Arbeitsblatt: Skript Bruchrechnen

Gewöhnliche Brüche 1. Bruchzahlen 1.1. Bruchoperatoren 90 119 13 9 6 13 18 17 143 207 150 257 Ersatz durch einen einzigen wirkungsgleichen Operator Erst durch die Einführung der Brüche ist es uns möglich einen einzigen, wirkungsgleichen Operator hinzuschreiben. 257 13 Eine zweiteilige gemischte Operatorenkette kann durch ersetzt werden. 32 32 3 4 4 3 24 3 4 32 24 24 Allgemein: a b Sonderfälle: 1 Schreibfiguren von der Form b a b b a 1 2 6 3 2 3 b) c) 1 werden genannt. Sie werden verwendet als: a) a 3 von 18 Fr 4 18 Fr 2 3 12 Fr 3 4 Eine Bruchzahl besteht aus einer ganzen Zahl über dem Bruchstrich und einer ganzen Zahl unter dem Bruchstrich. Die Zahl darüber heisst, die Zahl darunter des Bruches. 2 3 Gewöhnliche Brüche 1 1.2. Übung Ersetze die gemischte Operatorenkette durch einen wirkungsgleichen Bruchoperator: 4 5 25 9 4 5 6 25 1 9 6 1 0 7 3 4 5 0 7 5 4 3 12 5 2 3 20 3 6 6 6 1 Schreibe folgende Bruchoperatoren als gemischte Kette: 11 4 11 1 3 1 4 3 3 8 3 8 6 6 6 6 9 1 9 1 Suche die fehlenden Zahlen, Grössen und Operatoren: 125 kg 2 5 16 km 5 8 10 km 678 mm 5 6 315 16 35 144 143 11 13 7 12 217 1024 5 8 640 270 19 18 285 231 13 11 351 13 6 4 3 5 11 47 dl 2 5 3h 5 6 5 2 47 dl 351 104 Fr 407 km 7 10 5 2 3 8 10 7 6 13 4 3 5 11 51 3 kg 4 Gewöhnliche Brüche 2 104 Fr Verwandle so dass der Kernbruch1 ersichtlich wird: 4 5 4 28 35 5 6 10 2 21 15 3 5 20 12 3 5 4 39 33 13 3 11 4 5 5 6 5 4 5 65 78 5 5 3 5 28 49 7 4 7 7 4 7 3 7 5 6 8 2 2 3 4 3 4 4 5 3 33 36 12 11 3 3 13 11 15 18 6 5 7 4 2 3 7 7 3 5 6 6 13 3 6 5 6 13 11 12 5 6 3 5 Ergänze die Tabelle: Eingabe Operator 225 kg 4 15 4 7 Ausgabe Eingabe Operator 225 kg 360 630 1080 20 4 10 11 9 Ausgabe 12 17 1080 20 143 Peter hat in den Ferien 260 Fr. verdient. Er will ein Mofa kaufen. Diese 260 Fr. sind 4 des Occasionspreises. Wie viel kostet das Mofa? 5 Lösung: 4 5 260 Fr. 5 4 ist der Platzhalter (Variable) für den Mofapreis 1 Kernbruch: reduzierte Bruchdarstellung Das ist dann der Fall, wenn der Zähler und der Nenner des Bruches teilerfremd (ggT von Zähler und Nenner 1) sind. Gewöhnliche Brüche 3 1.3. Kürzen und Erweitern der Brüche Aufgabe: Wir wollen nacheinander folgende Bruchoperatoren auf die Strecke PQ einwirken lassen: 23 64 69 Lösung: PQ 2 3 RS PQ 4 6 TU PQ 6 9 VW Wir sehen: RS TU VW oder 2 3 die drei Operatoren bewirken dasselbe, sie sind gleich 46 6 2 3 9 2 2 4 und 32 6 2 3 23 6 33 9 Einen Bruch erweitern heisst, 4 6 Umgekehrt gilt: 4 2 2 und 6 2 3 6 9 63 2 93 3 Einen Bruch kürzen heisst, 15 9 Weiteres Beispiel: 53 5 33 3 Hier hat man mit dem ggT von 15 und 9 3 gekürzt und so den Kernbruch erhalten. Gleichheitsrelation bei Brüchen: 12 16 3 und 4 9 12 3 folglich 4 12 16 9 12 Zwei Brüche sind gleich, wen sie Gewöhnliche Brüche 4 Aufgabe: Stelle die Gleichheits- Relation bei Brüchen dar als: a) Pfeildiagramm b) grafische Darstellung Lösung: a) Pfeildiagramm: Der Pfeil, der z.B. von 1 7 2 3 5 4 4 6 14 21 15 12 4 6 10 8 2 3 geht, bedeutet: 2 3 also: 4 6 bedeutet: 2 4 3 6 20 16 b) grafische Darstellung Zähler 7 6 5 4 3 2 1 Nenner 0 1 2 3 4 5 6 7 8 zu 9 10 Jedem Bruch wird ein