Arbeitsblatt: Kombinatorik LU

Lernumgebungen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Version ohne Spiele erweitertes mathbu.ch phBern NDS Reallehrkräfte Diplomarbeit «Lernspiele in der Mathematik der Sekundarstufe 1» Thomas Liechti, Agnes Rufener, Beat Schulthess 1 Probe mit Zurücklegen Ob du mit dem Würfel eine mehrstellige Zahl zusammenstellst oder mit Kärtchen ist nicht dasselbe! • Wenn du würfelst, kann jede Zahl mehrmals vorkommen. Das ist die Probe mit Zurücklegen. • Mit den Kärtchen ist dies nicht möglich! Das ist die Probe ohne Zurücklegen. In der Kombinatorik geht es darum, die Anzahl Möglichkeiten in einer Problemstellung zu bestimmen. Es ist dabei wichtig, die Bedingungen genau zu kennen. 1 Domino-Steine Domino wird in unzähligen Varianten gespielt. Vieles über den Ursprung des Spiels liegt im Dunkeln. Von China aus kam das Domino vermutlich im 18. Jahrhundert nach Europa. Ein Dominostein hat zwei Hälften. Auf beiden Hälften können 1 – 9 Punkte vorkommen. Wie viele verschiedene Dominosteine lassen sich herstellen? Achte auf die Verdoppelungen! 2 Domino-Kette Kannst du eine Dominokette legen mit allen Steinen, ohne dabei einen Rest zu erhalten? Begründe kurz deine Antwort 3 Wörter bilden Aus einer Urne werden Buchstabenkärtchen gezogen und Wörter gebildet. K In der ersten Urne befinden sich die drei Kärtchen T, und R. Der aus dieser Urne gezogene Buchstabe wird an erster Stelle des Wortes gelegt. Der Buchstabe aus der zweiten Urne steht an der zweiten Stelle des Wortes usw. Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du herstellen? 4 Wörter bilden Für die nächste Aufgabe leeren wir alle Kärtchen in die erste Urne. Nun ziehst du aus dieser Urne ein Kärtchen und schreibst den Buchstaben auf ein Papier. Dann legst du das Kärtchen wieder in die Urne zurück. Wie viele verschiedene Wörter kannst du herstellen, wenn du insgesamt vier Kärtchen ziehen sollst? 2 LU 37 5 Zahlen -Kombinationen Stell dir vor, du hast zwei Würfel zur Verfügung. Mit dem ersten Würfel würfelst du eine Zahl. Diese Zahl stellt die Zehnerziffer dar. Mit dem zweiten Würfel würfelst du eine weitere Zahl. Diese Zahl stellt die Einerziffer dar. Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen kannst du so würfeln? Bsp: 1. Würfel 5; 2. Würfel 3; Es entsteht die Zahl 53. 6 Computer-Codes Der Computer kennt nur 2 Zeichen (Strom; nicht Strom). Jede Zahl und jeder Buchstaben wird deshalb mit einem Code dargestellt: Strom 1; nicht Strom 0. Wie viele Zeichen kann man mit einem zweistelligen Code darstellen? B D 7 zweistelligen Code Bsp: I0 siebenstelligen Code Bsp: I0000I0 zehnstelligen Code darstellen? Bsp: 0III00III00 Um nur schon alle Buchstaben und alle Zahlen darstellen zu können bräuchte es 42 verschiedene Codes. Wie lange müsste dieser Code sein, um alle Buchstaben und Zahlen abzudecken? Sport–Toto Im Sport–Toto werden Spielausgänge von Fussballspielen vorausgesagt. Für einen Sieg der Heimmannschaft (erstgenannte) steht der Tipp 1, für einen Sieg der Gastmannschaft (zweitgenannte) steht der Tipp 2 und für ein Unentschieden steht der Tipp X. B 8 Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Ausgang von zwei beliebigen Spielen richtig zu tippen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Ausgang aller 13 Spiele richtig zu tippen? Bei 4 der 13 Spielen ist die Heimmannschaft deutlich stärker als die Gastmannschaft. Da gilt der Tipp 1 als sicher. