Arbeitsblatt: Teiler, Vielfache, Primzahlen, ggT, kgV Theorieblätter

D1 Teiler und Vielfache Teiler und Vielfache Teilermengen Lässt sich eine natürliche Zahl ohne Rest durch eine Zahl teilen, dann ist ein Teiler von n. Die Menge aller Teiler einer Zahl heisst Teilermenge von n. Beispiel: T24 Teilermenge von 24 Mengendiagramm Teilerdiagramm: T18 und T21 Teilbarkeitsdiagramm In einem Teilbarkeitsdiagramm einer Menge natürlicher Zahlen wird dargestellt, welche Zahlen Teiler von welchen anderen Zahlen sind. Der Pfeil bedeutet „ ist Teiler von Beispiel 1: Teilbarkeitsdiagramm der Menge {3,6,12,15,32} 12 6 15 32 3 Eigentlich müsste man von jeder Zahlen einen Pfeil zu ihr selbst zeichnen, da jede Zahl auch Teiler von sich selbst ist. Um eine Übersicht zu wahren, lässt man diese Pfeile weg. Beispiel 2: Teilbarkeitsdiagramm der Menge 6 2 9 3 1 7 {1,2,3,6,7,9} Eigentlich müsst ich hier auch einen Pfeil von der 1 zur 6, bzw. 9 machen, da 1 ebenfalls Teiler dieser ist. Da 3 jedoch auch Teiler von 6 und 9 ist, lasse ich den Pfeil von 1 nach 9 aus Gründen der Übersicht weg. Beispiel 3: Teilbarkeitsdiagramm der Menge {5,6,8,10,40,56} Aufgabe D33 Buch Seite 101 PK D1 Teiler und Vielfache Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist teilbar durch . 2: . wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. 4: . wenn die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbar sind. 8: . wenn die drei letzten Ziffern durch 8 teilbar sind. 5: . wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. 25: . wenn die letzten Ziffern 00, 25, 50, 75 sind. 125: . wenn die drei letzten Ziffern 000 oder durch 125 teilbar sind. 3 (oder 9): . wenn die Quersumme durch 3 (oder 9) teilbar ist. 6: 12: 15: . wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. . wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist. . wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist. !!!Achtung!!! Ist Teiler zweier Zahlen, so ist auch Teiler ihrer Summe. Beispiel: 7 Teiler von 21 und 35 – 7 ist auch Teiler von 213556 Wenn eine Zahl durch und durch teilbar ist, dann ist sie nicht unbedingt durch ihr Produkt teilbar. Beispiel: 12 ist durch 3 und 6 teilbar nicht aber durch 18 ( 3 6) Quersumme: Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 57321 Quersumme 57321 18 Quersumme aus der Quersumme 18 9 Für grosse Zahlen bildet man die Quersumme aus der Quersumme. PK D1 Teiler und Vielfache Menge der Vielfachen Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache. Beispiel: Menge der Vielfachen von 18: V18 {} • Auch bei den Mengen der Vielfachen gibt es Schnittmengen: Achtung: nach Drucken kgV wegmachen • Verbessere oder vervollständige die Mengen der Vielfachen Was fällt dir auf? PK D2 Primzahlen, ggT, kgV Primzahlen • Eine Primzahl hat genau 2 Teiler. • Eine zusammengesetzte Zahl hat mehr als 2 Teiler, sie sind also nicht prim. • 2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl. • 1 hat nur 1 Teiler. Sie ist also weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl. • Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahl 7: zusammengesetzte Zahl 12: T(7) {1,7} T(12) {1,2,3,4,6,12} Sieb des Eratosthenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Primzahlzwillinge: 2 Primzahlen mit Abstand 2, z.B.: PK D2 Primzahlen, ggT, kgV Alle Primzahlen bis 1000 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Primfaktorzerlegung Die Primzahlen sind sperrige Zahlen und doch sind sie sehr brauchbar, sie sind nämlich die Bausteine der natürlichen Zahlen. Vorgehen: Wir dividieren die gegebene Zahl durch die kleinste mögliche Primzahl. Das Ergebnis dividieren wir auch wieder durch die kleinste mögliche Primzahl bis wir am Schluss 1 erhalten. Beispiel: 924 924 2 462 462 2 231 231 3 77 77 7 11 11 11 1 14 14 924 kürzer: 924 2 2 3 7 11 462 231 77 11 1 2 · 2 · 3 · 7 · 11 22 · 3 · 7 · 11 15 15 120 120 PK D2 Primzahlen, ggT, kgV Grösster gemeinsamer Teiler ggT T36 T60 9 4 18 5 1 2 36 3 6 12 10 15 20 30 60 Die Zahlen 1,2,3,4,6, und 12 sind Teiler von 36 und 60. Die Zahl 12 ist der grösste Teiler, den 36 und 60 gemeinsam haben. der grösste gemeinsame Teiler ggT Wie bestimmen wir den ggT? 1. Wir zerlegen die gegebenen Zahlen in Primfaktoren. 2. Wir unterstreichen jede Primzahl, die in beiden Zerlegungen vorkommt, evtl. auch mehrmals. 3. Wir bilden das Produkt der unterstrichenen Primzahlen einer Spalte. Beispiel: 2 2 5 7 140 70 35 7 1 Übung: ggT (36,60) 2 2 2 3 3 7 504 252 126 63 21 7 1 ggT(28,98) ggT (140, 504) 2 2 7 2 2 7 28 ggT(270,216) PK D2 Primzahlen, ggT, kgV Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV V4 V5 5 15 10 4 12 20 25 40 8 16 Die Zahlen 20, 40, 60, . sind Vielfache von 4 und 5. Die Zahl 20 ist das kleinste Vielfache, das 4 und 5 gemeinsam haben, also das kleinste gemeinsame Vielfache kgV Wie bestimmen wir das kgV? 1. Wir zerlegen die gegebenen Zahlen in Primfaktoren. 2. Wir unterstreichen jede Primzahl, und zwar in jener Zerlegung, wo sie am häufigsten vorkommt (in der höchsten Potenz). 3. Wir bilden das Produkt der unterstrichenen Primzahlen. Beispiel: 8 2 4 2 2 2 1 12 2 6 2 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1 2 2 2 3 24 12 6 3 1 36 18 9 3 1 2 2 3 3 45 3 15 3 5 5 1 24 2 12 2 6 2 3 3 1 36 18 9 3 1 2 2 3 3 kgV(8,12) kgV(18,24) kgV (36,45) kgV (24, 36) 2 2 2 3 2 2 233 2 2 335 2 2 233 23 3 2 3 2 3 5 2 3 32 3 2 2 72 24 1260 2 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1 600 2 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 2 180 72 Eine persönliche Eselsbrücke hilft mir zu merken, wie ich das kgV bilde: Ich will mehr (Vielfaches) Ich klaue nur bei den grössten für meinen Vorrat kgV(1260, 600) 2 2 233557 23 32 52 7 12600 PK