Arbeitsblatt: Teilbarkeit kgV

Unterrichtsvorbereitung Thema der Unterrichtseinheit: Teilbarkeit Thema der Unterrichtsstunde: Türme 1 Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit Stunde 12 Stunde 3 Stunde 4 Stunde 56 Stunde 7 Stunde 67 Stunde 8 Stunde 9 Stunde 1011 Stunde Thema der Stunde Angestrebter Kompetenzzuwachs Teiler und Teilermengen Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Teiler einer Zahl, indem sie untersuchen welche Möglichkeiten bestehen eine Schokolade (24 Stückchen) aufzuteilen. Fassen alle Teiler einer Zahl zu einer Menge zusammen und üben ihre Schreibweise und bildhafte Darstellung. Vielfache und Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Vielfachenmenge Vielfachen einer Zahl, fassen sie zu einer Menge zusammen und üben ihre Schreibweise. Ermitteln die Unterschiede zwischen Teiler- und Vielfachenmenge, indem sie beide Mengen vergleichen und ihre Erkenntnisse begründen. Sachaufgaben zur Die Schülerinnen und Schüler berechnen Anwendung Sachaufgaben, überprüfen und interpretieren ihre Ergebnisse. Teilbarkeit durch 2,5 und 10 Die Schülerinnen und Schüler wenden die Teilbarkeit durch 4 und 25 Teilbarkeitsregeln an, um die Voraussetzung für das Entwickeln neuer Problemstrategien zu legen. Teilbarkeit durch 3 und 9 Die Schülerinnen und Schüler wenden die Teilbarkeitsregeln an, um die Voraussetzung für das Entwickeln neuer Problemstrategien zu legen. Primzahlen Die Schülerinnen und Schüler ermitteln mithilfe des Siebes des Eratosthenes für die Zahlen bis 100 alle Der Zauberer Primzahlen. Gemeinsame Teiler ggT Die Schülerinnen und Schüler bestimmen den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, indem sie das gegebene Problem lösen, mit ihren Mitschülern kommunizieren, indem sie die Lösungsstrategien präsentieren, argumentativ begründen, diskutieren, vergleichen und reflektieren. Gemeinsame Teiler ggT Die Schülerinnen und Schüler festigen das Verfahren zum Bestimmen des ggT, indem sie die Teilbarkeitsregeln anwenden. Türme Die Schülerinnen und Schüler entwickeln erste Gemeinsame Vielfache kgV Strategien, um das gegebene Problem zu lösen, den Zeitpunkt der gleichen Höhe der Türme zu bestimmen, kommunizieren mit ihren Mitschülern, indem sie die Lösungsstrategien präsentieren, argumentativ begründen, diskutieren, vergleichen und reflektieren, unter Umständen bereits im Hinblick auf eine Verallgemeinerung. Gemeinsame Vielfache – kgV Die Schülerinnen und Schüler bestimmen das kgV, Stationsarbeit Teilbarkeit indem sie das Verfahren des Vervielfachens anwenden. 2 12 Stunde Selbstdiagnose der gelernten Inhalten und Übung 13 Stunde Klassenarbeit 2 Die Schülerinnen und Schüler erkennen ihre Stärken und Schwächen bei der Erarbeitung der Aufgaben und üben selbstständig für die Klassenarbeit. Lernvoraussetzungen Der Kurs F6B setzt sich aus zwei Klassen, 5 Mädchen und 15 Jungen zusammen. Seit dem zweiten Halbjahr 2008/09 unterrichte ich in dieser Zusammensetzung die Lerngruppe mit vier Stunden Mathematik in der Woche. Die Schülerinnen und Schüler sind aufgeschlossen und nett und reagieren im Regelfall auf Ermahnungen. In Arbeitsphasen lassen sich gelegentlich einige Schüler (vor allem Pascal, Till, Tobias und Jan) durch kleinere Nebengespräche ablenken, stellen ihre Gespräche nach Aufforderung jedoch rasch wieder ein. Die Lernenden bleiben in der Regel am Lerninhalt und haben Spaß daran, ihren Klassenkameraden an der Tafel oder am OHP Inhalte zu präsentieren. Zu den leistungsstarken Schülerinnen und Schülern der Klasse gehören xxx Sie beteiligen sich regelmäßig am Unterricht und tragen mit ihren Beiträgen und