zugeordnet. Die Bildpunkte von gleichwertigen Brüchen liegen 1.4. Brüche und natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl Wir bezeichnen auf dem Zahlenstrahl die Strecke 0E als Einheitsstrecke. Der Bruch(operator) 23 führt 0E in 0G über. Die Strecke 0G tragen wir von 0 aus auf dem Strahl ab. Wir erhalten einen Punkt, über dem wir 3 2 anschreiben. Füh- ren wir dies noch mit anderen Brüchen durch, so erkennen wir: Gewöhnliche Brüche 5 1 3 2 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2 0 0 a) Jedem Bruch ist auf dem Zahlenstrahl Bildpunkt zugeordnet. b) Umgekehrt entsprechen jedem Punkt Brüche. c) des Bruches, desto liegt der Bildpunkt. 2 4 2 2 d) Unsere bisherigen Zahlen können wir alle als Brüche darstellen: 0 0 1 02 03 04 05 . 1 1 1 22 33 44 55 . 2 2 1 42 63 84 105 . usw. 1.5. Bruchtypen a) Echte Brüche: 1 2 3 4 2 5 usw. N 1 oder c) Kernbrüche: 1 4 2 3 21 32 usw. N 1 und hat die reduzierte d) Stammbrüche: 1 3 1 7 1 15 usw. Der Zähler ist 1 e) Scheinbrüche: 9 3 8 2 15 5 usw. Der Zähler ist ein Vielfaches Bruchdarstellung2 des Nenners. f) Gemischte Zahlen: 3 1 2 3 5 1 usw. Sie bestehen aus natürlichen 4 8 7 Zahlen und echten Brüchen. Scheinbrüche sollen als Resultat in natürliche Zahlen verwandelt werden. Beispiele: 12 4 3, 28 7 4, 144 12 12, usw. 2 reduzierte Bruchdarstellung Das ist dann der Fall, wenn der Zähler und der Nenner des Bruches teilerfremd (ggT von Zähler und Nenner 1) sind. Gewöhnliche Brüche 6 Scheinbrüche oder 21 19 8 13 3 1 3 15 rationale Zahlen 28 14 9 15 25 5 29 11 1 8 2 3 4 6 unechte Brüche Kernbrüche 7 10 13 21 Stammbrüche 1 7 1 12 echte Brüche Achtung: 3 15 3 1 5 Übung: 120 25 31 8 37 238 17 14 392 7 1 5 15 5 16 5 aber 3 15 8 56 51 13 3 5 182 13 14 Gewöhnliche Brüche 7 2. Addition und Subtraktion von Brüchen Wir wollen die Addition und Subtraktion von Brüchen nicht mit unserem Operatormodell erklären, da wir als Operatoren nur Multiplikatoren und Divisoren zugelassen haben. Wir wollen deshalb das Pfeilmodell benutzen, das heisst, wir bilden die natürlichen Zahlen im Zahlenstrahl ab und ordnen jeder natürlichen Zahl einen Pfeil zu. Addition von Pfeilen: Subtraktion von Pfeilen: An die Spitze des ersten Pfeils wird der An die Spitze des ersten Pfeils wird die Anfang des zweiten Pfeils gesetzt. Spitze des zweiten Pfeils gesetzt. 437 0 1 2 3 4 7–43 5 4 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 7 3 4 3 7 Wir erweitern unser Pfeilmodell so, dass es auch die Addition und Subtraktion von Brüchen dienen kann. Dazu müssen wir die Brüche in die Zahlengerade abbilden. Jedem Bruch wird ein nach rechts gerichteter Pfeil von bestimmter Länge zugeordnet: Beispiel: 0 Bilder des Bruches 1 4 5 2 4 5 4 5 4 5 4 5 Alle Pfeile sind Bilder des Bruches 54 weil sie die gleiche Länge und gleiche Richtung haben. Wenn wir diese Pfeile, die Bilder von Brüchen darstellen, addieren bzw. subtrahieren, sollen dieselben Vorschriften gelten wie oben. 2.1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner 3 7 74 ? 6 6 Wir unterteilen die Bildstrecke der natürlichen Zahl 1 in 7 Teile und erhalten so die Marken für die Bilder der Brüche mit dem Nenner 7. Wir haben die Zahlengerade in Siebtel unterteilt. 