Arbeitsblatt: Archimedesmethode zur Kreiszahlberechnung

Archimedes-Methode zur Berechnung der Kreiszahl Name: 1 Was ist die Kreiszahl? Die Kreiszahl ist Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. Dieses Verhältnis ist bei jedem Kreis gleich. Ein Kreis mit doppeltem Durchmesser hat auch den doppelten Umfang. Seit dem 18. Jahrhundert verwenden Mathematiker den griechischen Buchstaben (Pi) für diese Zahl. Angelehnt an das griechische Wort perimetros (Umfang). Pi ist gleich Umfang durch Durchmesser d Was macht die Kreiszahl so interessant? Den genauen Wert der Zahl hat die Mathematiker fast 4‘000 Jahre lang beschäftigt. Die Zahl hat nämlich unendlich viele Nachkommastellen und sie lässt sich nicht nicht durch einen Bruch oder einen Term darstellen. Dies konnte erst 1882 bewiesen werden. Ein Vergleich: Die Zahl 0.3 hat unendlich viele Nachkommastellen (die 3 wiederholt sich ständig, man sagt, die Zahl ist periodisch). Aber sie lässt sich durch einen Bruch darstellen: Periodische Zahl: 0.3 1 3 Die Zahl 1.4142135623730950488016887242097. hat ebenfalls unendlich viele Nachkommastellen, die sich in ihrer Kombination nicht wiederholen (die Zahl ist nicht periodisch, periodisch, man sagt, sie ist irrational), aber sie lässt sich ich durch einen Term darstellen und sie lässt sich auch geometrisch als eine gerade Strecke konstruieren, nämlich als Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1. Irrationale Zahl: 1.4142135623730950488016887242097. 2 Die Kreiszahl reiszahl ist anders. Man kann sie nicht durch einen mathematischen Ausdruck, durch keinen Term beschreiben und man kann sie auch nicht als gerade Strecke konstruieren, nur als Kreis. Es werden nie alle Stellen dieser Zahl bekannt sein, niemand wird sie jemals jemals ganz genau kennen Früher hat man versucht, durch Brüche und Terme die Kreiszahl möglichst genau anzugeben. Die alten Ägypter etwa 16 verwendeten den Term 9 2 AUFGABE 2 16 Berechne: 9 Erst der Grieche Archimedes edes erfand um das Jahr 250 v.u.Z. ein Verfahren, um die Kreiszahl beliebig genau zu berechnen. 2 Grundlage: Pythagoras Um die nachfolgenden folgenden Rechnungen durchführen zu können, musst du dir den Satz des Pythagoras in Erinnerung rufen: Pythagoras fand heraus,, dass bei jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite (Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten (Katheten) ist. Damit lässt sich die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreieckes berechnen, nen, wenn man die ersten beiden Seiten kennt. Pythagoras stellte fest: 2 b2 c 2 AUFGABE: Stelle die Formel so um, dass du jede Seite berechnen kannst: a b c Hinweis: Hinweis: Wenn man eine Zahl im Quadrat hat, aber die Zahl möchte, muss man die Wurzel ziehen 3 Archimedes‘ Idee Das Problem beim Kreis ist, dass sich runde Strecken nicht berechnen lassen. Nur gerade Strecken lassen sich berechnen. Also suchte Archimedes nach einer Möglichkeit, einen Kreis durch gerade Strecken zu ersetzen: eine Annäherung durch regelmässige Vielecke! Ein Sechseck im Kreis Ein Regelmässiges Sechseck lässt sich sehr einfach in einen Kreis einbeschreiben. AUFGABE: Konstruiere einen Kreis, in dem ein regelmässiges Sechseck einbeschrieben ist. 4 Auf dem Bild sieht man ein Sechseck im Kreis. Zwischen einer Seite und Kreismittelpunkt ist zudem ein Dreieck eingezeichnet. Hinweis: bedeutet Radius AUFGABE: 1. Begründe, wieso das Dreieck gleichseitig ist. 2. Zeichne bei dem Dreieck die Winkel ein (Winkelangabe in Grad). 3. Erkläre wieso das Sechseck gleichmässig ist, bzw. wieso es aufgeht. 4. Gib das Verhältnis von Umfang des Sechsecks und Radius des Kreises an. Gib auch das Verhältnis von Umfang des Sechsecks und Durchmesser des Kreises an. 5 Das Sechseck hat also einen Umfang von sechsmal dem Radius oder, anders gesagt, dreimal dem Durchmesser. AUFGABE: Überlege und begründe: Um mit Zahlen rechnen zu können, hat Archimedes einen Radius von 0.5 angenommen. Wieso wohl? AUFGABE: Vervollständige die Tabelle (Das Zwölfeck und das 24-Eck werden auf den folgenden Seiten berechnet. Radius 0.5 Sechseck Zwölfeck 2424-Eck Seitenlänge Umfang Hinweis: Hinweis: Berechne die Seitenlänge und den Umfang möglichst genau (so genau, wie es dein Taschenrechner halt eben schafft). Tipp: Benutze die Speicherfunktion für Zwischenresultate, dann musst du sie nicht immer aufschreiben. 