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 13 Spiele richtig zu tippen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn bei 6 der 13 Spiele nur ein Sieg einer Mannschaft in Frage kommt? Wege zum Ziel Wie viele verschiedenartige Wege führen zum Ziel? Rückwärts fahren ist nicht erlaubt. Start Start Ziel Start Ziel Ziel Start Ziel 3 Probe ohne Zurücklegen Wenn sich dir ein Problem stellt, in welchem du eine verwendete Möglichkeit kein zweites Mal einsetzen darfst,dann musst du dir überlegen, was als Nächstes geschehen muss. Deshalb gilt: Wie viele Möglichkeiten bleiben für den nächsten Schritt? Bei dieser Lernumgebung ist immer die entscheidende Frage: Wie viele Möglichkeiten bleiben für den nächsten Schritt? 1 Züge zusammenstellen B 2 Wie viele Züge lassen sich mit je einem dieser Wagen zusammenstellen? Wie viele Möglichkeiten hast du, die Lokomotive mit drei verschiedenen Wagen zusammenzustellen? Domino-Kette In den Kasten sind die möglichen Figuren mit der vorgegeben Anzahl Quadraten eingezeichnet. Führe die Auflistung weiter und zeichne alle möglichen Figuren ein. Schreibe anschliessend die Anzahl der gefundenen Figuren ein. 4 LU 38 3 Zahlen-Kombinationen Durch Vertauschen der Ziffern in der Zahl 67528 entstehen neue fünfstellige Zahlen. B 4 Schreibe die fünf grössten und die fünf kleinsten Zahlen auf. Wie viele Zahlen könntest du im Ganzen bilden? Transport organisieren Der Camioneur stellt 5 Frachtstücke zum Abtransport bereit. B 5 Auf wie viele verschiedene Arten kann er sie nebeneinander in eine Reihe stellen? Wie viele Möglichkeiten gibt es mit dem Sack am Anfang? In wie vielen Anordnungen steht das Fass in der Mitte? Sitz-Ordnung Ein nicht besetztes Klassenzimmer wird für den Wahlfachunterricht benutzt. Es stehen 10 Schulpulte zur Verfügung. Die Schüler dürfen ihre Plätze frei wählen. Wie viele Sitzordnungen sind möglich? B 6 Wahlfach Math: Wahlfach Franz: Wahlfach Deutsch: 6 Schülerinnen und Schüler 7 Schülerinnen und Schüler 8 Schülerinnen und Schüler Preisverteilung 1 Bei einem Wettbewerb an der Sek Schwarzenburg haben 248 Schülerinnen und Schüler die Aufgaben richtig gelöst. Unter ihnen werden jetzt die drei Hauptpreise (1. Preis: Ein Fahrrad, 2. Preis: Ein Eintritt ins Kino, 3. Preis: Ein freier Halbtag) verlost. Auf wie viele Arten können die Preise verteilt werden? 7 Preisverteilung 2 Fünf Schülerinnen – fünf Stühle: Auf wie viele Arten können sich die fünf Mädchen setzen? Gleiche Anzahl Stühle: Auf wie viele Arten können sich fünf von sechs Knaben auf die Stühle setzen? 5 Problem der Verdoppelungen Sei es in einer Problematik mit oder ohne das Zurücklegen der Möglichkeiten: Die Frage nach den möglichen Verdoppelungen muss gestellt werden! 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sich 10 Personen die Hände schütteln? Achtung! Da ist eine Schwierigkeit versteckt: Die Möglichkeiten dürfen nicht doppelt gezählt werden! Werden alle Möglichkeiten zweimal gezählt, muss also die Anzahl der Lösungen halbiert werden. Schach-Turnier Zu einem Schachwettkampf treffen sich zwei Mannschaften. Die eine hat 5 Spieler, die andere 4. Am ersten Tag trifft jeder der ersten Mannschaft auf jeden der zweiten. Wie viele Partien werden so gespielt? Am zweiten Tag spielen alle Teilnehmenden gegen jeden Gegner eine Kurzpartie, um den stärksten Spieler bestimmen zu können. Wie viele Partien müssen jetzt gespielt werden? 