Arbeitsblatt: Merkblatt Kombinatorik

Merkblatt Kombinatorik Wir können die Probleme, die sich uns in der Kombinatorik stellen nach folgenden Kapiteln ordnen: 1. Probe ohne zurücklegen Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit vier Buchstabenkärtchen vierstellige Wörter zu bilden Einen ersten Buchstaben können wir auf vier Arten legen. Einen zweiten auf drei Arten usw. Den gebrauchten Buchstaben können wir nicht ein zweites Mal verwenden. Also: 4 3 2 1. Es gibt auch keine Verdoppelungen 2. Probe mit zurücklegen – Beispiel: Vierstellige Wörter zu bilden Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit vier Buchstabenstempel Einen ersten Buchstaben können wir auf vier Arten stempeln. Einen zweiten auch auf vier Arten, denn wir Können den Stemple ja wieder verwenden. Also: 4 4 4 4 (oder 44 ). 3. Frage nach Verdoppelungen: Beispiel: Aus einer Gruppe von 8 Personen will man 4 auswählen. Es kommt nicht darauf an, wie die Gruppe zusammengestellt wird (Rolf – Urs – Peter – Hans ist dieselbe Gruppe wie Urs – Hans – Peter – Rolf) Aus 8 Personen können wir auf 8 Arten eine erste Person auswählen. Eine zweite auf sieben Arten, eine dritte auf 6 Arten und eine vierte auf 5 Arten. Also drängt sich die Multiplikation 8 7 6 5 auf. Doch Achtung Die oben im Beispiel genannte Gruppe (Rolf – Urs – Peter – Hans) kommt auf mehrere Arten zustande. Auf wie viele Arten – das ist die Frage, die sich jetzt stellt. Jede Vierergruppe kann auf 4 3 2 1 Arten zusammengestellt werden (siehe Probe ohne zurücklegen). Genau diese Anzahl Arten macht die Anzahl der Verdoppelungen aus. Also müssen wir einen Bruch kreieren: 8 7 6 5 4 3 2 1. Diese Rechnung kann man auch allgemein als (sprich: 8 tief 4) bezeichnen. Ein anderes Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 42 zu ziehen Die Verdoppelungsproblematik stellt sich hier. Denn die Kombination 123456 ist genau dieselbe wie 234561 Es gibt also für 6 Zahlen 6 5 4 3 2 1 Anzahl Verdoppelungen. Also: die Lösung lautet hier (42 tief 6) oder 42 41 40 39 38 37 6 5 4 3 2 1 Der Mathematiker braucht zur schnellen Berechnung die sogenannte Fakultät – Funktion (auf dem Taschenrechner mit der ! Taste zu berechnen) Die Fakultät aus 6 ist 6! Ist gleich 6 5 4 3 2 1. Der Rechner multipliziert die eingegebene Zahl automatisch bis 1 zurück. Die Zahl 42 tief 6 lässt sich also mit folgenden Fakultäten berechnen: 42! 36! 6! Als Bruch dargestellt: Wenn Bedingungen gegeben sind, geht man am besten vom Baumdiagramm aus. Beispiel: Eine dreifarbige Fahne kann aus den Farben blau (b), grau (g), rot (r ), weiss (w), schwarz (s) oder Pink (p) gefärbt werden. Bedingungen: das erste Feld darf nur weiss oder schwarz sein die Farben schwarz und weiss dürfen nicht zusammenfallen wenn weiss und rot zusammenfallen, darf das dritte Feld nicht grau sein Baumdiagramm: 1. Feld 2. Feld 3. Feld Anzahl Lösungen: