Arbeitsblatt: Vektorrechnung im Raum

VEKTORRECHNUNG IM RAUM (R) I. EINFÜHRUNG • • • • • • • Im R rechnet man wie in R2, nur mit 3 Koordinaten (Zahlentripel) Vektor-Koordinaten: A(2/4/-1), B(3/1/2) (1 3 3) Die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einer Zahl erfolgen koordinatenweise (für x, y, z). A x yA yB zA zB / Halbierungspunkt der Strecke AB: A(xA/yA/zA), B(xB/yB/zB): HAB 2 2 2 2 Betrag des Vektors (u1/u2/u3) 1 2 u 2 2 u 3 2 • Zwei Vektoren und sind parallel, wenn es eine Zahl gibt, für die gilt: k Ein Vektor heißt Linearkombination der Vektoren und , wenn es solche Zahlen a, R gibt, dass gilt: a b (lineare Kombination kann man auch aus mehreren Vektoren bilden) Das Skalarprodukt zweier Vektoren: bx a yby a zbz • Zwei Vektoren und stehen aufeinander normal, wenn 0 ist • Winkel zwischen zwei Vektoren: • Im R gibt es außer dem Skalarprodukt noch das vektorielle Produkt (Kreuzprodukt) (a kreuz b). Das Ergebnis von ist ein Vektor, der auf beide Vektoren und normal steht. b cos b Das Vektorprodukt von (xa/ya/za) und (xb/yb/zb) berechnet man: xa xb zba yba ya yb (x zba xba ) z z xy yx a b ba ba Beispiele: 1. Ermittle a/ den Betrag des Vektors: (3/-4/1); b/ die Länge der Strecke AB: A(-3/1/2), B(2/-5/32) 2. Bestimme so, dass gilt AB d A( 2m 2 2 1), B( 2 m 5 1), 2 26 3. Gegeben sind die Punkte A,S. Berechne so, dass die Strecke AB halbiert: a/ A( 3 4 1), S( 0 2 3) 2 2 1 3 4. Entscheide, ob , parallel sind: a/ 2 , 6 2 b/ 3 4 6 , 1 / 2 3 3 2 2 5. Bestimme die Koordinaten von , so, dass die Vektoren parallel sind: u 1 2 6 , (1 v 2 2 6. Entscheide, ob eine Linearkombination von und ist: a/ ( 2 4 6 ), (1 3 2 ), ( 2 1 1) b/ ( 2 1 1), (3 1 3), (1 1 2) c/ (5 2 5), ( 2 2 3), ( 1 2 1) 7. Berechne das Skalarprodukt der Vektoren: a/ (-1/3/-2), (3/2/5); b/ (2/4/-3), (-2/4/1) 8. Welchen Winkel schließen die Vektoren ein? a/ (4/2/6), (-2/3/-5); b/ (-1/-2/4), (-2/1/4) 9. Berechne das Vektorprodukt der Vektoren: a/ (-2/5/1), (6/2/-2); b/ (2/-3/2), (3/-4/1) 10. Berechne das Vektorprodukt der Vektoren , , wenn: AB v AC A( 3 4 6 ), B( 5 3 7 ), C( 0 8 4 11. Berechne die Längen der Seiten und die Winkel des Dreiecks ABC: A( 1 3 0 ), B( 1 2 5), C( 6 2 5) Lösungen: 1. a/ 26 2 3 2 6 , 1 2 3 nein; c/ ja, 2u AB 5 b/ 31; 2. m15, m2-3; 3. B(-3/8/-5); 4. a/ ja, b/ nein; 5. 2 6. a/ ja, 2u 2 b/ 7. a/ -7, b/ 9; 8. a/ 133,92; b/ 40,37; 9. a/ -12/2/-34); b/ (5/4/1); 10. (-2/-1/-5); 11. AC 5 3 BC 5 3516; 90, 5444; II. GERADEN IM RAUM • • • Geradengleichungen kann man im R nur in der Parameterform (d.h. durch einen Punkt und einen Richtungsvektor – alles mit 3 Koordinaten) angeben!!! Lage von zwei Geraden im Raum: g: XAt· , h: XBs· . Die Geraden können sich schneiden, parallel oder windschief sein. Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, sind die Geraden identisch oder parallel. (Ah?) Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setzt man die beiden Geradengleichungen (koordinatenweise) gleich 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten aus 2 Gleichungen und berechnen wenn und auch Lösungen der dritten Gleichung sind, schneiden die Geraden einander (Schnittpunkt berechnen) falls und die dritte Gleichung nicht erfüllen, sind die Geraden windschief. im R3 kann man nicht zu einer Geraden eine normale Gerade aufstellen (nur eine Normalebene!) Beispiele: Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden und und berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt! a/ g: (2/4/5) s·(3/1/2), h: (6/10/12) t·(-2/4/3); b/ g: (3/-2/0) s·(2/1/-1), h: (9/1/-3) t·(4/2/-2); c/ g: (-2/1/4) s·(-4/-2/3), h: (6/5/-2) t·(-2/3/2); d/ g[A(3/5/7), B(8/5/2)], h[C(1/-1/4), D(3/2/1)]; e/ g[A(6/1/9), B(8/0/4)], h[C(3/2/7), D(5/1/2)] Buch Mathematik 6 (grün): 409 Lösungen: a/ S(8/6/9); b/ gh; c/ S(6/5/-2); d/ und windschief; e/ g//h; III. EBENEN IM RAUM I. Parameterdarstellung eine Ebene: Eine Ebene im Raum ist durch einen Punkt und 2 verschiedene Richtungsvektoren und (Parameter s, t) bestimmt (die Vektoren dürfen nicht parallel sein): : Ps· t· ! Die Parameterdarstellung ist nicht eindeutig, es gibt unendlich viele verschiedene Darstelllungen einer Ebene II. Allgemeine Ebenengleichung: Ist von einer Ebene ein Punkt und ein Normalvektor bekannt, so erhält man die Gleichung der Ebene in Normalvektorform: ax by cz d 0 (Die Koeffizienten a, und stellen auch hier die Koordinaten des Normalvektors dar, d.h. den Richtungsvektor einer Geraden die normal auf die Ebene steht!). Die allgemeine Ebenengleichung erhält man: a/ wenn man die Parameterdarstellung parameterfrei macht b/ wenn man das Vektorprodukt von den Richtungsvektoren und bestimmt, ihn in die allgemeine Ebenengleichung einsetzt und dann durch Einsetzen eines Punktes der Ebene das berechnet. Beispiele: Buch Mathematik 6 (grün): 399- 405, 411-415 IV. LAGE- UND SCHNITTAUFGABEN IM R I. Gerade und Ebene: • Ein Schnittpunkt • Kein (Ebene und Gerade parallel) • Unendlich viele (die Gerade liegt in der Ebene). Rechnerisch: Geradengleichung (x, y, z) in die Ebenengleichung einsetzen Lösung II. Zwei Ebenen: • Eine Schnittgerade • zwei parallele Ebenen • zwei identische Ebenen Wenn die Normalvektoren parallel sind, sind die Ebenen identisch oder parallel (rechte Seiten gleich?). Der Richtungsvektor der Schnittgeraden ist das vektorielle Produkt der beiden Normalvektoren. Einen Punkt kann man durch Probieren finden, z.B. indem man 0 setzt. III. Drei Ebenen: mehrere mögliche Lagen, der „Hauptfall ein