Arbeitsblatt: Geometrisches Zeichnen: Spiralen

Geom. Zeichnen Kunst, Chaos, Geometrie und Mathematik Spiralen Archimedische Spirale Definition: Wenn sich ein Halbstrahl in einer Ebene um seinen Endpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, nach einer beliebigen Zahl von Drehungen wieder in die Anfangslage zurückkehrt und sich auf dem Halbstrahl ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit, vom Endpunkt des Halbstrahls beginnend, bewegt, so beschreibt dieser Punkt eine Spirale. Bildlich gesprochen: Vom Mittelpunkt einer Kirchenuhr bewegt sich eine Schnecke auf dem Minutenzeiger mit konstanter Geschwindigkeit nach aussen. Der Mittelpunkt der Uhr wäre dann „der Mittelpunkt der Spirale, der Minutenzeiger wäre der Halbstrahl und die Lage von wo aus er sich zu bewegen beginnt wäre die Leitlinie. Geschichte: Archimedes war ein Grieche und lebte in Syrakus auf Sizilien. Er war Mathematiker und beschäftigte sich unter anderem mit dem Bau von Kriegsmaschinen, während der Zeit als Syrakus von den Römern belagert wurde. Als die Stadt 212 v.Chr. von den Römern durch Verrat erobert wurde, fand Archimedes den Tod durch das Schwert eines Soldaten. Archimedes beschäftigte sich am meisten mit der heute nach ihm benannten Kurve. Die dabei entwickelten Methoden waren bahnbrechend und bildeten für Jahrhunderte ein Muster an mathematischer Strenge 10 Kunst, Chaos, Geometrie und Mathematik Geom. Zeichnen und Sorgfalt. Damit gehört die archimedische Spirale zu einer der ältesten und am besten erforschten Kurven überhaupt. Erzeugung: 1. Trage auf dem Polarkoordinatenpapier die Radien gemäss folgender Tabelle ein und verbinde die entstandenen Punkte (Skizze). Grad 0 10 20 30 40 usw. 1. Spirale 2. Spirale Radien Radien 0 0.25 0.5 0.75 1 usw. 0 0.5 1 1.5 2 usw. 2. Zeige nun, dass die zweite Spirale aus der ersten durch Streckung vom Pol aus mit dem Faktor 2 entsteht. 3. Wie gross ist der Windungsabstand der ersten Spirale? 11 Geom. Zeichnen Kunst, Chaos, Geometrie und Mathematik Polarkoordinatenpapier Spiralförmige Figuren Man kann auch aus regelmässigen Figuren spiralförmige Figuren ableiten. Verbindet man die Seitenmitten von Vielecken immer wieder miteinander, so lassen sich Spiralen darin erkennen. Das Beispiel nebenan zeigt Spiralen, die aus Quadraten hergestellt wurden. Konstruiere auf GZPapier ein entsprechendes Bild aus regelmässigen Sechsecken und färbe die Figur so aus, dass die Spiralen deutlich hervortreten. Mit Hilfe von ineinander verschachtelten Quadraten kann man logarithmische Spiralen herstellen. Im Unterschied zu archimedischen Spiralen erreicht diese 12 Geom. Zeichnen Kunst, Chaos, Geometrie und Mathematik „Schneckenspirale den Mittelpunkt nie, und die Abstände zwischen zwei Windungen werden stets kleiner gegen den Mittelpunkt hin. Konstruktion auf GZPapier: Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 15 cm. Jeder Eckpunkt des nächst kleineren Quadrates liegt auf einer Quaderseite, wobei er jeweils um den Bruchteil 1/10 der Quaderseitenlänge von der Ecke entfernt ist. 13