Ideen positiv zum Unterrichtsgeschehen bei. Eine ebenfalls rege Beteiligung am Unterricht zeigen xxx. In der Qualität und Quantität der Beiträge unterscheiden sie sich allerdings erkennbar von den zuerst genannten. xxx gehören zu den ruhigen Kindern der Klasse, die aber, wenn sie zur mündlichen Mitarbeit aufgefordert werden, häufig gute Leistungen zeigen. In mittleren Leistungsbereich anzusiedeln sind, xxx D. Zu den leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zählen, xx, diese besuchen auf Antrag der Eltern den B-Kurs in Mathematik. Die Lernenden sind alle im jahrgangsgemäßen Alter zwischen 12 und 13 Jahren. Demnach befinden sie sich in Folge der Stadientheorie Piagets gerade im Eintritt in das Stadium der formalen Operation. Diese Phase ist dadurch gekennzeichnet, dass die Schülerinnen und Schüler durch eine Weiterentwicklung ihres logischen Denkvermögens bewusster über eigene Denkvorgänge reflektieren können. Ihre Denkleistungen sind nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden.1 Diese lernpsychologische Voraussetzung ist nach meiner bisherigen Einschätzung des Kurses allerdings noch nicht von allen Schülern der Klasse erreicht. Ich bin der Meinung, dass einige der Schüler, Till und Stefanie sich noch im Stadium der konkreten Operation befinden und oft noch Probleme haben abstrakte Sachverhalte ohne konkrete Beispiele zu durchdringen. In der heutigen Stunde stellt es für die Schülerinnen und Schüler eine „kognitive Hürde dar, eine offene Aufgabe zu lösen und ihre Vorgehensweisen zu begründen. Da wir in Klasse erst am Anfang der Arbeit mit offenen Aufgaben sind, werden die Leistungen der Kinder nicht so kreativ wie das für die Zukunft erwünscht wär. Aus dem Grund möchte ich sie gleich bei der ersten Aufgabe zum Nachdenken 1 ermutigen und ihre Gedanken begründen lassen. Aufgabenstellungen in vgl. Die Stadientheorie Piagets ,aus Friedrich Zech, Grundkurs Mathematikdidaktik,1996, S. 89-93 3 Partnerarbeit sind die Schülerinnen und Schüler ebenso gewöhnt wie das Präsentieren ihrer Ergebnisse am Overheadprojektor. Den Einsatz eines „stummen Impulses kennen die Kinder ebenfalls aus dem Mathematikunterricht. 3 Sachanalyse Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen und ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von als auch Vielfaches von ist. 4 • Die Vielfachen von 8 sind: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, • Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, • Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 8 sind also 24, 48, 72, • und das kleinste gemeinsame Vielfache von diesen ist 24; in Zeichen: kgV 8 12 24 Didaktische Überlegungen In Bezug auf die Bildungsstandards des Faches Mathematik lässt sich die Stunde anhand der Förderung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen „mathematisch modellieren, „kommunizieren, „Probleme mathematisch lösen legitimieren. Unter der Leitidee „Zahl wird das 2 „Rechnen mit natürlichen Zahlen, das „Nutzen von Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, das „Wählen, beschreiben und bewerten von Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen sowie „Ergebnisse in Sachsituationen prüfen und interpretieren aufgeführt.3 Im Lehrplan Mathematik ist das Thema für die 6. Realschulklassen unter Abschnitt 6.1 vorgesehen und entstammt dem Bereich gewöhnliche Brüche. Das Thema „Teilbarkeit ist ein gut strukturierbares Thema. Diese klare Struktur4 macht es möglich bei diesem Thema sehr kleinschrittig vorzugehen. Es ist also sehr gut möglich einzelne Teillernziele zu erarbeiten. Das erarbeitete Teillernziel bildet in diesem Fall dann