Arbeitsblatt: Horner-Schema

Mathematik Horner-Schema W.Will Seite 1/3 Früher (in der Zeit ohne Taschenrechner) benutzte man das Horner-Schema um Funktionswerte zu berechnen, heute dient es dazu, Linearfaktoren abzuspalten. Man stellt ein Polynom als Produkt von Linearfaktor wie z.B (x 4) und eines anderen Polynoms dar. Falls es möglich ist, kann das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden. (Hier wird nur die Anwendung des Horner-Schemas dargestellt) Beispiel 1) gegeben ist die Funktion mit f(x) x 8x 19x – 12 gesucht: Linearfaktorzerlegung von Erratene Nullstelle x1 4 f(x) 1x 8x 19x – 12 4 x 1 0 1 x 4 x -8 4 -4 4 19 -16 3 4 -12 12 0 Die 1. Zerlegung lautet f(x) (x – 4)( 1x 4x 3) Zur Methode: 1 Man notiert die Koeffizienten der Potenzen von nebeneinander in Spalten (hier 1 -8 19 -12) 2 Man addiert zum Koeffizienten der höchsten x-Potenz (hier 1) immer den Wert 0 3Die Summe von (hier 1) multipliziert man mit der Nullstelle (hier 4) und überträgt das Ergebnis der Multiplikation (4)in die 2. Spalte 4 Die Summe von (hier -4) multipliziert man mit der Nullstelle (4) und überträgt das Ergebnis der Multiplikation (-16) in die 3. Spalte 5 Die Summe von (hier 3) multipliziert man mit der Nullstelle (4) und überträgt das Ergebnis der Multiplikation (12) in die 4. Spalte Die Summe von muss Null ergeben, da die Zerlegung mit einer Nullstelle erfolgt ist. Die Zahlenwerte 1, -4 und 3 sind jetzt die Koeffizienten eines Restpolynoms, das um ein Grad niedriger ist als das Ausgangspolynom. (Das Restpolynom ist hier 2. Grades und lautet R1(x) 1x 4x 3 mögliche Kontrolle Produkt (x – 4)( 1x 4x 3) 1x 8x 19x – 12 Die weiteren Nullstellen über p,q Formel oder mit Hilfe von Vieta x2 1 x33 vollständige Zerlegung: f(x) (x- 4)(x -1)(x-3) WoWi Dez-09 Mathematik Horner-Schema W.Will Seite 2/3 Beispiel 2) gegeben ist die Funktion mit f(x) 2x 6x 8 gesucht: Linearfaktorzerlegung von Erratene Nullstelle x1 2 Die fehlende Potenz muss durch 0x ergänzt werden f(x) 2x 6x 0x 8 2 x 2 0 2 x 2 x -6 4 -2 2 0 -4 -4 Achtung 2 8 -8 0 Die 1. Zerlegung lautet f(x) (x – 2)( 2x 2x 4) Methode: vgl. Beispiel 1 Die weitere Zerlegung f(x) 2(x 2)(x- - 2) über p,q Formel oder Vieta x2 -1 x3 2 vollständige Zerlegung: f(x) 2(x 1)(x 2) vereinfachte Darstellung des Schemas: 2 2 0 2 -6 4 -2 0 -4 -4 8 -8 0 wählt man eine andere Nullstelle, so ergibt sich auch ein anderes Restpolynom Nullstelle -1 2 -1 0 2 -6 0 -2 8 -8 8 8 -8 0 Teiler des absoluten Gliedes können Nullstellen sein f(x) (x 1)( 2x 8x 8) weiter Faktorisierung f(x) 2 (x 1)( x 4x 4) mit Hilfe 2. Bin. Formel f(x) 2(x1)(x-2) Schneller und einfacher als Polynomdivision !!! WoWi Dez-09 Mathematik Horner-Schema W.Will Seite 3/3 Beispiel 3) gegeben ist die Funktion mit f(x) x4 2x 8x – 16 gesucht: Linearfaktorzerlegung von Erratene Nullstelle x1 -2 Hornerschema 1x4 2x 0x- 8x – 16 damit gilt: f(x) (x 2)(1x 0x 0x 8) also: f(x) (x 2)(x 8) weitere Anwendung des Hornerschemas -2 1 0 1 2 -2 0 0 0 0 -8 0 -8 -16 16 0 weitere Nullstelle x22 1 0 0 -8 2 0 2 4 8 Zerlegung f(x)(x2)(x-2)(x2x4) 1 2 4 0 Für x 2x 4 0 ist die Diskriminante D-3, also existiert keine Lösung. Es gibt keine weitere Möglichkeit der Zerlegung. Da man hier das Hornerschema zweimal direkt 1 2 0 -8 -16 anwenden kann, spricht man vom zweizeiligen -2 0 -2 0 0 16 Hornerschema. 1 0 0 -8 0 f(x) (x 2)(x 8) 2 0 2 4 8 f(x)(x2)(x-2)(x2x4) 1 2 4 0 Man wendet das Horner-Schema solange an, bis man ein Polynom 2.Grades erhält. Die weitere Zerlegung erfolgt über die üblichen Methoden zur Bestimmung der Lösungen quadratischer Gleichungen. Zerlegen Sie folgende Funktionsterme in Linearfaktoren, soweit es möglich ist. a) f(x) x3 7x2 14x 8 c) f(x) x3 3x 2 e) f(x) 2x 4 4x3 14x2 16x 24 b) f(x) x3 2x2 5x 6 d) f(x) x4 x3 x2 x 2 f) f(x) x 4 2x3 3x2 4x 4 Denken Sie bei Polynomen 2.Grades an a-b-c-Formel, Binomische Formeln, p-q-Formel und Satz von Vieta WoWi Dez-09