gemeinsamer Schnittpunkt der drei Ebenen: rechnerisch: System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten Beispiele: Buch Mathematik 6 (grün): 423-424 (GE), 432-433 (GxE), 439-440 (2 Ebenen), 454-456 (3 Ebenen) V. ABSTANDSBERECHNUNGEN IM R 1. Abstand eines Punktes von einer Geraden Lösungsweg: als Abstand PS des Punktes vom Durchstoßpunkt der Normalebenen (zu durch P) mit g. 2. Abstand eines Punktes von einer Ebene Lösungsweg: als Abstand PS des Punktes vom Durchstoßpunkt der Normalgeraden (zu durch P) mit ax by cz 0) (oder: mit Hessescher Abstandsformel (P(xp/yp/zp), : axbyczd0): 2 b2 c2 Beispiele: 1. Ermittle die Gleichung der Ebene durch den Punkt P, die auf die Gerade normal steht, den Schnittpunkt dieser Ebene mit und den Abstand des Punktes von der Geraden g: a/ P(10/9/5); g: (6/-2/8) t (-2/5/-6); b/ P(4/5/10), g: (1/1/-2) t·(4/0/-1); c/ P(1/3/7), g: (-1/9/-1) t·(3/-2/2); d/ P(2/5/3), g: (8/0/-4) t·(2/2/5); e/ P(-1/2/-3), g[(A(-2/0/7), B(0/4/5)]; 2. Ermittle die Gleichung der Geraden durch den Punkt P, die auf die Ebene normal steht, den Schnittpunkt dieser Geraden mit und den Abstand des Punktes von der Ebene. a/ P(-5/5/3), : 7x 4y 4z – 14 0 b/ P(9/5/2), : 4x 3y 1; c/ P(4/7/1), : 2x y 2z 4; d/ P(0/4/3), [A(0/0/5), B(1/-1/0), C(3/1/2)]; e/ P(7/2/1), : (-1/0/0) u·(2/2/1) v·(1/3/-1) Lösungen: 1. a/ -2x5y-6z-5; S(4/3/2); PS9; b/ : 4x- z6; S(1/1/-2); PS 13; c/ : 3x-2y2z11; S(5/5/3); PS6; d/ :2x2y5z29; S(10/2/1); PS8,77; e/ : x2y-z6; S(0,5/5/4,5); PS8,22; 2. a/ g: X(-5/5/3)t (7/-4/-4); S(2/1/-1); PS 9; b/ g: (9/5/2) t·(4/3/0); S(1/-1/2); PS 10; c/ g: (4/7/1) t·(2/1/-2); S(2/6/3); PS 3; d/ g: (0/4/3) t·(2/-3/1); S(2/1/4); PS 3,74; e/ g: (7/2/1) t·(5/-3/-4); S(4/3,8/3,4); PS 4,24; VI. WINKELBERECHNUNGEN IM R 1. Winkel zwischen 2 Geraden: (g,h) ,h cos h h 2. Winkel zwischen Gerade und Ebene 90-, Hilfswinkel g,n cos 3. Winkel zwischen 2 Ebenen: ( 1, 2) 1 ,n 2 cos e g n g 1 n 2 n1 n2 Beispiele: 1. Ermittle den Schnittwinkel der Geraden: a/ g: (2/4/5) s·(3/1/2), h: (6/10/12) t·(-2/4/3); b/ g: (-2/1/4) s·(-4/-2/3), h: (6/5/-2) t·(-2/3/2); c/ g[A(-4/-7/3), B(-2/-5/4)], h[C(0/0/8), D(4/-2/4)]; 2. Berechne den Schnittwinkel der Gerade mit der Ebene : a/ g: (3/7/-7) t·(-2/-3/6), : 2x 3y z 0; b/ g: (8/-1/-4) t·(0/2/-3), : 5x 3y 11z 3; c/ g[A(6/5/-4), B(0/2/5)], : 2x y 12; d/ g: (1/1/-5) t·(-1/1/3), [A(4/4/3), B(-3/5/7), C(6/2/1)]; 3. Welchen Winkel schließen die Ebenen miteinander ein? a/ 1: 3x y 2z 8, 2: 2x 4y z 10; b/ 1: 5x 3z 1, 2: - 2y 4z 7; c/ 1: 2x y z 2, 2[A(0/1/1), B(2/4/1), C(-2/3/-1)]; d/ 1: s·(2/2/1) t·(7/4/3), 2: u·(2/2/1) v·(-4/3/-2); Lösungen: 1. a/ 78,55; b/ 68,88; c/ 90; 2. a/ 24,83; b/ 60,32; c/ 36,70; d/ 29,50; 3. a/ 76,51; b/ 50,49; c/ 86,20; d/ 12,09;