den Ausgangspunkt für den nächsten Schritt. So erarbeite ich z.B. die Teiler und Vielfachen einer Zahl um anschließend mit den Schülern die Teiler- und Vielfachenmengen zu erarbeiten. Für die Schülerinnen und Schüler sind die Handlungen bei diesem Thema nicht völlig unbekannt und neu. Sie haben zwar noch nie Teiler und Vielfache einer Zahl bestimmt, doch dieses Verfahren greift auf ihnen bereits bekannter Rechenarten zurück. So überprüfe ich bei der Suche nach den Teilern einer Zahl durch welche Zahlen sich diese dividieren lässt. Bei den Vielfachen greife ich auf die Multiplikation, bzw. auf die fortgesetzte Addition zurück. Für die Teilbarkeitsregeln gilt ähnliches: die Schülerinnen und Schüler kennen die Regeln zwar noch nicht, sind aber mit dem Dividieren bereits vertraut und haben vielleicht eigenständig schon Regeln erkannt, wie z.B. nur gerade Zahlen lassen sich durch Zwei teilen. Die wichtigste Bedeutung dieses Themas für die Zukunft der Schülerinnen und Schüler 2 Vgl. KMK (Hrsg.): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, S. 8/9 Vgl. Ebd., S. 12 4 Vgl. Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit 3 4 ist die Vorbereitung auf die Bruchrechnung (Brüche kürzen, Hauptnenner suchen). Weiterhin lässt sich das Thema Teilbarkeit didaktisch dadurch begründen, „dass die Lernenden die multiplikative Struktur natürlicher Zahlen näher kennenlernen und dass das Thema indirekt die Sicherung von Multiplikation und Division mit sich bringt. Für die Teilbarkeitsregeln gilt, dass sie neben der Vorbereitung auf die spätere Bruchrechnung die Haupterkenntnis der Teilbarkeitsbetrachtungen darstellen. Diese Regeln erleichtern das Auffinden von Teilern, was neben dem Kürzen von Brüchen auch im Sachrechnen erhebliche Vorteile bietet. Das Thema Teilbarkeit dient zu Vorbereitung auf die Bruchrechnung. Da die Bruchrechnung ein Inhalt ist, der in jeder Klassenstufe auftritt sollte er besonders gut vorbereitet werden. Nachdem das Thema gemeinsamer Teiler und größter gemeinsamer Teiler gefestigt ist und von allen Schülern und Schülerrinnen beherrscht wird, können die gemeinsamen Vielfachen und das kleinste gemeinsame Vielfache eingeführt werden. Dies wird erneut anhand eines praktischen Beispiels erarbeitet, um den Kindern genau zu verdeutlichen was gemacht wird. Nach der Einführung erfolgt wie üblich eine Übungsphase in der die Schülerinnen und Schüler selbstständig arbeiten und der Lerninhalt verankert wird. Diese Übungsphase wird mit den Hausaufgaben ergänzt. Zur unmittelbaren Vorbereitung auf das Gleichnamigmachen sollten im Bestimmen des kgV zweier einfacher Zahlen sichere Fertigkeiten ausgebildet werden. Das Verfahren der Vervielfachung der größeren Zahl ist wesentlich günstiger als das Verfahren der Primfaktorzerlegung, da später meist nur kleinere Zahlen als Nenner vorkommen und die Bestimmung des Hauptnenners dann im Kopf bewältigt werden kann. Die Bezeichnung „kleinstes gemeinsames Vielfaches wird in der Bruchrechnung zum „kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) weiterentwickelt. Dies sollte bei der Motivation oder bei Aufgaben bereits berücksichtigt werden. 