6 Vom Sechseck zum zum Zwölfeck Ein Sechseck in einem Kreis. Na und?! Der Umfang vom Sechseck geteilt durch den Kreisdurchmesser ergibt 3. Das ist noch keine sehr genaue Annäherung an Pi. Das Geniale an Archimedes‘ Methode ist allerdings, dass man die Eckenzahl des Vielecks beliebig oft verdoppeln kann und damit immer genauer an die Zahl Pi heran kommt man kann Pi beliebig genau berechnen. AUFGABE: Konstruiere, ausgehend vom Sechseck, ein Zwölfeck! 7 Hinweis: Im Folgenden werden nicht mehr die ganzen Vielecke eingezeichnet; nur noch noch eine Seite. AUFGABE: 1. 2. 3. 4. Zeichne in der Abbildung oben die Sechseck-Seite Sechseck mit blauer Farbe nach. Zeichne in der Abbildung oben die Zwölfeck-Seite Zwölfeck mit roter Farbe nach. Male das rechtwinklige ige Dreieck, dessen Hypotenuse die Zwölfeckseite ist, hellrot aus. Die Strecken a1 und a2 sind gleich lang. Wieso? Wieso 5. Wie lang ist eine der beiden Strecken a1 und a2? 6. Wie lang sind die Strecken und zusammen? 7. Male das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a1 und hellgrün aus. 8 Jetzt gehts ans Rechnen! Laut Pythagoras gilt für das hellgrüne Dreieck: r2a12p2 AUFGABE: 1. Stelle die Formel nach p2 um. 2 2. Stelle die Formel nach um (Wurzel ziehen). p 3. Berechne (r0.5). p 4. Berechne q. q 5. Schreibe die Formel für die Zwölfeckseite (X) auf. X 6. Berechne X. X 7. Ergänze das Ergebnis in der Tabelle auf Seite 6. 9 Vom Zwölfeck zum 2424-Eck. AUFGABE: 1. 2. 3. 4. Zeichne in der Abbildung oben die Zwölfeck-Seite Zwölfeck Seite mit blauer Farbe nach. Zeichne in der Abbildung oben die 24-Eck-Seite 24 mit roter Farbe nach. Male das rechtwinklige Dreieck, dessen Hypotenuse die 24-Eckseite ckseite ist, hellrot aus. Wie lang sind die beiden Strecken a1 und a2 zusammen? 5. Wie lang ist eine der beiden Strecken a1 und a2? 6. Wie lang sind die Strecken und zusammen? 8. Schreibe die Formel für ür auf. p 9. Berechne und q. p q 10. Schreibe die Formel für die 24-Eckseite 24 (X) auf. X 11. Berechne X. X 12. Ergänze das Ergebnis in der Tabelle auf Seite 6. 10 Geschafft! Archimedes hat die Näherung für Pi bis zum 96-Eck berechnet (ohne Taschenrechner). Wenn du Lust, kannst du natürlich dasselbe tun oder versuchen, seine Leistung noch zu schlagen und bis zum 192-Eck zu gehen. Aber Achtung: Wahrscheinlich brauchst du dazu einen besseren Taschenrechner, weil normale Taschenrechner rasch mit der Genauigkeit an ihre Grenzen kommen (Rundungsfehler)! Eine Möglichkeit ist Microsoft Excel. Damit kannst du Pi bis zum 24‘576-Eck berechnen (damit erhältst du Pi auf zehn Stellen genau). Kurioses Über zwei Billionen Stellen Ein Japanischer Mathematikprofessor hat 2009 die Zahl Pi auf 2‘576‘980‘370‘000 Nachkommastellen berechnet. Dazu hat er zwei unterschiedliche Programme geschrieben, um die Zahlen gegenseitig überprüfen zu können. Ein Supercomputer war mehrere Wochen mit der Berechnung beschäftigt. PiPi-Merker Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 67.890 Nachkommastellen, welche er am 20. November 2005 fehlerfrei in einer Zeit von 24 Stunden und 4 Minuten aufsagte. Er wird sowohl vom Guinness Book of Records als auch von der Pi World Ranking List als Rekordhalter geführt. Auf der Rückseite sind die ersten 4‘000 Nachkommastellen. 11 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862 8034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701 9385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456 4856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925 4091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092 1861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733 6244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766 9405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585 3710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499 9999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118 8171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882 