Arbeitsblatt: Einführung in Gleichungen

Gleichungen Gl 1 Gleichungen entstehen dann, wenn einfach oder kompliziert aufgebaute Rechenausdrücke einander gleichgesetzt werden. a) 3 7 21 b) 2 5 4 6 2 17 c) 6 2 7 3 5 2 4 3 4 9 8 13 Das Gleichheitszeichen (GHZ) sagt aus, dass die ganze linke Seite des GHZ gleich ist dem gesamten Ausdruck auf der rechten Seite des GHZ. Eine Gleichung lässt sich bildhaft mit den beiden Waagschalen einer Krämerwaage vergleichen: Seite links Seite rechts des GHZ Es lässt sich sagen: Eine Gleichung stimmt dann, wenn die Waage im Gleichgewicht ist. In einer Gleichung treten immer etwa Grössen auf, die vorerst nicht bekannt zu sein brauchen: 21 ? ?4 7 5? 9 3 3 4 Solche Gleichungen stellen uns vor die Aufgabe, ihre unbekannten Grössen durch Überlegen oder mittels einer geschickten Methode herauszufinden. In Gleichungen verwendet man üblicherweise, anstelle des Fragezeichens, einen Buchstaben des Alphabetes. So können die obigen Gleichungen auch folgendermassen geschrieben werden: 21 x a4 7 5y 9 3 3 4 Eine Gleichung ist dann gelöst, wenn die Unbekannte allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. 1 Gleichungen Gl 2 Auflösen einer Gleichung Um die Unbekannte schlussendlich auf einer Seite allein zu haben, müssen wir die Gleichung auflösen. Ähnlich wie bei einer Waage dürfen wir auch bei der Gleichung auf beiden Seiten gleich viel hinzufügen oder wegnehmen so, dass die Waage immer im Gleichgewicht ist. Das bedeutet, dass die Aussage der Gleichung immer noch stimmt. Methode: Um eine Gleichung nach der Unbekannten aufzulösen, dürfen wir: auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl: addieren oder subtrahieren multiplizieren oder dividieren Gleichungen werden, um sie aufzulösen, immer untereinander geschrieben! Die auszuführende Operation geben wir hinter einem Schrägstrich an. – 5 9 – 5 5 9 5 14 /5 Damit haben wir die Unbekannte der gestellten Gleichung gefunden. Um am Schluss eine Unbekannte mit positivem Vorzeichen zu erhalten ist es oft notwendig, die Unbekannte auf die andere Seite des GHZ zu bringen. 17 – 17 – 17 17 – 11 6 11 11 11 11 /y y – 11 – 11 Wechselt ein Glied einer Gleichung über das GHZ hinweg seinen Platz, so erhält es das gegenteilige Vorzeichen bzw. Operationszeichen. a) Anstelle von – 3 7 kannst du schreiben: b) Anstelle von 5 x 12 kannst du schreiben: 73 12 – 5 2 Gleichungen Gl 3 Reihenfolge beim Auflösen von Gleichungen: 1. Vereinfachen 2. / (bis nur noch Ausdrücke, welche die Variable enthalten, auf einer Seite stehen) 3. / ( erst dann, wenn keine und mehr vorkommen) Beispiele: a) 6x x 42 42 6 7 :6 Die Unbekannte kann auch auf der andern Seite des GHZ stehen. Aus einer Multiplikation wird eine Division. b) 18 3f 18 3 f 6 f /:3 Die Darstellung kann vereinfacht werden, indem die mit einem angedeutete Operation direkt durchgeführt wird. c) 4 8 20 4x 12 3 Beachte: immer zuerst / – dann erst / /–8 /:4 Hier ein Beispiel, in dem schon so ziemlich alles vorkommt: d) 2 x 1) 5 2 1) 2 2 10 5 12 7 12 x 19 19 19 12 1 /V /V /-7 : 12 Löse nun die folgenden Aufgaben ins Heft: 1. 