2 Krankenbesuch Eine Schülerin deiner Klasse liegt im Spital. Ihr organisiert euch so, dass jeden Tag zwei Personen aus der Klasse die Patientin besuchen gehen. Wie viele verschiedene Zweiergruppen könnt ihr so aus eurer Klasse bilden? Wie viele reine Mädchengruppen ergeben sich? 3 Götter Drei Götter sitzen in einem Tempel nebeneinander. Einer von ihnen ist der Gott der Wahrheit (W), der – wie jedermann weiss – nie lügt. Ein anderer ist der Gott der Lüge (L), der immer lügt und der dritte ist der Gott der Diplomatie (D), von dem bekannt ist, dass er manchmal lügt. Ein Weiser hat mit einer gezielten Frage an jeden herauszufinden, wer welcher Gott ist. Die Frage an den ersten lautet: Antwort: Die Frage an den mittleren lautet: Antwort: Die Frage an den dritten lautet: Antwort: «Wer sitzt neben dir?» «Der Gott der Wahrheit.» «Wer bist du?» «Der Gott der Diplomatie.» «Welcher Gott sitzt neben dir?» «Der Gott der Lüge.» Schreibe nun mit den Buchstaben W, L, alle möglichen Sitzordnungen auf. Streiche dann weg, was nicht in Frage kommt. Welche Kombination bleibt übrig? 4 Sportsendung Zu einer Sportsendung sollen zwei Sportler eines Dorfes eingeladen werden. Es möchten 4 Fussballer, 3 Tennisspieler und 5 Volleyballer teilnehmen. Man entschliesst sich, die beiden Sportler auszulosen. Pro Sportart darf aber nur einer teilnehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Sportler auszuwählen? LU 39 5 Lotto Du kennst sicherlich das Lotto – Spiel. Vielleicht kennst du aber nicht, die Anzahl aller möglichen Kombinationen, um etwas zu gewinnen. Bei den folgenden Fragestellungen beschäftigst du dich mit der Anzahl der Möglichkeiten, die Merkblätter ab Seite 12 können dir dabei helfen. B E G I Wie viele Möglichkeiten hast du, eine Zahl zu würfeln? Wie viele Möglichkeiten hast du, mit zwei Würfeln eine Zahl zu würfeln? Vor dir liegen 10 Karten mit den Zahlen 1 – 10. Wie viele Möglichkeiten hast du, ein Zahlenpaar zu bilden (3 7 ist dieselbe wie 7 3) Wie viele Möglichkeiten hättest du, aus diesen 10 Nummernkärtchen eine Dreierkombination zu ziehen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Zweiergruppe aus deiner Klasse zu bilden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Vierergruppe aus deiner Klasse zu bilden? Das Schweizer – Lottospiel hatte früher 42 Zahlenkugeln, die zu Kombinationen zusammengemischt wurden: Wie viele Zweierkombinationen sind dabei möglich? Wie viele Fünferkombinationen sind dabei möglich? Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 42 Zahlen zu kombinieren? Heute hat das Schweizer – Lottospiel 45 Zahlenkugeln zur Auswahl. Wie gross ist jetzt die Zahl der möglichen Kombinationen? In jüngster Zeit grassiert auch noch das Euro – Million Fieber. Dieses Lottospiel besteht aus 50 Zahlenkugeln, die wiederum zu einer Sechserkombination gemischt werden. Wie viele Möglichkeiten hast du bei diesem Spiel, einen Hauptgewinn zu erzielen? Steigerst du deine Gewinnchancen, wenn du ein Jahr lang, Woche für Woche Lotto und Euro – Million mit den immer gleichen Zahlen spielst? 6 7 Die Wahrscheinlichkeit Aus den vielen Möglichkeiten gibt es beim Lotto genau eine Zahlenkombination, mit der du den Hauptgewinn erhältst. Man gibt die Wahrscheinlichkeit als Bruchteil an. Die Chance eine 5 zu würfeln ist beispielsweise 1 der 6 Möglichkeiten, also 61 günstigen Fälle oder: möglichen Fälle Keine Angst! Hier kommt nichts mehr grundsätzlich Neues! Mit der Wahrscheinlichkeit gibt man ein einfaches Verhältnis an. Leitzahlen der geburtshilflichen Statistik aus dem Jahre 1999 Kinder Geburten Einlingsgeburten Zwillingsgeburten Drillingsgeburten Lebend geborene Perinatal verstorbene Transferierte Kinder Frühgeburten 3768 3651 3540 100 10 3726 59 422 442 1 Geburtenzahlen Links siehst du die «Leitzahlen der geburtshilflichen Statistik aus dem Jahre 1999». Aus diesen kannst du erkennen, dass nicht gleich viele Kinder auf die Welt kamen, wie es Geburten gab. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Zwillingsgeburt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Drillingsgeburt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Mehrlingsgeburt? 