Arbeitsblatt: Exponentialfunktionen

Material-Details

Exponentialfunktionen
Mathematik
Höhere Mathematik (Gymnasialstufe)
7. Schuljahr
8 Seiten

Statistik

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1496
6
24.10.2010

Autor/in

hans meier
Land: Schweiz
Registriert vor 2006

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Textauszüge aus dem Inhalt:

Mathematik Funktionen Zuordnungen -288- Exponentialfunktionen Aufgabe: Eine Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 800 m2 groß. Jede Woche schaffen die Bagger 550 m2 neue Fläche dazu. Eine Blume vermehrt auf dieser Fläche exponentiell. Zu Beginn ist die Fläche zu 80 m2 mit Blumen bedeckt. Jede Woche verdoppelt sich die mit Blumen bedeckte Fläche. Nach wie vielen Wochen hat die Blume die Fläche bedeckt? Lösung: Vorgehensweise: 1. Zuerst stellt man zu beiden Aussagen zwei Funktionen auf. 2. Danach stellt man Wertetabellen auf. 3. Nun setzt man die Funktionen gleich und berechnet den Schnittpunkt. 1. a) f(x)550x800 b) f(x)80 • 2x 2. a) b) 2 Fläche (m2) 800 Zeit (Wochen) 0 1 1350 1 160 2 1900 2 320 3 2450 3 640 4 3000 4 1280 5 3550 5 2560 6 4100 6 (5120) vorhandene Fläche: 4100 Zeit (Wochen) 0 Fläche (m Mathematik Funktionen Zuordnungen 80 -289- Lineares und exponentielles Wachstum 3. 550x80080*2x Dies rechnet man mit dem Taschenrechner aus. (Schnittpunkt der beiden Funktionen im grafischen Taschenrechner) x5,46 y3532 Nach etwa 5,46 Wochen hat die Blume die Fläche komplett bedeckt. Lineares Wachstum: Bei a) findet ein lineares Wachstum mit einer Wachstumsrate statt. Immer werden 550 addiert. a) Zeit Fläche (m2) (Wochen) 0 800 550 1 1350 550 2 1900 550 3 2450 550 4 3000 550 5 3550 550 6 4100 550 Exponentielles Wachstum: Bei b) findet ein exponentielles Wachstum mit einem Wachstumsfaktor statt. Die y-Werte werden pro x-Einheit mit einem bestimmten Faktor multipliziert. Zeit (Wochen) Fläche (m2) 0 1 2 80 80*2160 160*2320 f(n-1)*2 Mathematik Funktionen Zuordnungen -290- Aufgaben: 1. Bestimme, ob ein lineares oder exponentielles Wachstum vorliegt. a) 0 1 2 3 4 2 5 8 11 14 b) 0 1 2 3 4 16 64 256 c) 0 1 2 3 0,02 0,004 0,000 8 0,00001 6 0 1 2 3 4 4 7 5 12 21 d) 2. Beschreibe die Form des Wachstums. Stelle für die zugehörige Funktion eine Wertetabelle auf. Zeichne den Graphen. a) Monique bekommt monatlich 30 € Taschengeld. Jedes Jahr soll es um 5 € erhöht werden. b) Karina verdient als Tischlerin 10 € in der Stunde. Jedes Jahr soll der Stundenlohn um 6% steigen. c) Eine 10 cm hohe Kerze wird angezündet. Jede Minute brenn sie um 2 mm herunter. d) Ein Computer kostet 2000 €. Jedes Jahr verliert er die Hälfte seines Wertes. e) Eine Hefekultur mit 5 Hefe verdreifacht stündlich ihre Masse. f) Ein Öltank enthält 800 Öl. In den Tank werden je Minute 200 Öl gepumpt. Mathematik Funktionen Zuordnungen -291- 3. Ein Kapital von 150 € wird mit 4% verzinst. Berechne wie viel Geld man nach 4 Jahren hat. Stelle eine Funktion auf. 4. a) Ein Kapital von 7000 € wird mit einem festen Zinssatz von 5% jährlich verzinst. Wie groß ist der Wachstumsfaktor (Zinsfaktor) des Kapitals von einem Jahr zum nächsten? Auf wie viel € wächst das Kapital nach Ablauf von 5 Jahren mit Zinsen und Zinseszinsen? b) Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? Mathematik Funktionen Zuordnungen Lösungen 1. a) Lineares Wachstum. Wachstumsrate 2 Funktion: f(x)3x2 b) Exponentielles Wachstum. Wachstumsfaktor: 4 Funktion: f(x)4*4x c) Exponentielles Wachstum. Wachstumsfaktor: 0,2 Funktion: f(x)0,02*0,2x d) Weder lineares noch exponentielles Wachstum. -292- Mathematik Funktionen Zuordnungen 2. a) Lineares Wachstum Funktion: f(x)5x30 b) Exponentielles Wachstum Funktion: f(x)10*6/100x c) Lineares Wachstum Funktion: f(x)100x-2 d) Exponentielles Wachstum Funktion: f(x)2000- e) Exponentielles Wachstum Funktion: f(x)5*3x f) Lineares Wachstum Funktion: f(x)200x800 -293- Mathematik Funktionen Zuordnungen -294- 3. Jahre Kapital 0 150 1 156,0 2 162,24 3 168,7296 4 175,478784 Exponentielles Wachstum: Funktion: f(x)150(14/100)x Formel für die Zinsrechnung: f(x)K*(1p/100)x 4. f(x)8000(1,05)x 160008000(1,05)x :8000 21,05x x14 Bei einer Vermehrung um gleiche prozentuale Wachstumsraten liegt exponentielles Wachstum vor. Wächst zum Beispiel eine Bevölkerung oder ein Kapital um p%, lautet der Wachstumsfaktor (1p/100). Mathematik Funktionen Zuordnungen -295- Aufgaben zu exponentiellem Wachstum: 1. Ergänze im Heft die fehlenden Werte so, dass ein exponentielles Wachstum vorliegt. a) 0 1 20 15 2 3 4 5 2. Die Papierformate nach DIN entstehen durch fortlaufendes Halbieren, z.B. ergibt ein Blatt DIN-A4 beim Halbieren zwei Blätter DIN-A5. Ein Blatt DIN-A0 hat einen Flächeninhalt von 1 m2 Berechne den Flächeninhalt eines DIN-A3 (A4-, A5-) Bogens. Lösungen: 1. a) 0 1 2 3 4 5 20 15 11,2 5 8,43 8 6,32 8 4,746 Wachstumsfaktor: f(x)20*( )x 2) 3: 12,5 2 4: 6,25 2 5: 3,125 2