2x 16 5. 12y 60 9. 2z 8 18 2. 5x 45 6. 75 25y 10. 6z – 5 37 3. 49 7x 7. 24y 144 11. 11z 17 105 4. 10x 110 8. 76 12. 15z – 32 13 19y 3 Gleichungen Gl 4 Hat die Unbekannte ein negatives Vorzeichen, so wechselt sie über das GHZ hinweg den Platz. 53 – 15 53 45 3 8 8 15 15 15 /–8 : 15 Löse ebenso ins Heft: 1. 27 3x 2. 111 5. 29 – 2x 11 9. 17 – 5y 52 15x – 29 106 6. 71 – 6x 41 10. 4z – 43 21 3. 92 7x 561 7. 125 – 22x 15 11. 101 – 11y 13 4. 37x – 93 388 8. 97 – 16x 12. 1 12z – 74 58 Stehen auf beiden Seiten des GHZ Variabeln, so bringen wir alle auf jene Seite des GHZ, wo schon der grössere Teil ist. 6x – 9 14 – 9 14 x 61 – 8 61 70 5 /8x /9 : 14 Löse ebenso ins Heft: 1. 4x 7 8 3x 5. 5x 19 6x 9 2. 13 – 3 17 – 5x 6. 41 – 9x 4x – 37 3. 71 14x 11x 101 7. 11x – 3 13x – 17 4. 47 – 12x 57 – 17x 8. 72 – 19x 27 – 4x 4 Gleichungen Gl 5 In den meisten Fällen müssen die Gleichungen zuerst vereinfacht werden. Dazu verwenden wir die Klammerregeln und die Regeln für das Addieren und Subtrahieren von Variabeln: 31 31 31 31 [2(4x [ 8x 8x 2x 2x 2x 2x 3)] 6 6 6 6 5 13 2 ) 34 65 10 - 34 65 10 - 34 65 34 65 34 31 65 34 31 6 6 3 /V /V 10 / – 31 /6 /V /:2 Löse ebenso ins Heft: 1. 2x (x – 5) 31 5. 6x (15 – 2x) 19 2. 7x (3 2x) 93 6. 6x (27 – 5x) 30 3. 5x 3 (x 1) 67 7. 11x (37 – 7x) 45 4. 12x 5 (3x 2) 91 8. 17x (62 – 9x) 94 9. 3x 2 (6 – x) 23 13. 3 (11 – x) 10. 7x 3 (9 – 2x) 34 14. 3x 6 (15 – 2x) 36 11. 15x 4 (11 – 3x) 50 15. 7x 4 (9 – 2x) 12. 20x 5 (6 – 3x) 16. 5x 5 (12 – 7x) 30 17. 12 5 (1 x) 21. 6 7 (2x – 1) 3 (1 3x) 21 18. 46 [3 (4 x)] 4 (10 – x) 22. 31 – [2 (4x 3)] 5 (13 – 2x) – 34 19. 8 (5 3x) 7 23. 111 – [7 (3x 5)] 4 (2x – 11) 4 20. 3 (12 – 2x) 19 5 (10 – x) 24. 15 3 x 1) 2 (4x 3) – 23 30 3 (7 x) 5 (15 2x) 25 24 5 Gleichungen Gl 6 Gleichungen mit Brüchen: Der Bruchstrich ist bekanntlich eine andere Darstellungsform für die Division. Um also den Nenner eines Bruches wegzubringen müssen wir mit dem Nenner multiplizieren. Danach lösen wir die Gleichung auf wie bereits bekannt. 8 3 5x 7 5x /8 24 15 7 105 21 /:5 Löse ebenso ins Heft: 1. 2. 3. 4. 12 2 7 7 4 11 11 9 5. 6. 7. 8. 12 6 2 4 15 5 6 15 9. 10. 11. 12. 4x 16 7 13. 2x 8 5 9x 36 10 3x 24 4 14. 15. 16. 3x 6 2 5x 25 7 12 4 9 10x 6 15 Steht der Bruch nicht alleine auf einer Seite des GHZ, so verrechnen wir zuerst die ganzen Zahlen bis der Bruch alleine steht und lösen die Gleichung dann auf, wie oben beschrieben. 2x x5 6 8 –6 2 /· 8 5 8 2x 2 ·5 x–5 16 /5 5 2x 10 :2 21 5 Löse ebenso ins Heft: 1. 2. 3. 4. 2x 5 29 3 3x 7 34 5 12 7 53 7 6x 13 47 11 5. 6. 7. 8. x2 4 x7 3 1 4 x2 5 15 9. 13 10. 12 11. 