2 Familien-Konstellationen In einer Familie mit drei Kindern kann es verschiedene Geschlechter geben. Ältestes Kind Mädchen oder Junge Mittleres Kind Mädchen oder Junge Jüngstes Kind Mädchen oder Junge B D 3 Wie viele Kombinationen gibt es? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Familie drei Mädchen hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in dieser Familie mindestens einen Jungen hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kinder das gleiche Geschlecht haben? Kugeln ziehen In einer schwarzen, nicht durchsichtigen Schachtel sind Kugeln. 3 schwarze, 4 rote, 2 gelbe und 1 grüne. Mit einem Zug wird eine Kugel herausgenommen (ohne dabei sehen zu können, um welche es sich handelt). B D Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um eine rote Kugel handelt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei nicht um eine gelbe Kugel handelt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um eine grüne oder schwarze Kugel handelt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um eine weisse Kugel handelt? 8 LU 40 4 Kugeltrichter Im Kugeltrichter werden Kugeln durch eine symmetrisch angeordnete Vielzahl von Stäben umgelenkt. Vervollständige das Bild: Wie viele Kugeln vermutest du in den Bahnen, die unter dem Trichter weglaufen? 5 Verlosung Unter drei Mädchen (Ines, Lea und Anna) und zwei Knaben (Urs und Stefan) werden an einer Geburtstagsfeier zwei Tafeln Schokolade verlost. Bedingung dabei ist, dass niemand beide Tafeln gewinnen darf. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass B 6 Ines eine Tafel erhält? mindestens ein Mädchen eine Tafel erhält? die beiden Knaben je eine Tafel erhalten? Würfeln Wähle den stärksten Würfel aus. Bestimme mit den Wahrscheinlichkeiten eines Gewinnes, indem du alle Würfel gegeneinander spielen lässt. Für welchen entscheidest du dich, damit du die grössten Gewinnchancen hast? 7 Roulette Das französische Roulette hat 37 Zahlen. Man kann mit Einsätzen auf diverse Zahlengruppen wetten: eine einzelne Zahl, zwei Zahlen, drei Zahlen, vier Zahlen zusammen, die Zahlen 1 – 12 (13 – 24; 25 – 36), die geraden und ungeraden, die roten oder die schwarzen Zahlen, die erste oder die zweite Hälfte der Zahlen. Nur auf die Null darf man nicht setzen! Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Gewinnes bei den folgenden so gesetzten Chips? . . . . Auf welchem Feld musst du setzen, um folgende Gewinnchancen zu erreichen: 12/37 18/37 3/37 4/37 9 Vertiefungsaufgaben für ganz Schnelle Übung mach den Meister! Das stimmt natürlich auch für diese Themen. Zu LU 37 Hier ist eine Zusammenstellung der verschiedenen Aufgabentypen aus der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeit. Kannst du diese Aufgaben nun selbstständig lösen? Viel Spass beim vertieften Üben. 1 Vier Kätzchen. Für die Jungen vom letzten Wurf gibt es verschiedene Möglichkeiten, welches Geschlecht sie aufweisen. Versuche alle Möglichkeiten für die Geschlechtsverteilung aufzuzeigen. B 2 3 Alle haben dasselbe Geschlecht Drei haben dasselbe Geschlecht Die Geschlechtsverteilung ist 2 2 Wenn Hans in die Schule geht, kommt er entweder bei den zwei Klassenkameraden Adrian und Beat vorbei oder nur bei einem oder bei keinem. Bestimme die Anzahl Möglichkeiten, wie Hans zur Schule gehen kann (am besten anhand der vereinfachten Skizze) Die Schweiz hat ungefähr 7,5 Millionen Einwohner. Jeder Mensch, der in der Schweiz wohnt, soll eine fixe Telefonnummer zugeteilt bekommen, die er immer behält, egal wo er wohnt. Wie viele Stellen muss eine solche Fixe Nummer beinhalten, wenn die Anzahl Stellen auch für 10 Millionen Menschen