0 2 7 1 7 3 7 4 7 3 7 5 7 6 7 1 Wir unterteilen die Bildstrecke der natürlichen Zahl 1 in 6 Teile und erhalten so die Marken für die Bilder der Brüche mit dem Nenner 6. Wir haben die Zahlengerade in Sechstel unterteilt. 1 6 0 3 6 2 6 4 6 5 6 1 6 6 4 7 7 7 64 ? 2 6 4 6 Gewöhnliche Brüche 8 Wir sehen: Wir sehen: Wenn Brüche mit dem gleichen Nenner addiert bzw. subtrahiert werden, kommt man mit Einteilung auf dem Zahlenstrahl aus. Brüche mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, Allgemein: b b a b b b a b 2.2. Addition und Subtraktion von Brüchen mit ungleichen Nennern 1 2 1 3 ? 4 3 12 ? Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir die Zahlengerade in Halbe und Drittel unterteilen. 1 3 0 1 2 1 2 2 3 1 1 3 0 1 2 2 3 4 3 1 4 3 1 3 1 2 Das Ergebnis der Aufgaben lässt sich erst angeben, wenn wir die Marke an der Spitze der Ergebnispfeile bestimmen können. Dazu kommen wir mit der Einteilung in Halbe und Drittel offensichtlich nicht aus, sondern müssen eine feinere Einteilung finden: 0 1 6 1 3 1 2 2 3 2 6 3 6 4 6 1 2 5 6 1 0 1 6 1 3 1 2 2 3 2 6 3 6 4 6 5 6 1 7 6 4 3 1 3 5 6 5 6 Wir sehen: 4 3 1 2 Wir sehen: Wir wollen überlegen, ob wir die Aufgabe 12 13 nach der Regel für Addition von Brüchen mit gleichen Nennern rechnen können. Dazu müssen wir für die beiden Brüche wertgleiche Brüche suchen: Gewöhnliche Brüche 9 8 6 1 2 1 3 Für die Aufgabe 1 2 1 3 darf man demnach auch rechnen oder oder usw. Für die folgenden Aufgabe ergibt sich somit: 5 43 28 kgV6 ,4 ,8 24 6 20 18 6 24 32 24 4 3 1 13 Ergebnis: Ungleichnamige Brüche heisst Repetition: 43 können in verwandelt werden und umgekehrt. 3 17 22 7 2.3. Eigenschaften der Addition Die Addition von Bruchzahlen lässt sich vergleichen mit der Addition der natürlichen Zahlen: Die Addition ist n n (bn n (na bn nc n 0 n n n n 0 n 2.4. Beispiele 11 31 15 14 52 4 9 40 29 11 67 184 3a 4 5a 6 8 4z 3 xy 7a 15 103b 5t 22rs 2 7x 149y 554 rst Gewöhnliche Brüche 10 3. Multiplikation von Brüchen Wir wollen die Multiplikation von Brüchen mit Hilfe unseres Operatormodells einführen. 3.1. Bruch mal Bruch Beispiel: 3 4 107 ? Wir lösen die Aufgabe zunächst im Modell: 43 107 3 4 10 7 3 7 4 (3 7) 10 (4 10 Demnach gilt: Entsprechend muss gelten: Allgemein: b dc ? a 3 4 107 c b d a c b (a ) d (b d) Demnach gilt: Ergebnis: Brüche werden miteinander multipliziert, b dc ac bd 3.2. Bruch mal natürliche Zahl Aufgabe: Berechne folgende Produkte: Lösung: a) 7 214 1 7 4 21 3 14 3 4 3 a) 7 214 b) 28 225 25 1 13 Gewöhnliche Brüche 11 b) 28 225 25 28 25 225 1 1 28 25 225 9 28 9 3 19 Multiplikation mit Null: 0 34 0 und 3 4 0 0 4 Multiplikation mit 1: 1 56 und 5 6 1 5 6 5 6 0 Andere Ausdrucksweise: Die Rechnung 3 4 3 4 3 4 24 drückt man oft auch so aus: 24 (_), also 24 18 3.3. Einige Folgerungen a) Gemischte Zahlen: 4 4 43 1 13 19 34 19 4 43 19 3 6 13 Gemischte Zahlen b) Rechenvorteil des langen Bruchstrichs: 12 25 35 18 2 5 7 3 12 25 35 18 10 21 3.4. Eigenschaften der Multiplikation Die Multiplikation ist c bd d (be cf da be cf d (be 1 ba d ac f da be da cf b 1 b Gewöhnliche Brüche 12 4. Division von Brüchen Wir haben die Division als Umkehrung der Multiplikation kennen gelernt. Wir gehen deshalb von einer Multiplikationsaufgabe aus, um die Gesetzmässigkeiten für das Dividieren von Brüchen zu finden. 