3537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858 6327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557 4857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139 0098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040 4753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243 0035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286 1829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806 6549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614 5249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143 3345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272 3279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848 8626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467 7646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226 2052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625245174939965143142 9809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868 9427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080 5124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635342207222 5828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354 8862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368 6722874894056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312 9784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867 8210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037 4200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061 4680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142 6912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377 8708303906979207734672218256259966150142150306803844773454920260541466592520149744285 0732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736 3840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763 5942187312514712053292819182618612586732157919841484882916447060957527069572209175671 1672291098169091528017350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006 7510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898 5998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654 9859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193 2597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211 2019130203303801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495 7685726243344189303968642624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211 166039 12 Kreisfläche und Kreissektoren Name: 1 Worum geht es? Dank Archimedes können wir aus dem Durchmesser oder dem Radius eines Kreises dessen Umfang berechnen. Das ist gut, wenn man beispielsweise aus dem Durchmesser eines Autoreifens auf den Weg schliessen möchte, den dieser mit einer Umdrehung zurück legt. Oder wenn man wissen möchte, ob das Geschenkpapier ausreicht, um die runde Keksdose zu verpacken. Häufig möchte man allerdings nicht nur den Umfang, sondern auch die Fläche eines Kreises kennen. Wie das funktioniert, werden wir im Folgenden anschauen. Der PizzaPizza-Trick Man stelle sich eine leckere Pizza vor, die in viele kleine Stücke zerlegt wird. Da der geübte Italiener die Pizza immer genau in der Mitte durch geschnitten hat, sind alle Stücke gleich gross und haben die Länge (Radius der Pizza). Ein Stück halbiert der Italiener am Schluss nochmals. Anschliessend reiht er die Stücke an einander, wie die Abbildung unten es zeigt. AUFGABE: Die Pizzastücke geben zusammen ein Rechteck (je kleiner die Stücke sind, desto genauer wird das Rechteck). Finde durch Überlegen heraus, wie lange die Seiten und des Rechtecks sind (im Verhältnis zum Radius). Und wie gross wäre dann die Fläche (A)? a b A . 