ausreichen soll, wenn: B D beliebige Kombinationen möglich sind? bei jedem Menschen seine zweistellige Geburtsjahreszahl vorkommen soll jede Nummer einen vierstelligen Code für die Wohngemeinde enthalten soll die erste Ziffer bei allen eine 0 sein muss und die letzte Ziffer gerade sein soll LU 41 Zu LU 38 4 Unsere Schule besteht aus 340 Personen. Wie viele Polonaiseketten kannst du mit dieser Anzahl Personen bilden? (es ist nicht unwichtig, an welcher Stelle eine Person steht) Vereinfachungsmöglichkeit: Löse die Teilaufgaben zuerst nur mit deiner Klasse. B 5 Zu LU 39 6 Zu einem Fechtturnier haben sich 12 Fechter angemeldet. Jeder tritt gegen jeden an. 7 Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Dreierkette zusammenzustellen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Zehnerkette zusammenzustellen? Angenommen, es hätte genau gleich viele Personen weiblichen wie männlichen Geschlechts: Wie viele reingeschlechtliche Fünferketten wären möglich? Wie viele Ketten sind möglich, wenn eine Person männlichen Geschlechts drei weibliche Personen anführt? Vier Schüler fahren täglich mit dem Zug zur Schule. Sie setzen sich stets in das gleiche Abteil, aber immer in anderer Sitzordnung. Können sie diesen Sitztausch einen ganzen Monat lang durchspielen? B Zu LU 40 10 Wie viele verschiedene Kampfaufstellungen gibt es? Es werden nur 45 Kämpfe ausgetragen, weil nicht alle Angemeldeten erschienen sind. Wie viele Fechter haben gekämpft? Die 12 Fechter sind je zur Hälfte weiblichen und männlichen Geschlechts. Wie viele Kämpfe werden nun ausgetragen, wenn nie eine Frau gegen einen Mann kämpfen muss? Siehe Aufgabe 4: B D Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du in einer der möglichen Dreierketten dabei bist? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du in einer der möglichen Zehnerketten dabei bist? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du in einer der reingeschlechtlichen Fünferketten dabei bist? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du (Mädchen oder Junge) in einer der in Aufgabe 4D beschriebenen Viererketten dabei bist? 11 Merkblatt Vielleicht hilft dir das dieses Merkblatt, die Aufgaben zu lösen. Um eine Theorie zu verstehen, braucht es oft eine Zusammenstellung, um die Übersicht zu behalten. 1. Probe ohne zurücklegen Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit vier Buchstabenkärtchen vierstellige Wörter zu bilden? Einen ersten Buchstaben können wir auf vier Arten legen. Einen zweiten auf drei Arten usw. Den gebrauchten Buchstaben können wir nicht ein zweites Mal verwenden. Also: 4 · 3 · 2 · 1. Es gibt auch keine Verdoppelungen! Formel: n! 2. Probe mit zurücklegen Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit vier Buchstabenstempeln vierstellige Wörter zu bilden? Einen ersten Buchstaben können wir auf vier Arten stempeln. Einen zweiten auch auf vier Arten, denn wir können den Stempel ja wieder verwenden. Also: 4·4·4·4 (oder 44). Formel: nm 3. Frage nach Verdoppelungen Zehn Menschen geben sich gegenseitig die Hand. Wie oft werden da Hände gedrückt? Jeder der 10 Menschen drückt 9 Hände (seine eigenen ja wohl kaum) Also drängt sich die Multiplikation auf: 10 · 9. Doch Achtung! Wenn Hans die Hand von Peter drückt, dann ist dieses Händedrücken bei Hans schon mitgezählt und darf bei der Rechnung für Peter nicht nochmals gezählt werden. Wie oft können Hans und Peter einander die Hand geben? Einmal! Wir müssen uns überlegen, wie oft dieser Händedruck bei 10 · 9 gezählt wird? Zweimal! Also müssen wir die ganze Rechnung durch 2 dividieren! Formel: · (n-1) 2 10 · 9 2 Aus einer Gruppe von 8 Personen will man 4 