Arbeitsblatt: Potenzregeln

SelbstlernSelbstlern- und Übungsprogramm Potenzen mit gebrochenen Exponenten Das Wichtigste bei diesen Arbeitsunterlagen ist das genaue Lesen und Ausführen der Arbeitsanweisungen!!!!! I. Wiederholung Am Anfang wiederholen wir kurz das, was du bereits weißt (-oder wissen solltest!!!!, Lehrer könne sich ja solche Bemerkungen nie verkneifen!!). Diesen Teil kannst du überspringen, wenn du dich fit genug fühlst I.1. Potenzgesetz P1 (gleiche Basis, verschiedene Exponenten): Kurzform: am•an am n Beispiel: 34•32 34 2 36 am am – Kurzform: a 34 Du hast mittlerweile außerdem gelernt, dass dieses Potenzgesetz auch gilt für: 1) nm Beispiele: 32•34 32 4 36 2) 32 4 3 32 4 3-2 oder/und negativ Beispiele: a) 3-2•34 3-2 4 32 b) 3-2•3-4 3-2 -4 3-6 c) 32•3-4 32 4 3-2 32 4 3 32 3 4 32 3 4 3-2 4 3-6 3-2 – (- 4) 3-2 4 32 32 – (- 4) 32 4 36 1 Die Fälle 1) und 2a) – 2c) sind kein Problem mehr, weil du ja weißt, was ein negativer Exponent bedeutet: Festlegungen: 1 a-1 ; a-n 1 an 1 3 Beispiele: 3-1 Beispiele: 30 1; 3-4 1 34 außerdem: a0 1; a1 a 31 3 I.2. Potenzgesetz P2 (verschiedene Basen, gleiche Exponenten): Kurzform: an•bn (a•b)n Beispiel: 34•44 124 Kurzform: an bn a b Beispiel: 34 44 3 4 4 I.3. Potenzgesetz P3 (Potenzieren von Potenzen): Kurzform: (am)n am•n Beispiel: Kurzform: n m b (34)2 38 2 Beispiel: 8 3 4 3 4 4 I.4. Anhand der folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du die Potenzgesetze P1 bis P3 beherrscht Lösungen nächste Seite): d) 4 6 5 c) 3 2 a) 3 4 35 3 2 b) 12 3 12 5 12 2 e) 3 5 2 7 g) m 2 3m 4 2 3 h) x35 f) p 1 3 4 5 8 1213 2m i) 5mn k) z5k3m l) m) 12 5 k3 6m k 3 24 3 p) 8 2 3 2 n) 3m o) 2 q) 3 z 8 1 k 1 r) u) (-3)-2 s) (3) 4 ) 4 t) 1 3 1 v) ) 3 2 z) (y2a)b 3 w) ) 2 4 ) (xa3)b x) 2 2 x ) (m6n5)8 y) (4)4 ) (6 6 8 4 (3a 5 2 4 2 Lösungen: a) 311 b) 1210 c) x6 d) p5q11 e) k8m9 f) z9p-5 g) x6m1 h) x3 x5 i) 5m 5n k) z5k z3m l) 128 m) k2m-3 n) y3m o) zx p) 24 576 r) (yz)k s) (-1)4 1 x 1 t) v) 2 8 w) 16 9 x y x) 2 z) y2ab ) xab3b ) m48n40 2 q) 3 27 1 1 u) (3) 9 y) 48 ) 16a4b24 3 II. Potenzen mit gebrochenen Exponenten: II.1. Alles fing mit der Potenzschreibweise als abgekürzte Schreibweise für eine Multiplikation an: 3•3•3•3 34 Und das nur, weil Mathematiker bekanntlich zu den schreibfaulsten Menschen gehören und mal wieder keine Lust hatten so eine lange Aufgabe zu schreiben. Mathematiker sind aber außerdem nie zufrieden mit dem was sie bereits haben, wissen oder können. Nachdem sie festgelegt hatten, wie der Potenzwert bei einem positiven Exponenten zu berechnen