2 Lösung: (Bitte erst weiter lesen, wenn du die vorangegangene Aufgabe erledigt hast.) Die Seite entspricht dem halben Umfang (die weissen Randstücke ergeben einen halben Kreis, die dunklen Randstücke ergeben auch einen halben Kreis). Wir wissen bereits, dass der Umfang eines Kreises der Durchmesser mal Pi ist. Der Durchmesser ist bekanntlich zweimal so gross wie der Radius. Man könnte also sagen, der Umfang eines Kreises ist zweimal der Radius mal Pi: 2 Der halbe Umfang ist somit Radius mal Pi: 2 Die Seite vom Rechteck ist also der Radius mal Pi. Die Seite ist genau der Radius. Daraus folgt folgende Formel für die Fläche: r 2 AUFGABE: Eine Pizza für zwei Personen habe einen Durchmesser von 40cm. Berechne: Umfang . Radius . Fläche . Glückwunsch! Glückwunsch! Wenn du das bis hierhin verstanden hast, dann weisst du bereits das wichtigste: Du weisst, wie man die Fläche eines Kreises berechnet: Radius im Quadrat mal Pi. 3 Kreissektoren Mathematiker nennen Pizzastücke nicht Pizzastücke, sondern Kreissektoren. Ein Kreissektor ist ein Stück eines Kreises von der Kreismitte bis zum Rand, eben halt wie ein Pizzastück oder ein Kuchenstück. AUFGABE: Überlege dir, wie man die Grösse eines Pizzastücks im Verhältnis zur ganzen Pizza angeben könne? Klar, wenn man eine Pizza in acht Teile schneidet, schneidet, ist jedes Stück ein Achtel. Aber wie würdest du die Grösse angeben, wenn nur ein einzelnes Stück herausgeschnitten wird? Wie würdest du die Fläche des Stückes berechnen? (Bitte wieder erst überlegen, dann weiter lesen) Lösung Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Entweder man misst die Länge des Randes und setzt ihn ins Verhältnis zum Umfang der Pizza. Oder man misst den Winkel des Pizzastücks und setzt ihn ins Verhältnis zu den 360 der ganzen Pizza. AUFGABEN: AUFGABEN: Eine Pizza habe einenn Durchmesser von 30.56cm. Berechne: Umfang . Radius . Fläche . Ein Stück der oben genannten Pizza hat einen 16cm langen Rand. Berechne: Berechne Verhältnis des Randes zum Umfang Fläche des Stücks . Ein Stück der oben genannten Pizza hat einen Winkel von 72. 72 Berechne: Verhältnis des Winkels zu 360 . Fläche des Stücks . 4 Repetition Übungen zum Kreis Name: 1 Grundbegriffe: Beim Kreis: Zeichen Bedeutung Bemerkung Mittelpunkt Radius halber Durchmesser Umfang Durchmesser mal Durchmesser (beim Kreis) Diagonale (beim Rechteck) doppelter Radius Umfang durch Zahl Pi (3.141592) Umfang geteilt durch Durchmesser Kreisfläche, Fläche allgemein. Von lat. Area (Fläche). Grosse lateinische Buchstaben können auch Punkte bezeichnen. Formelzeichen sind meistens kursiv gedruckt, Punkte meistens nicht kursiv. Radius im Quadrat mal Pi. Kreissektor Ein Kreissektor ist ein Kreisausschnitt. Wie ein Pizzastück von oben betrachtet. Es hat einen Winkel ( oder bezeichnet) und eine Bogenl Bogenlänge b. (Alpha oder Phi), Winkel. Z.B. Winkel eines Kreissektors Ein ganzer Kreis hat immer 360 Grad. Bogenlänge Länge des Bogens eines Kreissektors (wie der Rand einer Pizza). oder Beim rechtwinkligen Dreieck Zeichen A, B, a, b, c a, , , Bedeutung Bemerkung Eckpunkte Werden im Gegenuhrzeigersinn beschriftet. Seiten Die Seiten liegen beim Dreieck den Ecken gegenüber. Hypotenuse Beim rechtwinkligen Dreieck wird die längste Seite (Hypotenuse,, liegt immer gegenüber dem rechten Winkel) mit bezeichnet. Katheten die kürzeren Seiten des Dreiecks. (Alpha, Beta, Gamma) Innenwinkel des Dreiecks Alle Winkel zusammen ergeben beim Dreieck immer 180 Grad. Fläche des Dreiecks Von lat. Area (Fläche). Grundseite mal Höhe durch zwei 2 Kreis und Kreismittelpunkt Was ist ein Kreis? Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die zu einem vorgegeben Mittelpunkt denselben Abstand haben. Den Kreismittelpunkt konstruieren Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Kreismittelpunkt zu konstruieren. 1. Möglichkeit: a. Zwei Geraden zeichnen, die den Kreis schneiden. • Siehe Abbildung: die eine Gerade schneidet den Kreis an den Punkten und B, die andere an und b. Zirkel bei Punkt einstechen, einen Bogen zeichnen, der über die Mitte der Strecke AB hinaus reicht, den Zirkel unverändert bei einstechen und dasselbe wiederholen. Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Bögen ziehen werden die • Dadurch sogenannten Mittelsenkrechten Konstruiert. Kons Eine Mittelsenkrechte geht durch die Mitte einer Strecke uns steht im rechten Winkel auf ihr. c. Dasselbe bei den Punkten und machen. Die dort, wo sich die beiden Mittelsenkrechten schneiden, liegt der Mittelpunkt des Kreises. 