auswählen. Für dieses Beispiel: Es kommt nicht darauf an, wie die Gruppe zusammengestellt wird (Rolf – Urs – Peter – Hans ist dieselbe Gruppe wie Urs – Hans – Peter – Rolf) Aus 8 Personen können wir auf 8 Arten eine erste Person auswählen. Eine zweite auf sieben Arten, eine dritte auf 6 Arten und eine vierte auf 5 Arten. Also drängt sich die Multiplikation 8 · 7 · 6 · 5 auf. Doch Achtung Die oben im Beispiel genannte Gruppe (Rolf – Urs – Peter – Hans) kommt auf mehrere Arten zustande. Auf wie viele Arten – das ist die Frage, die sich jetzt stellt. Jede Vierergruppe kann auf 4 · 3 · 2 · 1 Arten zusammengestellt werden (siehe Probe ohne zurücklegen). Genau diese Anzahl Arten macht die Anzahl der Verdoppelungen aus. Also müssen wir einen Bruch kreieren: 8·7·6·5 4·3·2·1 Formel: folgende Seite 12 Diese Rechnung kann man auch allgemein als 8 4 Formel: (sprich: 8 tief 4) bezeichnen. n! (n-m)! ·m! 8! 4! ·4! Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 42 zu ziehen? Die Verdoppelungsproblematik stellt sich hier. Denn die Kombination 1-2-3-4-5-6 ist genau dieselbe wie 2-3-4-5-6-1. Es gibt also für 6 Zahlen 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 Anzahl Verdoppelungen. Also lautet die Lösung hier: 42 6 (42 tief 6) oder 42 · 41 · 40 · 39 · 38 · 37 6·5·4·3·2·1 Der Mathematiker braucht zur schnellen Berechnung die sogenannte Fakultät, eine Funktion auf dem TR: (auf dem Taschenrechner mit der - Taste zu berechnen) Die Fakultät aus 6 ist 6! ist gleich 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Der Rechner multipliziert die eingegebene Zahl automatisch bis 1 zurück. Die Zahl 42 tief 6 lässt sich also mit folgenden Fakultäten berechnen: 42! 36 ·!6! Als Bruch dargestellt: 42! 36! · 6! Formel: n! (n-m)! · m! 42! 36! · 6! Wenn Bedingungen gegeben sind, geht man am besten vom Baumdiagramm aus. Eine dreifarbige Fahne kann aus den Farben blau (b), grau (g), rot (r), weiss (w), schwarz (s) oder pink (p) gefärbt werden. Bedingungen: • • • Baumdiagramm: das erste Feld darf nur weiss oder schwarz sein die Farben schwarz und weiss dürfen nicht zusammenfallen wenn weiss und rot zusammenfallen, darf das dritte Feld nicht grau sein 1. Feld 2. Feld 3. Feld Anzahl Lösungen: r 3223 p bg 3333 r 22 r pbg b gr 13 Merkblatt 4. Wahrscheinlichkeit Für die Wahrscheinlichkeitsrechnung brauchen wir eigentlich nur noch Folgendes zu beachten: günstige Fälle möglichen Fälle Ein Bruch, bei welchem die Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch die Anzahl der gesamten Möglichkeiten dividiert wird. Eine Klasse besteht aus 7 Mädchen und 13 Knaben. Bei einer Auslosung wird ein Mädchen gesucht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen gezogen wird? Günstige Fälle 7 Mögliche Fälle 20 Die Wahrscheinlichkeit ist also 7 zu 20 7 20 0,35 (da es 7 Mädchen hat) (da es 20 sind in der ganzen Klasse. entspricht 35 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Die Wahrscheinlichkeit ist also 1 zu 6 Günstige Fälle 1 (es gibt nur eine sechs) Mögliche Fälle 6 (es gibt sechs Flächen Zahlen auf einem Würfel) 016 1 6 entspricht 16,7 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, im Lotto einen Sechser zu erzielen? Günstige Fälle 1 Mögliche Fälle 45 6 Die Wahrscheinlichkeit ist als 1 zu 814560 8145060 1 814560 0,000 000 123 entspricht 0,000 12 ‰ (sprich: 12 Hunderttausendstel Promille) Wenn ein Affe vier Mal auf die Buchstabentasten des Computers drücken könnte (es sind deren 35), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Wort AFFE schreibt ungefähr 5x grösser, als die Chance, einen Sechser im Lotto zu tippen! (Die Wahrscheinlichkeit beim Affen beträgt: 1 zu 354 1 1500625)