4.1. Bruch durch Bruch 2 3 4 5 8 15 kurz: Nun bilden wir aus der Multiplikationsaufgabe die zugehörige Divisionsaufgabe: 8 15 4 5 2 3 kurz: Der zu 54 heisst 54 Demnach muss auch gelten 8 15 4 5 2 3 Daraus folgt: 8 15 Du siehst: kurz: 54 8 15 54 2 3 Die Multiplikation mit die Division durch Man sagt: 5 4 führt zum gleichen Ergebnis wie 4 5 ist der des Bruches 54 5 4 Allmemein: c d ad b b bc Ergebnis: 4.2. Folgerungen: a) 5 6 b 5 c b) 7 5 5 6 5 1 1 5 1 6 5 1 b 1c 1 7 1 15 7 1 1 5 9 14 1 6 14 72 bc 7 5 12 1 25 also: 9 14 14 1 12 1 27 75 3 9 1 14 12 4 2 14 2 1 7 3 56 4 1 7 5 1 25 Gewöhnliche Brüche 13 4.3. Doppelbrüche Bei Quotienten von natürlichen Zahlen kann also das Divisionszeichen durch den Bruchstrich ersetzt werden. Dies wollen wir auch bei Brüchen zulassen. 6 7 9 14 6 9 7 14 gelesen: 6 über 9 durch 7 14 Solche Terme heissen Um sie zu vereinfachen, führen wir die durch den Hauptbruchstrich angedeutete Division aus. 6 2 2 7 6 9 6 14 4 9 7 14 7 9 3 1 3 14 1 8 5 52 50 9 2 12 1 27 50 8 5 1 95 12 1 13 1 2 10 3 1 1 27 50 1 2 8 5 195 4 2 1 1 1 3 2 1 12 In bezug auf den Hauptbruchstrich können wir folgende Faustregel aussprechen: 5 8 8 23 12 12 12 1 4 1 1 5 26 12 2 8 3 1 25 2 1 1 Merke: 5 15 26 5 5 Kommen innerhalb von Doppelbrüchen, also (_), vor, so sind diese vorerst auszurechnen. 1 5 1 15 2 5 3 15 5 58 2 15 4 12 2 13 1 16 2 38 1 15 2 5 1 8 ) 13 2 16 Beispiele: 2 15 2 5 1 1 3 1 2 5 15 2 5 58 2 15 6 56 5 3 12 13 2 16 3 xy 44 uv 39 wz 18 5b 1 1 2 2 1 1 1 1 45 11 41 12 16 8 5 6 41 45 65uw 33 44 5 8 54 3 1 12 7b 1 8 ac 12a 87acb 4 1 5 3 1 3 18 1 5b 6 24 ab 3 15 2 1 44 v 65 w 39 z 33 3 1 20 u2 9z 2 2 1 5 1 16 a3 b2 15 2 9 y 4 24 b3 3 1 y3 20 a3b 27 cd2 18 3b 10 4 3 1 2 1 ; 57z 38 27 3a 5b 1 3x 6 16 a3b 2 9 xy 4 1 3 2 21b 2c 2 2 1 20 a3 18 3 27 d2 10 a4 3 1 1 3 57 27 1 38 2 4 b2 2 3 ad2 81 yz 2x 2 x 10 9 by 3 Gewöhnliche Brüche 14 Gewöhnliche Brüche 1. Bruchzahlen 1.1. Bruchoperatoren 90 119 13 9 6 13 18 17 143 207 150 257 5 7 11 23 25 Ersatz durch einen einzigen wirkungsgleichen Operator nicht möglich. Erst durch die Einführung der Brüche ist es uns möglich einen einzigen, wirkungsgleichen Operator hinzuschreiben. 257 13 Eine zweiteilige gemischte Operatorenkette kann durch einen wirkungsgleichen Operator (Bruchoperator) ersetzt werden. 32 32 3 4 4 3 24 32 24 24 Allgemein: a b Sonderfälle: 1 Schreibfiguren von der Form b a) Bruchoperatoren a a 1 b a werden Brüche genannt. Sie werden verwenb det als: 6 2 3 b) Bruchteil c) Bruchzahlen 3 4 3 1 2 3 von 18 Fr 4 18 Fr 2 3 12 Fr 3 4 Eine Bruchzahl besteht aus einer ganzen Zahl über dem Bruchstrich und einer ganzen Zahl unter dem Bruchstrich. Die Zahl darüber heisst Zähler, die Zahl darunter Nenner des Bruches. Zähler Nenner 2 3 Bruchstrich Gewöhnliche Brüche 1 1.2. Übung Ersetze die gemischte Operatorenkette durch einen wirkungsgleichen Bruchoperator: 4 5 25 9 4 5 