2. Möglichkeit: a. Nur eine ine Gerade und eine Mittelsenkrechte konstruieren. • Also z.B. nur die Mittelsenkrechte der Strecke AB in der Abbildung oben konstruieren. b. Die Mittelsenkrechte so einzeichnen, dass sie durch den ganzen Kreis geht, der Kreis wird halbiert. c. Die Mittelsenkrechtee halbieren. • Dort wo die Mittelsenkrechte den Kreis schneidet, den Zirkel einstechen, Bogen machen der über die Mitte hinaus reicht, dasselbe auf der anderen Seite das ist wieder dasselbe, wie die Konstruktion der Mittelsenkrechten, bloss dass diesmal der de rechte Winkel nicht von Bedeutung ist sondern nur die Mitte. Hinweis: Die erste Möglichkeit funktioniert auch mit nur drei Punkten statt mit vier. Die Punkte und können ja derselbe sein. 3 Kreisberechnungen Durchmesser: Formeln: Rechenbeispiel: Rechenbeispiel: 2 Gegeben: Radius: 1cm Durchmesser: 2·1cm 2cm Umfang: 2 Gegeben: Radius: 1cm Umfang: 2·1cm · 6.283cm Fläche: Ar 2 r 2 Gegeben: Radius: 1cm Fläche: 1cm · 1cm · 3.142cm2 Kreissektor: AS Fläche des Sektors AK Fläche des Kreises Bogenlänge des Sektors Winkel des Sektors AS AK U AK 360 Gegeben: Fläche Kreis: 240cm2 Winkel Sektor: 30 Fläche Sektor: 240cm2 · 30/360 20cm Hinweis: Die Herleitung der Formeln, wieso das so ist, findest du in den Unterlagen Archimedesmethode und Kreisfläche. Einige Rechenregeln Allgemein: Allgemein: Rechenbeispiel: Punkt vor Strich (b ) 6 2 5 6 (2 5) 16 Bruchstrich : (b c Potenzgesetz a2 5 5 52 25 a3 2 2 2 23 8 Quadratwurzel bc 14 (5 2) 14 2 52 a2 a 52 25 5 b a 4 25 100 10 4 25 2 5 10 ab 4 25 29 5.385. 4 25 2 5 7 4 Übungen zum Kreis Hinweis: Wenn nicht anders angegeben, löse die Aufgaben ins Übungsheft. Wenn nicht anders angegeben, müssen die Aufgaben zu Kreiskonstruktionen mit dem Zirkel gelöst werden (nicht abmessen!). Kreiskonstruktionen 1. Erkläre, wieso sich mit einem Zirkel ein Kreis konstruieren lässt. Benutze dazu die Definition des Kreises. 2. Zeichne eine Strecke und halbiere sie. 3. Zeichne eine Strecke und konstruiere die Mittelsenkrechte. 4. Konstruieren einen Kreis und konstruiere anschliessend dessen Mittelpunkt. 5. Zeichne drei Punkte ins Heft. Konstruiere einen Kreis, der diese drei Punkte beinhaltet (die Punkte müssen sich auf der Kreislinie befinden). Kreisberechnungen 1. 2. 3. 4. 5. 6. Radius 5cm. Durchmesser ? Radius 5cm. Umfang ? Radius 5cm. Fläche ? Durchmesser 20m. Fläche ? Umfang 20m. Radius ? Fläche 20m2. Radius ? 7. 8. 9. 10. 11. 12. Fläche Kreis 72m2. Winkel Kreissektor 45. Fläche Kreissektor ? Fläche Kreis 72m2. Fläche Kreissektor 6m2. Winkel Kreissektor ? Radius 5cm. Winkel Kreissektor 20. Fläche Kreissektor ? Umfang 20m. Winkel Kreissektor 40. Fläche Kreissektor ? Umfang 20m. Bogenlänge Kreissektor 5m. Winkel Kreissektor ? Umfang 20m. Bogenlänge Kreissektor 5m. Fläche Kreissektor ? 13. Umfang 20m. Fläche Kreissektor 5m2. Winkel Kreissektor ? 14. Ein Autorreifen dreht sich 12 mal in der Sekunde und hat einen Durchmesser von 59cm. Wie schnell fährt das Auto? 5 Pythagoras Der Beweis von Pythagoras: Die vier rechtwinkligen Dreiecke im grossen Quadrat lassen sich sich verschieden anordnen: Entweder dass es in der Mitte ein schräg liegendes Quadrat gibt, oder dass es zwei kleinere Quadrate gibt. Das schräg liegende Quadrat muss somit dieselbe Fläche haben, wie die zwei kleineren. Das schräg liegende Quadrat hat die Seitenlänge eitenlänge c. Das mittlere Quadrat hat die Seitenlänge a, das ganz kleine die Seitenlänge b. Somit ist bewiesen dass c2a2b2. b Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck: Dreieck: Seiten: Formeln: Rechenbeispiel: c2 a2 b2 Gegeben: a3, b4 2 c2 b2 32 42 9 16 25 5 b2 c 2 2 Gegeben: c5, b4 b 52 42 25 16 9 3 2 2 2 b2 c2 a2 Gegeben: c5, a3 52 32 25 9 16 4 6 Übungen Pythagoras Hinweis: Wenn nicht anders angegeben, löse die Aufgaben ins Übungsheft. Wenn nicht anders angegeben, ist die Seite immer die Hypotenuse (Aufgabe 1-4). 1. 2. 3. 4. Erkläre mit eigenen Worten, was der Satz von Pythagoras aussagt. a9cm, b12cm, c? c10cm, a8cm, b? c20cm, b12cm, a? Hinweis: Die folgenden Berechnungen beziehen sich auf die Abbildung unten. r20. r20 5. 6. 7. 8. 9. 10. Welches ist beim Dreieck mit den Seiten a1, p, die Hypotenuse? Wie lang sind die Seiten a1 und a2? a2 Berechne p. Wie ie lange sind und zusammen? zusammen Berechne q. Berechne x. 7 8