5 Methodische Überlegungen Der Einstieg in die Stunde („Stummer Impuls) erfolgt über ein Bild, auf dem ein Kind Kisten stapelt. Durch den stummen Impuls erhalten die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, ihr Vorwissen zu aktivieren und sich frei zu äußern. Neben der Aktivierung des Vorwissens und der Vorerfahrungen der Schülerinnen und Schüler, bietet dieser stumme Impuls insbesondere leistungsschwächeren Schülern die Möglichkeit, sich am Unterricht zu beteiligen. Die Auseinandersetzung mit den Aussagen wird höchstwahrscheinlich bei allen Lernenden großes Interesse hervorrufen und eine intrinsische Motivation wecken, sich mit dem Unterrichtsgegenstand auseinanderzusetzen. Nach einem Unterrichtsgespräch erläutere ich den vorläufigen Verlauf der Unterrichtsstunde und visualisiere unsere Textaufgabe über OHP. Meine Erkenntnisse haben gezeigt, dass viele Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben Sachverhalte in Rechnungen umzusetzen. Eine Unterrichtgestaltung nach dem Ich-Du-Wir-Prinzip soll aus diesem Grund eine systematische Abfolge und angemessene Balance von individueller Auseinandersetzung mit dem Problem, ein Austausch zwischen Lernpartnern und ein 5 Zusammentragen in der ganzen Klasse gewährleistet werden. Die Lernenden werden nicht zu schnell mit den Ideen der Mitschüler konfrontiert, haben genug Zeit nachzudenken und eigene Ideen zu entwickeln.5 In der Arbeitsphase sollen die Schülerinnen und Schüler Strategien entwickeln die Aufgabe zu lösen und Ihre Ergebnisse auf Folie zur Präsentation vorbereiten. Den Lernenden biete ich bei der Arbeitsphase Hilfen an, abgestuft von schwach bis stark (siehe Anhang). Diese abgestuften Lernhilfen fördern und unterstützen das Selbstlernen. Die Schülerinnen und Schüler entscheiden selbst, ob und wann sie davon Gebrauch machen. Während dieser Phase werde ich als Beobachter auftreten. Ich werde mich weitestgehend zurücknehmen, um den Schülerinnen und Schülern möglichst viel Freiraum zu lassen. Bei meiner Beobachtung in der Arbeitsphase stelle ich fest, welche unterschiedlichen Strategien Schülerinnen und Schüler entwickeln und durchführen. Diese Informationen helfen mir bei der Präsentation unterschiedliche Vorgehensweisen aufzuzeigen. Die Präsentation der Ergebnisse soll uns als Ergebnissicherung dienen. Außerdem sollen die Lernenden nach und nach lernen, dem Rest der Klasse Lösungen vorzustellen. Aus diesem Grund sollen die Schülerinnen und Schüler kurz die Lehrerrolle übernehmen, in dem sie ihr Vorgehen kommentieren (ihre Gedanken verbalisieren), den anderen das Verfahren vorstellen. Die Suche nach einer Problemlösung führt uns auf allgemeine mathematische Ideen, bei der neue mathematische Begriffe (gemeinsame Vielfache, das kleinste gemeinsame Vielfache) und Verfahren (Bestimmen des kgV) entstehen. Ich erwarte unterschiedliche Lösungsvorschläge, diese werden in der Verlaufsplanung kurz skizziert. Sollte Lösungsweg Nr.3 oder Nr.4 vorhanden sein, werde ich diese aufgreifen und den Vergleich zu einer aufwändigeren Lösung herausstellen lassen. Sollten die Schülerinnen und Schüler hauptsächlich wie in 1-2 vorgegangen sein, muss ihre Aufmerksamkeit mithilfe gezielter Impulse auf die Vielfachenmengen gelenkt werden. Die ausgewählten Schülerinnen und Schüler ergänzen die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen an der Tafel, entdecken gemeinsame Vielfache sowie das kleinste gemeinsame Vielfache, indem sie die korrekte mathematische Schreibweise des Verfahrens kennenlernen. Zur Vertiefung folgt ein ähnliches Beispiel mit veränderten Angaben sowie Übungen aus dem Buch. Zum Schluss wird ein gemeinsames Vergleichen der Ergebnisse im Klassenverband durchgeführt. 6 Zielsetzung – Angestrebter Kompetenzzuwachs Die Schülerinnen und Schüler entwickeln erste Strategien, um das Problem zu lösen, den Zeitpunkt der gleichen Höhe der Türme zu bestimmen, kommunizieren mit ihren Mitschülern, indem sie die Lösungsstrategien präsentieren, argumentativ begründen, diskutieren, vergleichen und reflektieren, unter Umständen bereits im Hinblick auf eine Verallgemeinerung. 