6 25 1 9 6 1 0 7 3 4 5 0 7 5 4 3 12 5 2 3 20 3 6 6 6 1 Schreibe folgende Bruchoperatoren als gemischte Kette: 11 4 11 1 3 1 4 3 3 8 3 8 6 6 6 6 9 1 9 1 Suche die fehlenden Zahlen, Grössen und Operatoren: 125 kg 2 5 50 kg 16 km 5 8 10 km 678 mm 5 6 565 mm 315 16 35 144 143 11 13 121 372 7 12 217 1024 5 8 640 270 19 18 285 231 13 11 273 351 13 78 Fr 4 407 km 5 47 dl 2 5 312 Fr 2035 km 3h 27 5 6 5 2 47 dl 5 2 6 3 11 351 162 104 Fr 78 Fr 185 km 407 km 51 2 kg 7 10 3 8 10 7 6 13 4 3 5 11 162 104 Fr 185 km 51 3 kg 4 Gewöhnliche Brüche 2 Verwandle so, dass die reduzierte Bruchdarstellung1 ersichtlich wird: 4 5 4 28 35 5 6 10 2 21 15 3 5 20 12 3 5 4 39 33 13 3 11 4 5 5 6 5 4 5 65 78 5 5 3 5 28 49 7 4 7 7 4 7 3 7 5 6 8 2 2 3 4 3 4 4 5 3 33 36 12 11 3 3 13 11 15 18 6 5 7 4 2 3 7 7 3 5 6 6 13 3 6 5 6 13 11 12 5 6 3 5 Ergänze die Tabelle: Eingabe Operator Ausgabe Eingabe Operator Ausgabe 15 4 225 kg 225 kg 4 15 60 kg 630 4 7 360 7 4 630 1080 17 12 1530 12 17 1080 20 4 10 8m 10 4 20 117 11 9 143 9 11 117 Peter hat in den Ferien 260 Fr. verdient. Er will ein Mofa kaufen. Diese 260 Fr. sind 4 des Occasionspreises. Wie viel kostet das Mofa? 5 Lösung: 4 5 260 Fr. 5 4 325 Fr ist der Platzhalter (Variable) für den Mofapreis 1 reduzierte Bruchdarstellung Das ist dann der Fall, wenn der Zähler und der Nenner des Bruches teilerfremd (ggT von Zähler und Nenner 1) sind. Gewöhnliche Brüche 3 1.3. Kürzen und Erweitern der Brüche Aufgabe: Wir wollen nacheinander folgende Bruchoperatoren auf die Strecke PQ einwirken lassen: 23 64 69 Lösung: PQ 2 3 RS PQ 4 6 TU PQ 6 9 VW Wir sehen: RS TU VW oder 2 3 die drei Operatoren bewirken dasselbe, sie sind gleich 46 6 2 3 9 2 2 4 und 32 6 2 3 23 6 33 9 Einen Bruch erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl multiplizieren 4 6 Umgekehrt gilt: 4 2 2 und 6 2 3 6 9 63 2 93 3 Einen Bruch kürzen heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl dividieren 15 9 Weiteres Beispiel: 53 5 33 3 Hier hat man mit dem ggT von 15 und 9 3 gekürzt und so den Kernbruch erhalten. Gleichheitsrelation bei Brüchen: 12 16 3 und 4 9 12 3 folglich 4 12 16 9 12 Zwei Brüche sind gleich, wenn sie durch Erweitern oder Kürzen in denselben Bruch übergeführt werden können. Gewöhnliche Brüche 4 Aufgabe: Stelle die Gleichheits- Relation bei Brüchen dar als: a) Pfeildiagramm b) grafische Darstellung Lösung: a) Pfeildiagramm: Der Pfeil, der z.B. von 1 7 2 3 5 4 4 6 14 21 15 12 4 6 10 8 2 3 geht, bedeutet: 2 3 also: 4 6 bedeutet: 2 4 3 6 20 16 b) grafische Darstellung Zähler 7 6 6 6 3 4 6 9 5 4 4 4 4 2 6 8 3 6 3 3 2 2 2 2 2 1 3 4 1 1 Nenner 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 zu 9 10 Jedem Bruch wird ein Bildpunkt zugeordnet. Die Bildpunkte von gleichwertigen Brüchen liegen auf einer Geraden, die durch den Nullpunkt geht. 1.4. Brüche und natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl Wir bezeichnen auf dem Zahlenstrahl die Strecke 0E als Einheitsstrecke. Der Bruch(operator) 23 führt 0E in 0G über. Die Strecke 0G tragen wir von 0 aus auf dem Strahl ab. Wir erhalten einen Punkt, über dem wir 3 2 anschreiben. Füh- ren wir dies noch mit anderen Brüchen durch, so erkennen wir: Gewöhnliche Brüche 5 . . . . . 