2 12. x7 3 8 x4 0 6 11 1 7 11 6 5 6 Gleichungen Gl 7 Hat der Bruch, in dem die Variable vorkommt, ein negatives Vorzeichen, so wechselt er über das GHZ hinweg seine Position und erhält ein als Vorzeichen. Erst dann beginnen wir mit dem Auflösen der Gleichung. 9x 9x 25 7 5 5 9x 25 7 / –7 5 9x 18 /· 5 5 90 9x :9 10 x Löse ebenso ins Heft: 1. 12 – 2. 17 – 3. 25 – 4. 105 – 3x 0 4 5x 7 7 9x 7 5 18x 81 15 Nun hast du das notwendige Rüstzeug, um die folgenden Gleichungen zu lösen: 1. 2. 3. 4. 13. 14. 15. 16. 3x 5 5 4 6x 5 5 11 3x 11 5 10 7 18 5 12 3x 8 3 5 5 7 15 1 5 8 12 9 6 13 15 7 17 2 3 12 5. 6. 7. 8. 17. 18. 19. 20. 12 13 7 5 12 5 1 7 3( 4) 6 5 4( 5 x) 32 3 6x 13 4 9 11 8x 5 2 1 9 11x 14 5 11 6 17 29 8 0 7 9. 10. 11. 12. 21. 22. 23. 24. 6( 3x 1) 12 5 2(12 5x) 8 3 5( 2 1) 5 9 7( 20 7 x) 7 6 9x 8 4 15 5 11x 14 5 3 10 3x 2 5 10 11 16x 14 4 6 13 7 25. 26. 27. 28. 29. 2 3x 15) 5 17 3 3 5x 2) 12 9 4 6 7 4) 10 40 5 7 49 5x) 23 40 6 9 37 6x) 1 10 7 30. 31. 32. 33. 34. 9x 8 5 10 11 8x 15 12 19 7 6x 17 5 12 7 15x 7 13 20 14 13x 5 21 26 12 9 13x 7 7x 4 5 9x 7 4 8 7x 6 5x 6 9 35. 9 4 36. 25 13 37. 15 38. 11 39. 10 2 5 6 8 Gleichungen Gl 8 Auch bei den folgenden Gleichungen muss mit dem Nenner multipliziert werden. Aufgepasst: Die ganze gegenüberliegende Seite (Klammer hinzufügen) muss mit dem Nenner multipliziert werden! 5 (12 3) 9 5 (12 – 3) 60 – 15 24 – 15 24 x 4x 9 9 9 (4 9) 36 81 81 96 4 /V – 36 / 15 : 24 Löse ebenso ins Heft: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 3 4 5) 7 12 (11 2 x) 5 7 4 3) 9 4 24 5x) 3 7 3x 5) 2 5 (12 3) 9 2 91 15x) 8 3 61 6x) 5 x 5 7x 9 9. 10. 33 2 11. 7x 9 12. x 84 13. 4x 9 14. 9x 15. 27 2 16. 3 x 2) 5x 13 4 5 x 3) x 1 3 7 3x 1) 6x 44 8 4 9 7) 3x 7 5 2 5x 1) 5x 26 7 3 6x 1) 2x 1 5 23. 24. 25. 26. 27. 28. 11 (10x 17) 9x 5 9 8 57 6x) x 1 3 15 34 13x) 37 8x 7 5 5x 8) 4 x 7) 17 7 9 2) 4 4 1) 5 6 79 5x) 4 x 1) 11 10 9 12) 3 x 5) 11 8 3x 4) 7 x 7) 7 3 x 7) 15 3x 13 9 x 2) 2 x 5 4 2 3) 11 5x 9 7 3x 10) 17 4 2 11 4 1) 3 7x 9 5 (12 13) 1 6x 7 9 Gleichungen Gl 9 Bei den folgenden Bruchgleichungen müssen alle Teile gleichnennrig gemacht werden. (Wenn möglich zuerst vereinfachen, d.h. x-Träger und ganze Zahlen sortieren). Wenn man dann mit dem gemeinsamen Nenner multipliziert, fällt dieser weg und es kann mit den Zählern weitergearbeitet werden. 3x 5x – 10 5 2 3x 5x 5 2 6x 25x 10x 10 10 10 6x 25. 26. 27. 28. 5. 6. 7. 8. 2x 3x 2x 1 4 2 3 2x 4x 61 2 2 9 5x 3x 12 12 2 3 2x 3x 3x 30 5 4 10 20 4x 5 7x 2 5x 4 3x 8 10 41 Gemeinsamer Nenner ist 10 25 10 41 x Löse ins Heft: x 1. 40 3 5 x 2. 4 3 6 3x 2x 3. 51 4 3 5x 3x 4. 10 6 4 2 3x 5x 13. 13 20 3 4 6 3x 5x 14. 22 100 7 3 6 4x 5x 15. x 15 80 3 4 7x 4x 16. 3x 29 200 2 5 25x 3x 17. 5x 9 0 8 2 8x 2 5x 18. 17 40 9 3 6 31 410 10 10 410 410 10 3x 7 2x 3 4x 5 2x 3 /V : 41 5x 2x 2 7 3 5x 2x 50 10. 7 12 9 3x 18 11. 65 3 4 3x 50 12. 13 8 6 2x 19. 