ist, haben sie sich – wie du ja weißt gefragt: Was könnten denn Potenzen mit negativen ganzen Exponenten sein 1 4-3 3 4 Prima! Aber nicht genug, es gibt ja außer den ganzen Zahlen auch noch Brüche! Daher haben sie sich gefragt: II.2. Was könnten den Potenzen mit Brüchen als Exponenten sein? 1 2 3 z.B.: ? Eine interessaante Frage (vielleicht nicht für dich, aber du mußt dich trotzdem damit befassen – tut mir leid!) Dazu haben sich kluge Köpfe Folgendes überlegt: Auch wenn der Exponent ein Bruch ist, sollen alle Rechenregeln und Rechengesetze, insbesondere P1 – P3 gelten. Also kann man doch 1 2 3 auch mit sich selber multiplizieren: 1 2 3 1 2 •3 1 1 2 3 2 31 (nach P1) 1 Seltsam! Das heißt doch, 32 mit sich selber multipliziert ergibt 3!!!!!!!!!!! 2 Oder anders ausgedrückt: 1 1 2 32 32 31 Frage also an dich: Welche Zahl quadriert ergibt 3 4 Überlege erst selber, bevor du weiterblätterst!!!!!! Na? Bist du drauf gekommen? (Aber bitte ehrlich!) Natürlich muss es 3 sein. Denn: 3 • 3 3 3 9 3 Das aber heißt doch: 1 32 3 Brüche Brüche als Exponenten haben also „irgendetwas mit Wurzeln zu tun. Schauen wir weiter, was ist mit: 1 3 2 ? Stellen wir ähnliche Überlegungen wie bei II.2. an: 1 3 2 1 3 2 oder • • 1 3 2 1 3 2 • • 1 3 2 1 3 2 1 1 1 3 3 3 2 21 3 1 1 3 23 23 21 Die Frage ist also, welche Zahl potenziert mit 3 ergibt 2 Die Antwort dürfte jetzt nicht mehr schwer sein. Es ist natürlich 3 2 Denn: 3 2 • 3 2 • 3 2 3 3 2 2 2 2 3 8 2 Das aber heißt doch das: 1 23 Was ist dann wohl 1 5 4 3 5 1 6 5 4 8 1 3 7 2 1 8 9 5 1 2 6 7 bzw. 5 Lösungen auf der nächsten Seite! Lösungen: 1 5 4 3 5 5 4 1 3 5 1 6 5 4 8 6 5 1 4 8 1 3 7 3 2 1 8 9 7 1 2 2 5 8 9 1 5 6 6 1 2 7 b 1 7 Allgemein ist folgende Erweiterung des Potenzbegriffs also sehr sinnvoll: 1 II.3. 1 an Kurzform: 34 Beispiel: 4 3 Kaum sind wir zu einem „Ende gekommen, beginnt die alte Leier – Mathematiker sind ja nie zufrieden – wieder. Denn was ist mit: 2 3 4 ? Wenden wir auf diese Fragestellung mal an, was wir bereits wissen und können! 2 3 4 2• 4 ) 1 3 42 1 3 3 42 oder umgekehrt, was wird bei Anwendung aller Gesetze und Festlegungen aus: 5 ) 4 6 6 4 1 5 4• 6 1 5 4 5 6 Allgemein ist folgende Erweiterung des Potenzbegriffs also sehr sinnvoll: an Kurzform: 3 34 Beispiel: 4 33 Das heißt also: Nenner des Bruches ergibt den Wurzelexponenten, der Zähler den Exponenten des Radikanden. Der Achtung !!!! Dabei kann der Bruch natürlich auch negativ sein !!! Beispiel: III. n 1 5 3 5 1 5 53 Was jetzt noch fehlt sind Übungen Bearbeite Seite (eingeführtes Schulbuch) 6 7