0 2 4 6 8 4 4 4 4 0 4 3 3 6 3 3 0 1 2 3 4 2 2 2 2 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2 0 0 a) Jedem Bruch ist auf dem Zahlenstrahl genau ein Bildpunkt zugeordnet. b) Umgekehrt entsprechen jedem Punkt mehrere Brüche. c) Je grösser der Wert des Bruches, desto weiter rechts liegt der Bildpunkt. 2 4 2 2 d) Unsere bisherigen Zahlen können wir alle als Brüche darstellen: 0 0 1 02 03 04 05 . 1 1 1 22 33 44 55 . 2 2 1 42 63 84 105 . usw. 1.5. Bruchtypen a) Echte Brüche: 1 2 3 4 2 5 usw. N 1 oder c) Kernbrüche: 1 4 2 3 21 32 usw. N 1 und hat die reduzierte d) Stammbrüche: 1 3 1 7 1 15 usw. Der Zähler ist 1 e) Scheinbrüche: 9 3 8 2 15 5 usw. Der Zähler ist ein Vielfaches Bruchdarstellung2 des Nenners. f) Gemischte Zahlen: 3 1 2 3 5 1 usw. Sie bestehen aus natürlichen 4 8 7 Zahlen und echten Brüchen. Scheinbrüche sollen als Resultat in natürliche Zahlen verwandelt werden. Beispiele: 12 4 3, 28 7 4, 144 12 12, usw. 2 reduzierte Bruchdarstellung Das ist dann der Fall, wenn der Zähler und der Nenner des Bruches teilerfremd (ggT von Zähler und Nenner 1) sind. Gewöhnliche Brüche 6 Scheinbrüche oder 21 19 8 13 3 1 3 15 rationale Zahlen 28 14 9 15 25 5 29 11 1 8 2 3 4 6 unechte Brüche Kernbrüche 7 10 13 21 Stammbrüche 1 7 1 12 echte Brüche Achtung: 3 15 3 1 5 Übung: 120 25 44 31 8 37 238 17 14 392 7 5 1 5 15 5 16 5 aber 3 15 8 56 51 13 3 5 3 12 182 13 13 14 Gewöhnliche Brüche 7 2. Addition und Subtraktion von Brüchen Wir wollen die Addition und Subtraktion von Brüchen nicht mit unserem Operatormodell erklären, da wir als Operatoren nur Multiplikatoren und Divisoren zugelassen haben. Wir wollen deshalb das Pfeilmodell benutzen, das heisst, wir bilden die natürlichen Zahlen im Zahlenstrahl ab und ordnen jeder natürlichen Zahl einen Pfeil zu. Addition von Pfeilen: Subtraktion von Pfeilen: An die Spitze des ersten Pfeils wird der An die Spitze des ersten Pfeils wird die Anfang des zweiten Pfeils gesetzt. Spitze des zweiten Pfeils gesetzt. 437 0 1 2 3 4 7–43 5 4 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 7 3 4 3 7 Wir erweitern unser Pfeilmodell so, dass es auch die Addition und Subtraktion von Brüchen dienen kann. Dazu müssen wir die Brüche in die Zahlengerade abbilden. Jedem Bruch wird ein nach rechts gerichteter Pfeil von bestimmter Länge zugeordnet: Beispiel: 0 Bilder des Bruches 1 4 5 2 4 5 4 5 4 5 4 5 Alle Pfeile sind Bilder des Bruches 54 weil sie die gleiche Länge und gleiche Richtung haben. Wenn wir diese Pfeile, die Bilder von Brüchen darstellen, addieren bzw. subtrahieren, sollen dieselben Vorschriften gelten wie oben. 2.1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner 3 7 74 ? 6 6 Wir unterteilen die Bildstrecke der natürlichen Zahl 1 in 7 Teile und erhalten so die Marken für die Bilder der Brüche mit dem Nenner 7. Wir haben die Zahlengerade in Siebtel unterteilt. 0 2 7 1 7 3 7 4 7 3 7 5 7 6 7 1 Wir unterteilen die Bildstrecke der natürlichen Zahl 1 in 6 Teile und erhalten so die Marken für die Bilder der Brüche mit dem Nenner 6. Wir haben die Zahlengerade in Sechstel unterteilt. 