5 Vgl. Barzel, Mathematik Methodik, 2007, S.118 6 7 Verlaufsplanung 7 Zeit Phase/Inhalt Methode/Sozialform Begrüßung und SuS begrüßen sich und der Besuch wird vorgestellt. ca. 3 min Einstieg/Motivation Unterrichtsgespräch Folie s. Anhang Mögliche/ erwünschte Schüleräußerungen: viele Kisten Türme bauen Klötze wer kommt Höher? Die L. legt als stummen Impuls die Folie auf den OHP, spontane Schüleräußerungen ca. 2 min Problemstellung Unterrichtsgespräch Arbeitsblatt: Kisten stapeln Klärung der Arbeitsvorgehensweise Einbeziehung der Folie ca. 15 min Arbeitsphase Ich-Du-Wir Arbeitsblatt: problemlösen modellieren entwickeln von Lösungsstrategien prüfen und interpretieren der Ergebnisse diskutieren vorbereiten der Präsentationsfolien Differenzierung durch die Arbeitsmittel: Kartons Qualitative Differenzierung: gestufte Lernhilfen siehe Anhang Mögliche Schülerlösungen: 1. Bildhafte Darstellung, wobei je die erreichte Höhe festgehalten wird. 2. 1 Kiste 8 cm 1 Kiste 12 cm 2 Kisten 16 cm 2 Kisten 24 cm 3 Kisten 24 cm 3 Kisten 36 cm 3. Schüler notieren die Vielfachen auf: 8, 16, 24, 12, 24, 36, 4. Schüler notieren jeweils die Vielfachenmengen und erkennen gemeinsame Vielfachen: Lehrer gibt individuelle gestufte Hilfen, regt zur Weiterarbeit an. Medien Folie-OHP Folie Arbeitsblatt, Uhren, Folien, Folienstifte V8 {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,.} V12 {12,24,36,48,60,72,84,96,.} ca. 15 min Ergebnissicherung Präsentieren, diskutieren und reflektieren der Ergebnisse unter Einbezug der Reflexionsschwerpunkte: Gemeinsame Vielfachen SuS – Vortrag Unterrichtsgespräch Einzelne Schülerinnen und Schüler präsentieren argumentativ die Lösungsstrategien und -wege. Ggf. unterstützt die L. durch verbale oder visuelle Impulse. OHP Folien Kartons Anschließend gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Sollte Lösungsweg Nr.3 oder Nr. 4 vorhanden sein, werde ich diese aufgreifen und den Vergleich zu einer aufwändigeren Lösung herausstellen lassen. 2. Sollten die Schüler hauptsächlich wie in 1-2 vorgegangen sein, muss ihre Aufmerksamkeit mithilfe gezielter 8 8 Literatur- und Quellenangaben Barzel, B., Büchter, A. Leuders, T. (2007): Mathematik Methodik. Berlin, Cornelsen Verlag. Griesel, H., Postel, H. vom Hofe, R. (2001): Mathematik heute Klasse 6. Braunschweig, Westermann Schrödel Verlag. HKM (Hrsg.) (2003): Lehrplan Mathematik, Jahrgangsstufe 5-10 Wiesbaden, Verlag Moritz Diesterweg. KMK (2003): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss. Luchterhand. Landesinstitut für Schule Qualitätsagentur. (2006): Kompetenzorientierte Diagnose, Stuttgart, Ernst Klett Schulbuchverlage. Leuders, T (2003): Mathematik Didaktik. Berlin, Cornelsen Verlag. Zech, F. (1996): Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinhein und Basel, Belz Verlag. 9 Anhang 9.1 Folie 9.2 Arbeitsblatt Steffen und Laura stapeln Kisten übereinander, Steffens Kisten sind 12 cm hoch, Lauras 8 cm hoch. Wann sind ihre Türme gleich hoch 1. Bearbeite die Aufgaben erst alleine. 2. Diskutiert danach mit deinem Nachbarn deine Lösungen. 9 3. Wenn du dann etwas an deiner Lösung ändern möchtest, schreibe mit einem Stift in anderer Farbe. 4. Bereite eine Folie mit eurer Lösung für die Präsentation vor. 9.3 Gestufte Lernhilfen Türme – gemeinsame Höhen 9.4 Tafelbild 2: V8 {8,16, 24,32,40, 48,56,64, 72,80,88, 96,104Beispiel ,.} V12 {12, 24,36, 48,60, 72,84, 96,108,120,.} Kisten 4 cm und 6 cm Gemeinsame Vielfachen: 24, 48, 72, 96, Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV): 24 V6 {6, 12,18,24,30,36,42,.} kgV 8; 12 24 kgV 4; 6 12 V4 {4,8, 12,16,20,24,28,32,.} 10