Arbeitsblatt: Ähnlichkeit

Ähnlichkeit Würdest du alle 3 Bilder als Vergrösserung des Bildes oben links bezeichnen? Um wie viel wurde das Bild unten rechts vergrössert? Was ist der Flächeninhalt des Bildes unten rechts, wie ist das Grössenverhältnis zwischen der ursprünglichen und der vergrösserten Fläche? 1.1 Kongruenz und Ähnlichkeit Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie die gleiche Form und die gleiche Grösse haben. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben. Doch was bedeutet die gleiche Form? Aufgabe: a) b) c) d) Skizziere die drei Figuren vergrössert und zwar so gross, dass die fett gedruckte Strecke jeweils 6 Häuschen lang wird. Mit welchem Faktor musst du jede Seite verändern? Mit wie vielen Prozenten musst du die Strecke verändern? Wie sind die Winkel im Vergleich zur ursprünglichen Figur? Wie gross ist die Fläche im Vergleich zur ursprünglichen Figur? Ähnlichkeit T1 1.2 Zentrische Streckung Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, die jedem Punkt der Ebene einen Bildpunkt zuordnet. Der Bildpunkt lässt sich konstruieren nach folgender Zuordnungsvorschrift für die zentrische Streckung: Gegeben sind: Streckungszentrum (Punkt) und Streckungsfaktor (Zahl). 1. Originalpunkt mit Zentrum verbinden. 2. Bildpunkt P liegt auf der Geraden (ZP), und zwar so, dass das Streckverhältnis: oder ·k k2 k1.5 Der Streckungsfaktor darf auch negativ sein. Das bedeutet, dass Original und Bildpunkt auf verschiedenen Seiten von liegen. Strecke die Gerade mit k2 am Punkt Z. Was lässt sich zur Abbildung von sagen? k-2 k-1 Satz: Bei einer zentrischen Streckung ist das Bild einer Geraden eine dazu parallele Gerade. Die zentrische Streckung ist also geradentreu und parallelentreu. Da dies für jede Gerade gilt, muss für die Abbildung von Winkeln folgendes gelten: Satz: Bei einer zentrischen Streckung stimmen Bild und Original eines Winkels überein. Die Abbildung ist also winkeltreu. Wir haben bereits gesehen, dass die Länge der Bildstrecke nicht gleich sein muss wie die Originalstrecke. Satz: Hat die eine Strecke die Länge und eine andere die Länge b, dann heisst der Quotient : (a zu b) der beiden Masszahlen Längenverhältnis dieser Strecken. Ähnlichkeit T2 1.3 Strahlensätze Situation: Werden 2 ähnliche Dreiecke mit Zentrum folgendermassen gezeichnet, so entstehen 4 Abschnitte a, b, und d. Verlängert man die Strecken SC und SD, so entstehen zwei Strahlen deshalb der Name Strahlensätze. 1. Strahlensatz: Die Abschnitte auf dem einen Strahl haben das gleiche Längenverhältnis wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. Mit Formeln ausgedrückt: : : oder Andere Formeln lassen sich durch Umformung der Gleichung erzielen: a·d Begründung: Ähnlichkeit T3 Diese Verhältnisse gelten auch für die beiden Strecken und 2. Strahlensatz: Die beiden Strecken und auf den Parallelen haben das gleiche Längenverhältnis wie die Abschnitte auf den Strahlen von ausgehend bis zu den Parallelenschnittpunkten. Mit Formeln ausgedrückt: Begründung: Da die Dreiecke SAB und SCD ähnlich sind, gilt Somit gilt . auch hier: k und Anwendung: Wie weit ist er von den Autos entfernt? Stelle eine Formel auf, mit welcher du selber Entfernungen abschätzen kannst! Ähnlichkeit T4