1 6 0 3 6 2 6 4 6 5 6 1 6 6 4 7 7 7 64 ? 2 6 4 6 Gewöhnliche Brüche 8 Wir sehen: 3 7 4 7 7 7 Wir sehen: 3 4 7 6 6 4 6 2 6 64 6 Wenn Brüche mit dem gleichen Nenner addiert bzw. subtrahiert werden, kommt man mit einer Einteilung auf dem Zahlenstrahl aus. Brüche mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Allgemein: b b a b b b a b 2.2. Addition und Subtraktion von Brüchen mit ungleichen Nennern 1 2 1 3 ? 4 3 12 ? Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir die Zahlengerade in Halbe und Drittel unterteilen. 1 3 0 1 2 2 3 1 2 1 1 3 0 1 2 2 3 4 3 1 4 3 1 3 1 2 Das Ergebnis der Aufgaben lässt sich erst angeben, wenn wir die Marke an der Spitze der Ergebnispfeile bestimmen können. Dazu kommen wir mit der Einteilung in Halbe und Drittel offensichtlich nicht aus, sondern müssen eine feinere Einteilung finden: 0 1 6 1 3 1 2 2 3 2 6 3 6 4 6 1 2 5 6 1 0 1 6 1 3 1 2 2 3 2 6 3 6 4 6 1 3 5 6 1 7 6 1 2 5 6 5 6 1 2 5 6 4 3 1 3 Wir sehen: 4 3 Wir sehen: 4 3 21 5 6 Wir wollen überlegen, ob wir die Aufgabe 12 13 nach der Regel für Addition von Brüchen mit gleichen Nennern rechnen können. Dazu müssen wir für die beiden Brüche wertgleiche Brüche suchen: Gewöhnliche Brüche 9 8 6 1 2 2 4 3 6 4 8 1 3 2 6 3 9 4 12 5 10 5 15 6 12 6 18 7 14 7 21 8 16 8 24 9 18 9 27 . 10 20 10 30 . 13 26 56 4 12 10 12 6 15 18 18 Für die Aufgabe darf man demnach auch rechnen oder oder 1 2 3 6 6 12 9 18 usw. Für die folgenden Aufgabe ergibt sich somit: 5 43 28 kgV6 ,4 ,8 24 6 20 18 6 24 32 24 4 3 1 13 Ergebnis: Ungleichnamige Brüche werden vorerst gleichnamig gemacht und dann addiert bzw. subtrahiert. Den gemeinsamen Nenner oder Generalnenner erhalten wir mit Hilfe des kgV. Repetition: 4 3 1 13 1 13 heisst gemischte Zahl. Gemischte Zahlen können in unechte Brüche verwandelt werden und umgekehrt. 3 17 22 7 2.3. Eigenschaften der Addition Die Addition von Bruchzahlen lässt sich vergleichen mit der Addition der natürlichen Zahlen: Die Addition ist unbeschränkt ausführbar in Q kommutativ: n assoziativ: n (bn n (na bn nc 0 ist neutrales Element: n 0 n n n n 0 n 2.4. Beispiele 11 31 15 14 52 4 9 40 29 11 67 184 3a 4 5a 6 8 4z 3 xy 7a 15 103b 5t 22rs 2 7x 149y 554 rst 20 18 17 3318 17 5345 17 35 17 79 45 45 28 108 108 74 29 28 108 29 56126 28 182126 28 126 28 37 126 63 18 a20 a 3 24 56 42 xy 14 30 12 42 xy 309b 25 2 110 rst 41 24 2 27 42 xy 27 12 56 42 xy 14 a 9 30 8r 110 rst 25 2 8 2 110 rst Gewöhnliche Brüche 10 3. Multiplikation von Brüchen Wir wollen die Multiplikation von Brüchen mit Hilfe unseres Operatormodells einführen. 3.1. Bruch mal Bruch Beispiel: 3 4 107 ? Wir lösen die Aufgabe zunächst im Modell: 43 107 3 4 10 7 3 7 4 (3 7) 10 (4 10 37 410 Demnach gilt: 7 10 3 4 37 410 Entsprechend muss gelten: Allgemein: ba dc b dc ? a 3 4 107 c b 37 410 d 21 40 a c b (a ) d (b d) ac b Demnach gilt: Ergebnis: ba dc ac b Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. b dc ac bd 3.2. Bruch mal natürliche Zahl Aufgabe: Berechne folgende Produkte: Lösung: a) 7 214 1 7 4 21 3 14 3 4 3 a) 7 214 b) 28 225 25 1 13 Gewöhnliche Brüche 11 b) 28 225 25 28 