Arbeitsblatt: Logarithmus zur Basis 10

Einführung des Logarithmus zur Basis 10 (Annahme: Die Schüler sind vertraut mit dem Rechnen mit Potenzen) 1. Wir suchen eine Zahl, nennen wir sie y, die wenn wir 10 hoch diese Zahl rechnen, sie 100 ergibt. In Formeln: a) 10 100 Berechne y. 2. Berechne auch für folgende Ausdrücke. a) 10 1000 b) 10 10 3. Und ebenfalls für folgende Ausdrücke. 1 1 a) 10 b) 10 10 100 c) 10 1 c) 10 1 1000 4. Ganz allgemein können wir suchen für irgend eine Zahl x: 10 1 1 1 Für , ,1,10,100,1000} hast Du das bereits gemacht. Zeichne die Paare 1000 100 10 (x,y), die Du in 1a), 2b), 2c), 3a) und 3b) berechnet hast in die Grafik unten ein. Wähle dazu die Achsen geeignet und verbinde die Punkte. 0 Diese Zahl y, die wenn man 10 rechnet ergibt, hat einen Namen: Logarithmus von x: 10 y: log(x) In der Grafik in 4. hast Du also den log(x) skizziert und Du hast den log(x) auch bereits 1 1 1 für , ,1,10,100,1000} berechnet in den Aufgaben 1-3. 1000 100 10 5. Schreibe in Worten auf, wieso der Logarithmus nur für positive definiert ist. Überlege Dir dazu zum Beispiel, wie ein aussehen würde, welches die Gleichung: 10 1 erfüllt. 6. Nun wirst Du selbst ein paar Rechenregeln für den Logarithmus herleiten. Erinnere Dich an die Rechenregeln für Potenzen. Aus diesen ergeben sich ganz einfach Regeln für den Logarithmus. Diejenige Potenzregel, welche wir hier verwenden ist die folgende: r s u s Es gilt: 10 1 a 10 y2 b log(a y1 log(b) y 2 Berechne log(a b) indem Du die beiden Ausdrücke auf der linken Seite von (1) miteinander multiplizierst und das obige Potenzgesetz verwendest. log( b) K (1) 7. Verallgemeinere das Resultat von 6: Zeige mit ähnlichem Vorgehen wie oben, dass: log(a c) K 8. Was ist nun: log(a 3 Tipp: Benutze 7. 9. Berechne mit analogen Überlegungen wie in 8 den folgenden Ausdruck für positive k: log(a ) K 10. Berechne den folgenden Ausdruck: 1 log K a Tipp: Du weißt ja bereits, was log(a b) ist. Ersetze nun durch 1 und erinnere Dich, was log(1) ist. 11. Benutze 10. um zu zeigen, dass die Gleichung, welche Du in 9 für positive hergeleitet hast auch für negative gilt. 12. Was ist: a log K b Bravo! Wenn Du bis hierhin gekommen bist und alle Aufgaben gelöst hast, dann weißt Du jetzt, was der logarithmus ist und Du hast die wichtigsten Rechenregeln kennengelernt.