14 16 5 2 7x 11x 20. 70 2x 63 6 9 7x 2x 21. 1 12 4 9 8 5x 9x 22. 17 3x 11 6 2 3x 2 3x 23. x 188 2 3 4 3x 4 x 24. 13 3 4 5 20 26 29. 30. 31. 32. 9. 3x 2x 4 20 12 5 4 3x 11x 7 12 32 2 4 5x 2x 13 3 3 7 2x 5x 37 19 5 10 2 10 Gleichungen Gl 10 Die unbekannte Grösse kann auch im Nenner auftreten. Aber das soll dich nicht erschüttern! Die Lösungsmethode bleibt immer gleich: Den Nenner verschwinden lassen durch Multiplikation. Allenfalls muss zuerst „sortiert und um den Nenner eine Klammer gesetzt werden! 48 4x 48 12x 4 3 45 7 4x 1 4x 45 4x 1 45 45 48 4 : 12 10 /–7 3 (4 1) 3 (4 1) 12x – 3 12x V 3 : 12 Löse ebenso ins Heft: 1. 2. 3. 4. 17. 18. 19. 20. 29. 30. 31. 32. 3 1 13 1 10 1 2x 15 1 3x 5 1 9 x2 12 x4 20 x3 5. 6. 7. 8. 12 2x 18 3x 44 4x 72 4x 3 9. 2 10. 11 11. 3 12. 1 21. 3 22. 2 23. 2 24. 18 11 3x 56 20 3x 63 11 2 96 28 3x 9 33. 4 34. 7 35. 6 36. 18 x4 24 x3 28 1 25 x2 75 1 15x 30 3 5x 78 3 2x 54 2 3x 2 25. 3 26. 4 27. 5 28. 35 7 x2 105 5 2x 1 111 37 2 11 77 7 4x 5 37. 38. 39. 40. 13. 14. 15. 16. 42 3x 1 12 2x 1 28 5x 4 39 4x 5 24 5 16 5 42 8 3x 75 4 5x 9 3 10 1 3 4 7 13 35 2 7 2x 1 36 3 1 5x 1 45 7 10 4x 1 50 1 1 3x 1 11 Gleichungen Gl 11 1. 28 4 8 2x 1 5. 35 2 9 2x 1 9. 68 4 8 25 2 2. 88 1 1 3x 4 6. 36 3 6 5x 1 10. 45 5 4 9 2x 3. 75 2 5 2x 1 7. 50 4 9 3x 1 11. 95 6 11 23 4. 98 10 4 3x 1 8. 70 1 4 3x 1 12. 112 7 9 11 4 13. 32 4 12 19 5x 17. 16 3 5 3x 4 14. 18 2 0 19 5x 18. 20 4 24 6 5x 15. 65 2 7 15 2 19. 27 7 2 4x 9 16. 72 5 3 15 2 20. 51 5 8 26 3x Sollte es einmal vorkommen, dass die Unbekannte im Zähler und im Nenner auftritt. Die Methode zum Auflösen einer Gleichung bleibt sich immer gleich! 21. 4x 3 x4 25. 15x 5 2x 7 29. 5x 3 7 9 3x 22. 7x 5 12 26. 18x 9 6 30. 25 7 1 2 6x 23. 12 6 x8 27. 8x 3 3( 1) 31. 4x 3 7 12 2x 24. 10x 5 3( 1) 28. 11x 11 45 2 32. 14 6 5 8 33. 4 11 3 2 37. 11x 24 3 2 3x 41. 42 9 4 7 4x 34. 9x 8 7 9 4x 38. 10x 8 7 10 3x 42. 91 4 12 15 3x 35. 100 11x 1 2 3x 39. 13x 14 2 3 4x 43. 116 5x 2 2 6x 36. 9x 7 10 14 2x 40. 17 26 6 9 5x 44. 57 6x 15 2 3x 12 Gleichungen Gl 12 Gleichungen, die nicht aufgehen Die bisher gelösten Gleichungen hatten zufälligerweise immer eine ganzzahlige Lösung. Das ist in vielen Fällen aber nicht so. Dennoch sind diese Gleichungen nach dem gleichen Schema zu lösen. Das Ergebnis soll mit einem gekürzten Bruch dargestellt werden. Hier noch einmal die Reihenfolge für das Auflösen von Gleichungen: 1. 2. 3. Vereinfachen /(bis der/die - Träger allein auf einer Seite steht) */: (erst dann,wenn keine /- mehr vorkommen) 2x 5 2x 5 6 2x 9 /–6 3 5 15 /:2 15 2 1. 9 3z 1 3 4z 7 7. 9 3z 1 3 5z -7 2. 6 4x 3 5 3x 6 8. 6 3x 4 5 3x 7 3. 8 5y 2 6 3y 3 9. 8 (2 - 2 3 4y 3 4. 8 5x 4 7 2x 3 10. 5 3x 4 3 4x 2 5. 3 4m 2 4 2m 3 11. 3 7m 2 4 4m 3 6. 4 4x 6 12. 4 5x 7 3 3x 6 3 2x 5 13. 14. 15. 16. 17. 18. 4x 7 x4 2y 9 y8 4x 7 4 2y 9 3 5z 9 7 6x 3 3 13 9 2 5 3 4 1 2 4 3 5 1 13