25 225 1 1 28 25 225 9 28 9 3 19 Natürliche Zahlen werden mit dem Zähler eines Bruches multipliziert. Multiplikation mit Null: 0 34 0 und 3 4 0 0 4 Multiplikation mit 1: 1 56 und 5 6 1 5 6 5 6 0 Andere Ausdrucksweise: Die Rechnung 3 4 3 4 3 4 24 drückt man oft auch so aus: von 24 („von entspricht „mal), also 24 18 3.3. Einige Folgerungen a) Gemischte Zahlen: 4 4 43 1 13 19 34 19 4 43 19 3 6 13 Gemischte Zahlen werden vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt. b) Rechenvorteil des langen Bruchstrichs: 12 25 35 18 2 5 7 3 12 25 35 18 10 21 Kürze, wenn möglich vor dem Multiplizieren! 3.4. Eigenschaften der Multiplikation Die Multiplikation ist unbeschränkt ausführbar in Q kommutativ: c bd assoziativ: d (be cf da be cf distributiv: d (be 1 ist neutrales Element: 1 ba d ac f da be da cf b 1 b Gewöhnliche Brüche 12 4. Division von Brüchen Wir haben die Division als Umkehrung der Multiplikation kennen gelernt. Wir gehen deshalb von einer Multiplikationsaufgabe aus, um die Gesetzmässigkeiten für das Dividieren von Brüchen zu finden. 4.1. Bruch durch Bruch 2 3 4 5 8 15 kurz: 2 3 4 5 8 15 Nun bilden wir aus der Multiplikationsaufgabe die zugehörige Divisionsaufgabe: 8 15 4 5 2 3 kurz: Der Umkehroperator zu heisst 54 8 15 4 5 2 3 4 5 2 3 54 Demnach muss auch gelten 8 15 4 5 2 3 Daraus folgt: 8 15 Du siehst: kurz: 54 8 15 54 2 3 Die Multiplikation mit die Division durch Man sagt: 8 15 5 4 führt zum gleichen Ergebnis wie 4 5 ist der Kehrwert (reziproker Wert) des Bruches 54 5 4 Allgemein: c d ad b b bc Ergebnis: Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. 4.2. Folgerungen: a) 5 6 b 5 c b) 7 5 5 6 5 1 1 5 1 6 5 1 b 1c 1 7 1 15 7 1 1 5 9 14 1 6 14 72 bc 7 5 12 1 25 also: 9 14 14 1 12 1 27 75 3 9 1 14 12 4 2 14 2 1 7 3 56 4 1 7 5 1 25 Gewöhnliche Brüche 13 4.3. Doppelbrüche Bei Quotienten von natürlichen Zahlen kann also das Divisionszeichen durch den Bruchstrich ersetzt werden. Dies wollen wir auch bei Brüchen zulassen. 6 7 9 14 6 9 7 14 gelesen: 6 über 9 durch 7 14 Solche Terme heissen Doppelbrüche Um sie zu vereinfachen, führen wir die durch den Hauptbruchstrich angedeutete Division aus. 6 2 2 7 6 9 6 14 4 9 7 14 7 9 3 1 3 14 1 8 5 52 50 9 2 12 1 27 50 8 5 1 95 12 1 13 1 2 10 3 1 1 27 50 1 2 8 5 195 4 2 1 1 1 3 2 1 12 In bezug auf den Hauptbruchstrich können wir folgende Faustregel aussprechen: Zähler bleiben, Nenner springen 5 8 8 23 12 12 12 1 4 1 1 5 26 12 2 8 3 1 25 2 1 1 Merke: 5 15 26 5 5 Kommen innerhalb von Doppelbrüchen Strichrechnungen, also – ), vor, so sind diese vorerst auszurechnen. 1 5 1 15 2 5 3 15 5 58 2 15 4 12 2 13 1 16 2 38 1 15 2 5 1 8 ) 13 2 16 Beispiele: 2 15 2 5 1 1 3 1 2 5 15 2 5 58 2 15 6 56 5 3 12 13 2 16 3 xy 44 uv 39 wz 18 5b 1 1 2 2 1 1 1 1 45 11 41 12 16 8 5 6 41 45 65uw 33 44 5 8 54 3 1 12 7b 1 8 ac 12a 87acb 4 1 5 3 1 3 18 1 5b 6 24 ab 3 15 2 1 44 v 65 w 39 z 33 3 1 20 u2 9z 2 2 1 5 1 16 a3 b2 15 2 9 y 4 24 b3 3 1 y3 20 a3b 27 cd2 18 3b 10 4 3 1 2 1 ; 57z 38 27 3a 5b 1 3x 6 16 a3b 2 9 xy 4 1 3 2 21b 2c 2 2 1 20 a3 18 3 27 d2 10 a4 3 1 1 3 57 27 1 38 2 4 b2 2 3 ad2 81 yz 2x 2 x 10 9 by 3 Gewöhnliche Brüche 14