Wenn von zwei Zahlen die eine oder andere null ist, so ist auch ihr Produkt null. Umgekehrt gilt: Wenn das Produkt zweier Zahlen null ist, so muss die eine oder andere Zahl null sein. 0 0 oder 0 Quadratische Gleichungen lösen wir am einfachsten so: 1. durch Äquivalenzumformungen in die Nullform bringen ax 2 bx c 0 2. durch Ausklammern in Faktoren zerlegen (faktorisieren) Die Gleichung 24 2 6 45 0 lösen wir schrittweise so: 24 2 6 45 3(8 2 2 15) 3(2 3)(4 5) 0 ausklammern 0 faktorisieren 0 damit die gesamte Gleichung „0 wird, muss einer der Faktoren „0 sein. „3 ist ungleich „0, also muss eine der Klammern „0 sein. (2 3) 0 2x 3 1 .5 Seite 30 oder (4 5) 0 4 5 0 .8 {0.8;1.5} Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 19.6. Allgemeine Form der quadratischen Gleichung Eine Gleichung mit 1 Variablen heisst quadratisch oder vom 2. Grad, wenn sie die Form hat: ax 2 bx c 0 wobei an der Stelle von a, und Zahlen stehen, jedoch 0 Quadratische Gleichungen lösen wir, indem wir sie in Faktoren zerlegen. Es gilt dann: 0 0 oder 0 wobei und Terme sind. Eine quadratische Gleichung hat genau zwei, eine oder keine Lösungen Können wir die quadratische Gleichung nicht in Faktoren zerlegen, so müssen wir die Lösungsformel anwenden (sie funktioniert in jedem Fall) 2 4ac 2a x1, 2 Der Ausdruck 2 4ac heisst Diskriminante. Mit ihr lassen sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung leicht bestimmen. Diskriminante positiv Diskriminante null Diskriminante negativ 2 4ac 0 2 4ac 0 2 4ac 0 2 verschiedene Lösungen 1 Lösung keine Lösung 19.7. Gleichungen mit Brüchen Treten in einer Gleichung Brüche auf, so ersetzt man sie am besten sofort in eine äquivalente Gleichung ohne Brüche. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit einem geeigneten Term, dem kgV der einzelnen Nenner. Treten im Nenner eines Bruches die Variable auf, so verringert sich die Definitionsmenge, denn der Nenner darf nie Null werden: Also müssen wir durch Einschränkung der Definitionsmenge dafür sorgen, dass der Nenner eben nicht null wird. Ansonsten können wir genau gleich verfahren, wie wenn kein im Nenner auftaucht. 1 5x 7 2x 1 2 6 9 Nenner weg! kgV (2, 6, 9)18 18 x2 x3 2 1 1 1 Nenner weg! kgV x 2 1) Achtung: 1;1 x 2 1) 9( 1) 3(5 7) 2(2 1) x 1)( 2) x( 1) x 3) weiter wie in 6.3. oder 6.5. beschrieben weiter wie in 6.3. oder 6.5. beschrieben Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 31 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 19.8. Verhältnisgleichungen Unter dem Verhältnis zweier positiver Zahlen und versteht man ihren Quotienten b Verhältnisse werden oft in der Form a:b geschrieben und ausgesprochen „a zu Setzt man zwei Verhältnisse, die den gleichen Wert haben, einander gleich, so entsteht eine Verhältnisgleichung. Ist ba dc so schreibt man häufig : : und sagt „a zu ist gleich zu Die Verhältnisgleichung : : ist äquivalent zur Produktgleichung In einer Verhältnisgleichung ist das Produkt der äusseren Glieder gleich dem Produkt der inneren Glieder. Beispiele: 3: 4 5: umformen; inneres Produkt äusseres Produkt 45 20 2 6 3 3 3 :3 x 1) ( 2) :8 x 2) 8 x 1) 8x 8 0 0 2 4 2x 6x 8 x 2)( 4) x1 x2 2 2 Seite 32 umformen; inneres Produkt äusseres Produkt ausmultiplizieren -8x 8 faktorisieren erkennen der Lösungen Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 20. Funktionen und ihre Graphen 20.1. xy Koordinatensystem Mit Hilfe eines Koordinatensystems können Terme und Gleichungen anschaulich dargestellt werden. Normalerweise verwenden wir ein xy-Koordinatensystem, wie es unten abgebildet ist. Die x-Achse (horizontal) und die y-Achse (vertikal) spannen ein Gitternetz auf, auf welchem die jeweiligen Koordinaten abgelesen werden können. Die x-Koordinate wird immer zuerst angegeben. A (0/0) Ursprung G (7/0) B (3/4) H (-4/0) C (-3/7) I (0/1) D (-7/-4) J (-2.5/0.5) E (-6/0) K (2.5/-3.5) F (5/-4) L (10/1.5) Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 33 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon 20.2. Dreidimensionales Koordinatensystem Ähnlich wie das xy-Koordinatensystem kann auch im Raum die Lage von Punkten genau festgelegt werden. Wir sprechen von einem dreidimensionalen Koordinatensystem: Der Punkt hat die Koordinaten (2 5 7) Seite 34 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 20.3. Allgemeines zu Funktionen Hier geht es nicht um bestimmte Zahlenergebnisse, sondern uns interessiert vielmehr, wie eine Grösse sich ändert, wenn man eine zweite variiert. Diesen Zusammenhang kann man am besten mit der grafischen Darstellung veranschaulichen. Funktionen geben an, wie zwei Grössen voneinander abhängen. Die eine Grösse denkt man sich als frei veränderlich (unabhängige Variable), die andere richtet sich nach der ersten (abhängige Variable). Die Werte der unabhängigen Variablen tragen wir auf der x-Achse ein; wir nennen sie auch die xWerte der Funktion. Die Werte der abhängigen Funktion tragen wir dann auf die y-Achse ein und nennen sie auch y-Werte. Wir kennen 5 verschiedene Funktionstypen und ihre Graphen. Zu jedem wollen wir ein Beispiel angeben: 20.4. Funktionen und ihre Graphen Funktionstyp Formeltyp Proportionalität ax uP umgekehrte Proportionalität F1 Funktion 1. Grades F2 Spezielle Funktion 2. Grades konstante Funktion y x Graph Gerade durch 0/0 Hyperbel ax b Gerade ax 2 Parabel b Parallele zur x-Achse Proportionalität Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift ax a 0 heisst eine Proportionalität. Bei der grafischen Darstellung liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Nullpunkt. Der Proportionalitätsfaktor gibt an, wie stark die Gerade steigt. Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Seite 35 Schulzentrum Längenstein Math-Lexikon Umgekehrte Proportionalität Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y ; 0 heisst umgekehrte Proportionalität. Ihr Graph liegt auf einer Hyperbel. Funktion 1. Grades (lineare Funktion) Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift mx b m 0 heisst Funktion 1. Grades. Ihr Graph liegt auf einer Geraden, welche bei die y-Achse schneidet. gibt die Steigung der Geraden an. Spezielle Funktion 2. Grades Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift ax 2 a 0 heisst eine spezielle Funktion 2. Grades. Ihr Graph liegt auf einer Parabel Konstante Funktion Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift oder 0 heisst eine konstante Funktion. Ihr Graph liegt auf einer Parallelen zur x-Achse und schneidet die y-Achse bei b. Seite 36 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 20.5. Anforderungen an eine Funktion Für eine Funktion sind zwei Angaben nötig: • • Eine Zuordnungsvorschrift und Eine Definitionsmenge Eine Funktion liegt vor, wenn jeder Zahl aus der Definitionsmenge genau eine Zahl zugeordnet werden kann. Die Zahlenpaare einer Funktion können durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem Punkten einer Ebene zugeordnet werden. Die Menge aller Punkte ist der Graph der Funktion. 20.6. Term als Formel Ein Term ist eine Rechenvorschrift mit mathematischen Zeichen. Ein Term ist z.B. 20t 5t 2 Geben wir diesem Term eine Bezeichnung h, entsteht eine Formel 20t 5t 2 Diese Formel steht z.B. für eine bestimmte Flugbahn in der Physik Wird ein Stein mit der Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s emporgeworfen, so ist die Höhe in Metern ab Boden, die der Stein nach Sekunden im Laufe seines Fluges hat. Formeln sind auch Abbildungsvorschriften, wie wir sie bereits kennen, und können in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Beispiele: Formel: 1 x4 2 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Formel: 20 5 2 Seite 37 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 20.7. Geradengleichung Wenn die Formel die Gleichung aufweist: mx b so handelt es sich um eine Gerade. und sind dabei rationale Zahlen. entspricht dabei der Steigung der Gerade und dem Abschnitt auf der y-Achse (Schnittpunkt von Gerade und y-Achse). Steigung der Geraden: m b: y x Achsenabschnitt auf der y-Achse In einigen Fällen kann der Achsenabschnitt direkt aus dem Koordinatensystem herausgelesen werden (z.B. wenn er ganzzahlig ist). Eine nachträgliche rechnerische Kontrolle ist jedoch sinnvoll. (Bei diesem Beispiel ist 2 und 4 3 Die Gerade ist durch die beiden Punkte (-3/-2) und (3/6) festgelegt. Rechnerisch gehen wir wie folgt vor: Punkt / -3 -2) B(3/6) Differenz - y 6 – (-2) 8 x 3 – (-3) 6 Steigung m Achsenabschnitt mx b, y 8 4 1.3 x 6 3 B: 6 4 12 3 b 4 b Æ 2 3 3 A: 2 Geradengleichung Seite 38 y Einsetzen von und der Koordinaten von (z.B.) 4 12 (3) b 4 b Æ 2 3 3 4 x2 3 Mike Stettler Spiez, 2003 2007 Math-Lexikon Schulzentrum Längenstein 20.8. Umgang mit Formeln Formeln sind allgemein nichts anderes als Gleichungen mit mehreren Variablen. Grundsätzlich ist aber davon auszugehen, dass bei numerischen Aufgaben nur noch eine Variable übrigbleibt und mit Hilfe der bekannten Äquivalenzumformungen die gesuchte Variable isoliert werden kann. Auflösen einer Formel nach einer Variablen Bk p kp 100 ist der Betrag, auf den ein Kapital nach 1 Jahr bei einer Verzinsung von p% anwächst. 100 (B ) Wie gross ist der Zinsfuss p, wenn und gegeben sind? 100 100 p Wie gross ist das Kapital k, wenn und gegeben sind? k Einsetzen eines Terms in eine Formel 1 r br und 2 180 A 360 In einem Kreissektor gelten diese beiden Formeln zur Berechnung der Fläche und des Kreisbogens. Wie gross ist A, wenn und gegeben sind? r2 Auflösen – Einsetzen Wie gross ist die Oberfläche eines Zylinders mit dem Volumen V, dessen Grundfläche ein Kreis mit dem Radius ist? Es ist 2r 2 2rh (2) auflösen nach rh rh V und einsetzen in (1) 2r 2 2V (1); r 2 (2) Auflösen – Einsetzen – Auflösen Wie gross ist in einem Kreissektor die Länge des Bogens, wenn der Flächeninhalt und die Grösse des Zentriwinkels gegeben sind? Es ist